1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編)
「確率変数の変換が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
- ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
- ➂実例を使って理解する！
①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
理解しないと、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係が理解できないから困っている！
それは、
慣れてきたら、公式を見ましょう。
➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
公式（紹介だけ）
確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！
\(g(y)\)=\(\frac{d}{dy}F_y(y)\)=\(\frac{d}{dy}F_X (h^{-1}(y))\)=\(\frac{d}{dx}F_X(x)|_{h^{-1}(y)}\frac{dh^{-1}(y)}{dy}\)=\(f(h^{-1}(y))\frac{dh^{-1}(y)}{dy}\)
さらに、Y=X2の場合は、理解不能な公式展開があります。公式は次の通りです。
\(g(y)\)=\(\frac{d}{dy}F_y(y)\)=\(\frac{d}{dy}(F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt{y}))\)
=\(\frac{d}{dx}F_X(\sqrt{x})|_{\sqrt{y}}\frac{d}{dy}(\sqrt{y})\)-\(\frac{d}{dx}F_X(\sqrt{x})|_{-\sqrt{y}}\frac{d}{dy}(-\sqrt{y})\)
=\(f(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}- f(\sqrt{-y})(-\frac{1}{2\sqrt{y}})\)
=\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
より
\(g(y)\) =\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
確かに、満点の回答なのですが、
と思う方が普通でしょうね。
なので、どうしようか？ と工夫します！
公式が理解できない理由
何度も見ても理解できない理由を挙げると
- \(f(x)\)と\(g(y)\)の関係が見えない。
- 単にX⇒Yの変換だからx=をy=に変えるだけとしたいけど、よくわからない公式になっている
- \(Y=aX+b\)、\(Y=X^2\)、\(Y^2=X\)などの例題が教科書にあるが公式が理解できないから計算しても何をやっているのかがわからない
- \(Y=X^2\)の場合の独自の求め方が、さらに理解できない。。。
と、QCプラネッツも何度も諦めていました。
公式から勉強する方法を変えてみる！
でも、発想を変えて
として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。
としましょう。
➂実例を使って理解する！
実際に、QCプラネッツの解き方で例題を理解しましょう。今回は2次式編として、
\(Y=X^2\)型の変換を考えます。
確率変数Xの確率密度関数が
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
の場合、\(Y=X^2\)で与えられる確率変数Yの確率密度関数\(g(y)\)を求めよ。
さて、困った！
教科書見ると、
\(g(y)\)=\(\frac{d}{dy}F_y(y)\)=\(\frac{d}{dy}(F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt{y}))\)
=\(\frac{d}{dx}F_X(\sqrt{x})|_{\sqrt{y}}\frac{d}{dy}(\sqrt{y})\)-\(\frac{d}{dx}F_X(\sqrt{x})|_{-\sqrt{y}}\frac{d}{dy}(-\sqrt{y})\)
=\(f(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}- f(\sqrt{-y})(-\frac{1}{2\sqrt{y}})\)
=\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
より
\(g(y)\) =\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
だし。。。これがわからへんねん！！
QCプラネッツのオリジナルな解法
解法は以下の通りで実施します。これはどんな2変数の確率変換でも同様の方法でイケます！
- \(y=x^2\)を\(x=±\sqrt{y}\)の式に直す
- \(f(x)\)の\(x\)に\(±\sqrt{y}\)をそのまま代入する
- 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変化するが、2次式の変換独自のやり方(難しくないのでご安心ください！)をまずは暗記！
\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \) - 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)
ここで、
●\(\frac{dx}{d(y+)} \)=\(\frac{d(+\sqrt{y})}{d(y)} \)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}\)
●\(\frac{dx}{d(y-)} \)=\(\frac{d(-\sqrt{y})}{d(y)} \)=-\(\frac{1}{\sqrt{2π}}\)
に注意します。
だけ、２次式の変換の特殊な式ですが、まずはこれだけ暗記しましょう。教科書よりはるかに易しいし覚えやすい式なはずです。
解法
では、実際に解いてみましょう。
1.\(y=x^2\)を\(x=±\sqrt{y}\)の式に直す
これだけ！
2.\(f(x)\)の\(x\)に\(±\sqrt{y}\)をそのまま代入する
\(f(x)\)に代入すると、
\(f(x)\)= \(f(±\sqrt{y})\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{\sqrt{(±y)^2}}{2}}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}}\)
3.積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変換
xの範囲からｙの範囲に変えます。
| 変換 | 下端 | ⇒ | 上端 |
| x | -∞ | ⇒ | ∞ |
| y | 0 | ⇒ | ∞ |
xは-∞⇒∞増加しますが、yはxの2乗なので、0⇒∞と拡大しますね。
積分は、QCプラネッツのオリジナル暗記式を持ってきましょう。
\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)
4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出
\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} \frac{1}{2\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} (-\frac{1}{2\sqrt{y}}))dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} \frac{1}{\sqrt{y}}dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} g(y) dy\)
よって
\(g(y)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} \frac{1}{\sqrt{y}}\)
できましたね！
計算結果が重要！
(f(x))はN(0,1)の正規分布の式ですが、2乗に変換した
(g(y))は自由度1のχ2乗分布の式になっています。
正規分布とχ2乗分布をつなぐ重要な問いとなります。
いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編)」を解説しました。
- ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
- ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
- ➂実例を使って理解する！
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119