累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！
「累積ハザード法がよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
- ➁指数分布を確率紙で考える
- ➂カプランマイヤー法、ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いを理解する(その２へ）
①ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
累積ハザード法とは
「累積ハザード法」単体で説明されることが多いですが、
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは、教科書的には、
ＱＣプラネッツ、個人的には、どちらでも差はないとみています。
フィッティングして求める手法であり、精度もそれほど高いものでもないからです。
モデルで故障時間を推定しても、本当にその時間で故障するかなんてわからんし、おまじない程度です。
➁累積ハザード法の使い方がわかる
ハザード関数、累積ハザード関数とは
信頼度\(R(t)\)を
●\(R(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt)\)
ここで、
●\(R(t)\)=\(exp(-H(t)\)
\(H(t)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)
とおくと、
●\(H(t)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)を累積ハザード関数
と定義します。
累積ハザードでは、実データをもとに、ハザード関数、累積ハザード関数を使います。
実際は、
●\(H(t)\)=\( \sum_{i=1}^{l} \frac{(t_i,t_i+Δt)における故障数}{t_iの直前における未故障データ数}\)
とて計算します。
【ここを理解せよ！】ハザード関数、累積ハザード関数を使う理由
ここで、大事なのは、
●\(H(t)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)を累積ハザード関数
は、未故障データ（打切りデータ）を打切りデータとして扱ってよい手法(打切りデータそのもの扱える)ことです。
ここを教科書では説明していない！
【ここを理解せよ！】ハザード関数、累積ハザード関数を使う理由
関連記事の「カプランマイヤー法」という全く別の手法の解説にヒントがあります。
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カプランマイヤー法が理解できる(その2) 信頼性工学で「打切りデータ」を扱う際、カプランマイヤー法を使いますが、カプランマイヤーの式は導出できますか？ 本記事では、公式暗記しがちなカプランマイヤーの式を丁寧に導出します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
ハザード関数がポイント！
\(λ(t)\)= \( \displaystyle \lim_{Δt \to 0} \frac{1}{Δt}\)\((Pr(t \leq T \leq t+Δt|T \geq t)) \)
ここで、２つの独立した確率分布T,Uを用意します。
●T：生存時間確率分布(打切りなし)
●U：打切り時間確率分布（打切りあり）
条件付き確率で、打切りなしの確率Ｔに、打切りなしの確率Ｕの式を分母分子に掛け算して整理すると、合成することができる！
つまり、 打切りあり、なしを区別しても合成してハザード関数が扱える性質を活かして、累積ハザード法を使っている点を理解しましょう。
実例を使って累積ハザード法の使い方をマスターする
では、データを用意します。
| サンプル番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 時間t | 800(○) | 350(×) | 730(×) | 1770(○) | 390(×) |
| サンプル番号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 時間t | 110(○) | 100(×) | 160(×) | 940(×) | 320(×) |
| サンプル番号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 時間t | 40(×) | 190(×) | 590(×) | 1260(○) | 420(×) |
| サンプル番号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 時間t | 250(×) | 490(×) | 1060(○) | 290(×) | 630(○) |
累積ハザード法を使って、信頼度関数を作ってみましょう。ただし、上の○×は
○：故障無しで打切り有データ
×：故障有りデータ
として、打切り有無両方のケースを含むとします。
累積ハザード法を使って、信頼度関数を作る
下ごしらえをします。
- 不良率λを計算するために、逆順位K=n-i+1を計算
- 不良率λは、逆順位Kの逆数
- 累積ハザードHiを計算
| サンプル 番号 (A) |
順位i (B) |
逆順位 K=n-i+1 (n=20) (C) |
時間ti (D) |
打切り 有無 ○⇒0 ×⇒1 |
不良率hi 1/(逆順位) ×100% (E) |
累積ハザード値Hi ∑hi (F) |
| 11 | 1 | 20 | 40 | 0 | 0/20 | 0/20=0 |
| 7 | 2 | 19 | 100 | 1 | 1/19 | 0/20+1/19=0.053 |
| 6 | 3 | 18 | 110 | 1 | 1/18 | 0/20+1/19+1/18=0.108 |
| 8 | 4 | 17 | 160 | 0 | 0/17 | =0.108 |
| 12 | 5 | 16 | 190 | 1 | 1/16 | =0.171 |
| 16 | 6 | 15 | 250 | 0 | 0/15 | =0.171 |
| 19 | 7 | 14 | 290 | 1 | 1/14 | =0.242 |
| 10 | 8 | 13 | 320 | 1 | 1/13 | =0.319 |
| 2 | 9 | 12 | 350 | 1 | 1/12 | =0.402 |
| 5 | 10 | 11 | 390 | 1 | 1/11 | =0.493 |
| 15 | 11 | 10 | 420 | 1 | 1/10 | =0.593 |
| 17 | 12 | 9 | 490 | 1 | 1/9 | =0.704 |
| 13 | 13 | 8 | 590 | 1 | 1/8 | =0.829 |
| 20 | 14 | 7 | 630 | 0 | 0/7 | =0.829 |
| 3 | 15 | 6 | 730 | 1 | 1/6 | =0.996 |
| 1 | 16 | 5 | 800 | 1 | 1/5 | =1.196 |
| 9 | 17 | 4 | 940 | 1 | 1/4 | =1.446 |
| 18 | 18 | 3 | 1060 | 0 | 0/3 | =1.446 |
| 14 | 19 | 2 | 1260 | 1 | 1/2 | =1.946 |
| 4 | 20 | 1 | 1770 | 0 | 0/1 | 0/20+1/19+1/18+…+1/2+0/1=1.946 |
どの確率分布にフィッティングするか？
今回は、ワイブル分布にフィッティングさせます！
ワイブル分布は、
\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)
\(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)
ですね。
で、\(H(t)\)と\(t\)の値は、上の表からすでに計算ができています。
これを直線で定数\(η\)、\(m\)の値を求めるので、
\(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)を直線化します。
両辺を対数logで取ると、
\(log(H(t))\)=\(m(logt-logη)\)
●\(Y\)=\(log(H(t))\)
●\(X\)=\(logt\)
●\(n\)=\(-m(logη)\)
として、直線で定数\(η\)、\(m\)の値を求めましょう。
グラフに必要な表を作るため、上の表の\(t\),\(H(t)\)に対数logを取った値をいれます。
| 順位i (B) |
t | H(t) | log(t) | log(H(t) |
| 1 | 800 | 0 | 3.689 | – |
| 2 | 350 | 0.053 | 4.606 | -2.945 |
| 3 | 730 | 0.108 | 4.701 | -2.224 |
| 4 | 1770 | 0.108 | 5.076 | -2.224 |
| 5 | 390 | 0.171 | 5.248 | -1.768 |
| 6 | 110 | 0.171 | 5.522 | -1.768 |
| 7 | 100 | 0.242 | 5.67 | -1.418 |
| 8 | 160 | 0.319 | 5.769 | -1.143 |
| 9 | 940 | 0.402 | 5.859 | -0.91 |
| 10 | 320 | 0.493 | 5.967 | -0.707 |
| 11 | 40 | 0.593 | 6.041 | -0.522 |
| 12 | 190 | 0.704 | 6.195 | -0.35 |
| 13 | 590 | 0.829 | 6.381 | -0.187 |
| 14 | 1260 | 0.829 | 6.446 | -0.187 |
| 15 | 420 | 0.996 | 6.594 | -0.004 |
| 16 | 250 | 1.196 | 6.685 | 0.179 |
| 17 | 490 | 1.446 | 6.847 | 0.369 |
| 18 | 1060 | 1.446 | 6.967 | 0.369 |
| 19 | 290 | 1.946 | 7.14 | 0.666 |
| 20 | 630 | 1.946 | 7.48 | 0.666 |
ここから、\(X=log(t)\)、\(Y=log(H(t)\)
として、直線を描きます。
両辺を対数logで取ると、
●\(m\)=0.7965
・\(n\)=-5.44=\(-m(logη)\)より
●\(η\)=924.4
となります。
累積ハザード法も確率紙があるが、手法を理解する方が大事
ちなみに、累積ハザード法も確率紙があります。
ただ、
計算機がない時代は重宝されたが、今は自力で解ける！
➂カプランマイヤー法、ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いを理解する(その２へ）
慣れると気づくこの疑問
さて、累積ハザード法を理解すると、絶対気づくこの疑問！
さらに、累積ハザード法を理解すると、絶対気づくこの疑問！
となるはず。
次の関連記事で解説！
では、次に参りましょう。
まとめ
「累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！」を解説しました。
- ①ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
- ➁指数分布を確率紙で考える
- ➂カプランマイヤー法、ワイブル確率紙、累積ハザード法の違いを理解する
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119