2022/12/07 (更新日: 2023/12/05)

ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)

信頼性工学

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない(その1)
• ➁確率紙は順序統計量から入るもの(その1)
• ➂確率紙の考え方がわかる(その1)
• ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)
• ➄確率紙は自分で作れる(ワイブル分布を例に)
• ⑥自分で作った確率紙とワイブル確率紙でも同じ結果が得られる！

ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その１） ワイブル確率紙は使えますか？ ワイブル確率紙の目的を理解して、ワイブル確率紙に頼らず自分で解析できますか？ 本記事は、ワイブル確率紙を使うために必要なエッセンスをわかりやすく解説します。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)

まず、順序統計量

確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

指数分布のプロット化

指数分布の式を用意します。
\(R(t)=exp^{-λt}\)

両辺、logを取ると
\(log R(t)\)=\(-λt\)
マイナスを消します。
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)

よって、
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)
で、
\(Y=log{\frac{1}{R(t)}}\),\(t=X\)とおくと、
\(Y=λt\)
という原点を通る直線にプロットすることができます。

【重要】変数の対応を確認！

式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

例題で確認

データを用意します。

小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

データを並び替えると、
0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
です。

これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

i	データ	F (メジアンランク法) F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
1	0.2	0.067
2	0.4	0.163
3	0.5	0.26
4	0.8	0.356
5	1.1	0.452
6	1.6	0.548
7	2.1	0.644
8	2.5	0.74
9	2.8	0.837
10	3.4	0.933

これは図でいうと、

変数を対応させて直線プロットを描く

変数の関係は、

計算結果を表にまとめると、

i	data	F	R=1-F	X	Y
1	0.2	0.067	0.933	0.2	0.07
2	0.4	0.163	0.837	0.4	0.179
3	0.5	0.26	0.74	0.5	0.301
4	0.8	0.356	0.644	0.8	0.44
5	1.1	0.452	0.548	1.1	0.601
6	1.6	0.548	0.452	1.6	0.794
7	2.1	0.644	0.356	2.1	1.034
8	2.5	0.74	0.26	2.5	1.349
9	2.8	0.837	0.163	2.8	1.811
10	3.4	0.933	0.067	3.4	2.699

データをプロットします。指数分布の場合は、原点を通る直線ですね。

指数分布にあてはめよう

図より、
Y=0.6389xなので、λ=0.6389となります。
よって、指数分布は\(y=exp^{-0.6389t}\)
となります。(マイナスがあるのを注意しましょう。)

➄ワイブル分布をワイブル確率紙で考える

まず、順序統計量

確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

ワイブル分布のプロット化

ワイブル分布の式を用意します。
\(R(t)\)=\(exp(-(\frac{t}{η})^m )\)

両辺、logを取ると
\(log R(t)\)=\( -(\frac{t}{η})^m \)
マイナスを消します。
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \( (\frac{t}{η})^m \)

もう１回対数logをとります。
\(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)

よって、
\(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)
で、
\(Y= loglog{\frac{1}{R(t)}}\),\( logt =X\)、\( n=-mlogη\)とおくと、
\(Y=mX+n\)
という直線にプロットすることができます。

【重要】変数の対応を確認！

式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

例題で確認

データを用意します。

小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

データを並び替えると、
0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
です。

これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

i	データ	F (メジアンランク法) F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
1	0.2	0.067
2	0.4	0.163
3	0.5	0.26
4	0.8	0.356
5	1.1	0.452
6	1.6	0.548
7	2.1	0.644
8	2.5	0.74
9	2.8	0.837
10	3.4	0.933

変数を対応させて直線プロットを描く

変数の関係は、

ちょっと、換算式が複雑ですが、ここが大事で、ワイブル確率紙が何をやっている紙なのかを理解するポイントです。理解するポイントがわかれば、別に、ワイブル確率紙を使わなくても、簡単なグラフで直線にできます！

計算結果を表にまとめると、

i	data	F	R=1-F	X(=log(data))	Y(=ln(ln(1/R))
1	0.2	0.067	0.933	-1.61	-2.664
2	0.4	0.163	0.837	-0.916	-1.723
3	0.5	0.26	0.74	-0.693	-1.202
4	0.8	0.356	0.644	-0.223	-0.822
5	1.1	0.452	0.548	0.095	-0.509
6	1.6	0.548	0.452	0.47	-0.23
7	2.1	0.644	0.356	0.742	0.033
8	2.5	0.74	0.26	0.916	0.299
9	2.8	0.837	0.163	1.03	0.594
10	3.4	0.933	0.067	1.224	0.993

データをプロットします。ワイブル分布の場合は、y=mx+nの直線ですね。

指数分布にあてはめよう

図より、
Y=1.1695x-0.6441なので、
・\(m\)=1.1695
・\(n=mlogη\)=0.6441　より、\(η\)=1.734

ワイブル分布は
\(R(t)=exp(-(\frac{t}{1.734})^1.1695)\)

ワイブル確率紙を使った結果と比較

ワイブル確率紙を使った結果を、簡単なグラフにすると、下図のようになり、

上の計算結果と比較すると、
・\(m\)=1.2(1.1695と近い結果)
・\(η\)=1.5(1.734と近い結果)
両者とも、ほぼ同じ値が算出できたことがわかります！

まとめ

「ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！(その2)」を解説しました。

• ①試験出題パターンが解けても本質は理解していない(その1)
• ➁確率紙は順序統計量から入るもの(その1)
• ➂確率紙の考え方がわかる(その1)
• ➃確率紙は自分で作れる(指数分布を例に)
• ➄確率紙は自分で作れる(ワイブル分布を例に)
• ⑥自分で作った確率紙とワイブル確率紙でも同じ結果が得られる！

信頼性工学

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