2021/07/05 (更新日: 2023/12/09)

【簡単】不偏分散はn-1で割る理由がすぐわかる

基本統計量

｢なぜ、標本分散と不偏分散の2種類あるのか？｣、｢なぜ、不偏分散はn-1で割るのか？｣がわからず、困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【簡単】不偏分散はn-1で割る理由がすぐわかる

• ➀母集団の推定のために標本から標本分散を算出
• ②標本分散の期待値は母分散と一致しない
• ③母分散と一致する不偏分散を導出

記事の信頼性

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さっそく見ていきましょう。

➀母集団の推定のために標本から標本分散を算出

母集団と標本データの違い

母集団と標本データの違いを説明します。母集団とはデータ全体であり、標本とは母集団から一部を取り出したものですね。

具体例も紹介します。

母集団は20代の日本人全員のデータを集めるのはムリですね。全員見つけるのは大変ですし、常に人数は増減します。だから、現実に評価可能な範囲の人数を②標本として調べますよね。

また、標本データに興味はなく、標本から母集団の様子を推定したいはずです。
なので、標本から母集団を推定するデータ解析が必要になります。それは平均と分散なわけです。

標本から取り出せる平均は「標本平均」、分散は「標本分散」と呼んでいます。

手元にある標本の平均と分散から母集団を推定したい

2つのニーズがあります。

値を定義します。

では、標本と母集団の平均と分散の関係を調べましょう。

②標本分散の期待値は母分散と一致しない

平均と分散についてそれぞれ標本と母集団との関係式を見てみましょう。

標本平均の期待値は母平均と一致する

E[\(\bar{x}\)]
=E[\(\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n\)]
=\(\frac{1}{n}\)(E[\(x_1\)]+ E[\(x_2\)]+…+ E[\(x_n\)])
=\(\frac{1}{n}\)(μ+μ+…+μ)
= \(\frac{1}{n}\)nμ
=μ

となり、標本平均の期待値は母平均と一致します。
なお、E[\(x_i\)]=μを使っています。
各サンプルの平均の推定値である母平均はすべてμになるはずと期待しているからです。

標本分散の期待値は母分散と一致しない

式が長く続きますので、ポイントを解説します。

• (A) \((x_i-\bar{x})\)の式の中に母平均μを入れて展開
• (B)標本平均の期待値は母平均に一致E[\(x_i\)]=μを使う
• (C)分散の定義V(X)=E[\((X-E[X])^2\)]を代入
• (D)分散の加法性V(\(x_i)=σ^2\)、V(\(\bar{X}\))=\(\frac{1}{n}σ^2\)を代入

ではやってみましょう。数式苦手な方は眺めるだけでOKです。結論だけ見てください。

(A) \((x_i-\bar{x})\)の式の中に母平均μを入れて展開

E[\(s^2\)]
=E[\(\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\)]
=E[\(\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}((x_i-μ)-(\bar{x}-μ))^2\)]
=\(\frac{1}{n}E[\sum^{n}_{i=1}((x_i-μ)^2\)\(-2(x_i-μ)(\bar{x}-μ) \)\(+(\bar{x}-μ)^2)]\)
=\(\frac{1}{n}E[(\sum^{n}_{i=1}(x_i-μ)^2\)\(-2(\bar{x}-μ)\sum^{n}_{i=1} (x_i-μ) \)\(+(\bar{x}-μ)^2\sum^{n}_{i=1}1]\) (★1)

ここで、第2項の\(\sum^{n}_{i=1} (x_i-μ)\)は、実際に書き出してみると、

\(\sum^{n}_{i=1} (x_i-μ)\)
=\((x_1-μ)+(x_2-μ)+・・・+(x_n-μ) \)
=\((x_1+・・・+x_n)-nμ\)\(=n(\bar{x}-μ)\)となります。

また、第3項の\(\sum^{n}_{i=1}1\)は1+1+・・・+1=nとなります。これらを式(★1)に代入します。

(★1)
=\(\frac{1}{n}E[\sum^{n}_{i=1}(x_i-μ)^2\)\(-2n(\bar{x}-μ)^2 \)\(+n(\bar{x}-μ)^2]\)
=\(\frac{1}{n}E[\sum^{n}_{i=1}(x_i-μ)^2\)\(-n(\bar{x}-μ)^2]\) (★2)

(B)標本平均の期待値は母平均に一致E[\(x_i\)]=μを使う

式(★2)に,E[\(x_i\)]=μ,E[\(\bar{x}\)]=μを代入します。
(★2)
=\(\frac{1}{n}E[\sum^{n}_{i=1}(x_i-E[x_i])^2\)\(-n(\bar{x}-E[\bar{x}])^2]\) (★3)

(C)分散の定義V(X)=E[\((X-E[X])^2\)]を代入

E[(\(x_i-E[x_i])^2\)=V(\(x_i\))と
E[(\(\bar{x}-E[\bar{x}])^2\)]=V(\(\bar{x}\))
を式(★3)に代入します。
(★3)
=\(\frac{1}{n}E[\sum^{n}_{i=1} V(x_i)\)\(-nV(\bar{x})] \) (★4)

(D)分散の加法性V(\(x_i)=σ^2\)、V(\(\bar{X}\))=\(\frac{1}{n}σ^2\)を代入

さらに次の2の式
V(\(x_i)=σ^2\)、
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{1}{n} σ^2\)
を式(★4)に代入します。
(★4)
=\(\frac{1}{n}E[\sum^{n}_{i=1} σ^2 – n \frac{1}{n} σ^2]\)
=\(\frac{1}{n} (nσ^2-σ^2)\)
=\(\frac{n-1}{n} σ^2 \)

まとめると、
\(E[s^2]=\frac{n-1}{n} σ^2\neq σ^2\)
となり、標本偏差の期待値は母分散と一致しません。残念！

③母分散と一致する不偏分散を導出

標本平均の期待値は母平均と一致しますが、標本分散の期待値は母分散と一致しません。ではどうするか？

不偏分散を作る

不偏分散をuとして、式で定義します。
\(u^2=\frac{n}{n-1} s^2\)
いかにも母分散に一致させる感じが出てますね。

不偏分散の期待値を計算

では、不偏分散の期待値を計算して母分散になるか?調べてみましょう。
E[\(u^2\)]
=E[\(\frac{n}{n-1} s^2]\)
\(=\frac{n}{n-1} E[s^2] \)
=\(\frac{n}{n-1} \frac{n-1}{n} σ^2 \)
\(=σ^2\)
確かにE[\(u^2]=σ^2\)となり、母分散\(σ^2\)に一致しました。

不偏分散の式をまとめる

\(u^2=\frac{n}{n-1} s^2\)に
\(s^2=\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\)を代入します。
\(u^2\)
=\(\frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\)
=\(\frac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\)

この式が、教科書でよく見る「n-1で割る」不偏分散の公式ですね。

以上から、母集団の分散を特定したければ、｢n-1で割った不偏分散という変な値を使う｣理由がわかりました。

まとめ

母集団を推定するために、部分をサンプリングします。標本データの平均と分散の期待値を求めますが、分散だけ一致しません。そのためにn-1で割る不偏分散をよく使います。標本分散の期待値の導出過程をしっかり見ていただきました。

• ➀母集団の推定のために標本から標本分散を算出
• ②標本分散の期待値は母分散と一致しない
• ③母分散と一致する不偏分散を導出

基本統計量

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