順序統計量の考え方がよくわかる
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量がよく理解できる例題
①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
●定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。
➁順序統計量がよく理解できる例題
いろいろな関数を使ってよいですが、順序統計量を理解しやすく、簡単な関数を提示すると、
\(f(x)=x^p (1-x)^{n-p}\)
とQCプラネッツは考えています。
QCでもおなじみの二項分布、二項定理、OC曲線、抜取検査でもよく出で来る式ですし、
統計学でもベータ関数に持ち込めるし、
xの何とか乗なので、わかりやすいでしょう。
ベータ関数を復習する
順序統計量の前に、よく活用するベータ関数を復習します。
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ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。 |
メインの公式は、以下です。よく使います！
=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)
例題
次の場合を考えます。
なぜか、\(n\)個ではなく\(n-1\)個のコインで、
なぜか、\(i\)個ではなく\(i-1\)個のコインの場合の確率の
\(n\)倍するって変ですが、
期待値、分散の計算を簡単にするために、あえてこのように設定しました。
確率分布関数\(f_{(i)}(x))\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
となりますね。
いきなり難しい数学ではなく、よく勉強した高校数学からつなげて理解を深めましょう。
期待値E,分散Vの導出
期待値E[\(x_i\)]、分散V[\(x_i\)]は公式通りです。確認すると、
E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]2
ですよね。
素直に代入します。
期待値E[\(x_i\)]
E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=(式1)
(式1)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+1,n-i+1)\)
=\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=(式2)
(式2)を(式1)に代入すると、
(式1)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=\(\frac{i}{n+1}\)
まとめると、
期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
と随分スッキリした式で表現できます！
期待値E[\(x_i^2\)]
期待値E[\(x_i\)]と同様に解くと、
E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=(式3)
(式3)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+2,n-i+2)\)
=\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=(式4)
(式4)を(式3)に代入すると、
(式3)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)
まとめると、
期待値E[\(x_i^2\)]=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)
分散V[\(x_i\)]
V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]2より
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)- \((\frac{i}{n+1})^2\)
=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)
結果を可視化してチェック
関数、期待値と分散は、それぞれ、
●関数\(f_{(i)}(x)\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
●分散V[\(x_i\)]=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)
でしたね。
具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入しましょう。
関数を具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入すると、
●\(f_{(1)}(x)\)=\(5(1-x)^4\)
●\(f_{(2)}(x)\)=\(20 x(1-x)^3\)
●\(f_{(3)}(x)\)=\(30 x^2 (1-x)^2\)
●\(f_{(4)}(x)\)=\(20 x^3 (1-x)\)
●\(f_{(5)}(x)\)=\(5 x^4\)
グラフにしましょう。Iの値によって形が変化しています。
期待値E[\(x_i\)]
●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
を実際に代入すると
●期待値E[\(x_1\)]=\(\frac{1}{6}\)
●期待値E[\(x_2\)]=\(\frac{2}{6}\)
●期待値E[\(x_3\)]=\(\frac{3}{6}\)
●期待値E[\(x_4\)]=\(\frac{4}{6}\)
●期待値E[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6}\)
これをグラフにすると、確かに順序にそって、右に期待値が増加しているのがわかりますね。
分散V [\(x_i\)]
●期待値V[\(x_1\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_2\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_3\)]=\(\frac{9}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_4\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
となり、i=3の時が分散は最大になることがわかります。
まとめ
「順序統計量の考え方がよくわかる」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量がよく理解できる例題
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119