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順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる
  • ①順序統計量のイメージが理解できる
  • ➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
  • ➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題
高校数学で十分わかる!
順序にそって、期待値が増加していることを図で理解しよう!

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、2点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量!

定義は、

確率変数\(X_1\),\(X_2\),…,\(X_n\)が独立の確率分布に従うとき、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。

定義は、そうなんだ!と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量の確率分布関数を見たら、勉強辞めようとなっちゃいます!
順序統計量は式変形の解説が多いので、わかりやすく図で理解できるよう解説します。

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は1つだが、整数\(i\)を0から1ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加していく!

図で理解しましょう! 下図をご覧ください。

順序統計量

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は1つですが、整数\(i\)を0から1ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

順序統計量の確率密度関数の復習

今回は同時分布は対象外です。

\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)
を復習しよう!

関連記事で解説していますので、ご確認ください。

順序統計量の中央値の導出

確率変数\(X_1,X_2,…,X_n\)の中央値は、\(n\)が奇数のときと、偶数のときで表示が若干変わります。

(i)奇数のとき:\(\frac{n+1}{2}\)
(ii)偶数のとき:\(\frac{\frac{n}{2}+(\frac{n}{2}+1)}{2}\)

例として、\(n\)=7のときは、中央は4です。 \(\frac{7+1}{2}\)=4で計算できます。
\(n\)=8のときは、中央は4と5の真ん中です。\(\frac{\frac{8}{2}+\frac{8}{2}+1}{2}\)=\(\frac{4+5}{2}\)=4.5で計算できますね。

これを順序統計量の確率密度関数に代入すればOKです。

順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

\(n\)が奇数の場合

\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)に代入します。

\(f_M (x)\)=\(\frac{n!}{( \frac{n+1}{2}-1)!1!(n-\frac{n+1}{2})!}\)\(F(x)^{ \frac{n+1}{2}-1}(1-F(x))^{n-\frac{n+1}{2}} f(x)\)
=\(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)
となります。

つまり、
\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)

\(n\)が偶数の場合

\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)に代入します。

ここで、式の見た目をよくするために1つトリックを仕込みます。(良くないと思うが)

\((i-1)\)の\(i\)に \(i=\frac{n}{2}\)を
\((n-i)\)の\(i\)に \(i=\frac{n}{2}+1\)を
代入して、共に
\(\frac{n}{2}-1\)とさせます。

また、(f(x))の部分を(f(x_1)), (f(x_2))に分けます。

\(f_M (x)\)=\(\frac{n!}{( \frac{n}{2}-1)!1!( \frac{n}{2}-1)!}\)\(F(x_1)^{ \frac{n}{2}-1}(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
=\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
となります。

つまり、
\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)

まとめると、

(i)奇数のとき:\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)
(ii)偶数のとき:\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)

➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

一様分布を使って、具体的な中央値の確率密度関数の式を作ってみましょう。

【問】
確率変数\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)および分布関数\(F(x)\)は
●\(f(x)\)=1 (0 < \(x\) < 1)
●\(F(x)\)=\(x\) (0 < \(x\) < 1)
である一様分布に従うとする。
(1) 中央値の確率密度関数を導出せよ。
(2) 期待値と分散を求めよ。(\(n\)が奇数の場合のみでよい)

解説します。

(1)順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

先の、

(i)奇数のとき:\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})!^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)
(ii)偶数のとき:\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!^2}\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)

に\(f(x)=1\),\(F(x)=x\)を代入します。

\(n\)が奇数の場合

\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2}!)^2}\)\((x(1-x)^{\frac{n-1}{2}} \)
(0 < \(x\) < 1)

\(n\)が偶数の場合

\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!)^2}\)\((x_1(1-x_2)^{ \frac{n}{2}-1} \)
(0 < \(x\) < 1)

(2)期待値と分散の導出

期待値と分散の導出は、関連記事で解説しています。

期待値と分散は

●期待値E=\(\frac{i}{n+1}\)
●分散V=\(\frac{i(n-i+1}{(n+1)^2 (n+2)}\)

この式に\(i=\frac{n+1}{2}\)を代入して、

●期待値E=\(\frac{i}{n+1}\)=\(\frac{\frac{n+1}{2}}{n+1}\)=\(\frac{1}{2}\)
●分散V=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
=\(\frac{1}{4(n+2)}\)

まとめ

「順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる」を解説しました。

  • ①順序統計量のイメージが理解できる
  • ➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
  • ➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題


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