【本記事限定】標本平均の分散の注意点(nで割るな!)

検定統計量で扱う、分散は\(σ^2/n\)として、母分散をサンプル数で割ります。でもサンプル数によって上の検定の結果が変わるのはおかしいですよね。都合よいサンプル数を取って検査を合格使用する人がいてもおかしくはありません。

数学的は正しいですが、よく考えると本当?と疑問に思ってしまいます。

標本平均の分散\(V(\bar{x})\)は母分散と同じ\(σ^2\)ではないのか？

次の例を見てみましょう

(1)は\(x_1～x_4\)まで同じデータ群なので、\(\bar{x}\)=55,53,47,44,51ですね。
(2) \(\bar{x}\)=55,53,47,44,51の分散を求めるので、\(V(x_i)\)と同じ\(V(\bar{x})\)=80ですね。

一方、標本平均の分散\(V(\bar{x})=σ^2/n\)をそのまま使うと、\(V(\bar{x})=80/4\)=20となります。

同じ標本平均の分散\(V(\bar{x})\)でも、問いかけを変えると答えが変わります。

標本平均の分散\(V(\bar{x})\)の意味と式を考える

\(V(\bar{x})=V(\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n})\)=\(\frac{σ^2}{n}\)
の式の意味を考えます。
\(V(\bar{x})= V(\frac{x_1}{n}+\frac{x_2}{n}+…+\frac{x_n}{n})\)と変形します。

上の事例で当てはめると、次のようになります。

分散がn=4の2乗の16で割った80→5に変化します。分散5を4つ加算するため、5→20となったものが、
\(V(\bar{x})\)=\(\frac{σ^2}{n}\)=80/4=20
なのです。

しかし、よく見ると、\(\bar{x}\)=55,53,47,44,51の分散を求めるので、\(V(x_i)\)と同じ\(V(\bar{x})\)=80ですね。

標本平均の分散の算出ポイント

(1)と(2)の違いがイメージできますか？同じ式ですがイメージが異なります。

分散を求める式の左辺は\(V(\bar{x})\)ですが、公式どおりに母分散をサンプル数nで割るか、元のデータの母分散と同じとするかはよく考える必要があります。
でも試験ではとりあえず公式どおりに母分散をサンプル数nで割ってください。

③標本平均の分散はあなたが判断する

標本(サンプル)の分散を母分散\(σ^2/n\)とする前に、nで割るべきかどうかを考えましょう。
試験対策では、機械的にnで割ってください。でも、分散の値がサンプル数の逆数で変わるのは違和感があります。

標本平均の分散\(V(\bar{x})\)の式が、
\(V(\bar{x})=V(\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n})\)と違和感なく書けるため、そのまま機械的に\(V(\bar{x})\)=\(\frac{σ^2}{n}\)と導出できます。しかし、実務では

\(V(\bar{x})=V(x_i)\)=\(σ^2\)とするか、
\(V(\bar{x})\)=\(\frac{σ^2}{n}\)とするかを
よく考える必要があります。

まとめ

標本平均の分散の求め方で注意すべきポイントを解説しました。試験では機械的にサンプル数nで割ってください。目的は合格することです。でも、実務はよく考えて分散値を求めてください。

• ➀数学的に正しい標本平均の分散の注意点
• ②標本平均の分散は\(σ^2/n\)で良いのか？
• ③標本平均の分散はあなたが判断する