【やっぱり難しい】2段サンプリングの分散が導出できる【まとめ】

「2段サンプリングの分散がわからない」、と困っていませんか？

★ 本記事のテーマ

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QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

そこで、

ちょっとだけ、文字を変えて、
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)
を導出します。

2段サンプリングは下図のように、２回サンプリングします。

★１回目抜取★２回目抜取

２段サンプリング関連記事（ブログとテキスト(PDF)）があります。是非確認ください。

★記事のテーマ

5つあり、最終目標は２段サンプリングの分散が導出できることです。

★(1) 有限母集団の修正項が導出できる

サンプリングでよく出て来る、有限母集団の修正項ですが、公式導出も難しいです。関連記事で丁寧に導出過程を解説しています。

【必読】有限母集団の修正項の導出ができる 本記事では有限母集団の修正項(N-n)/(N-1)の導出を途中経過を一切端折らず丁寧に解説しました。

★(2) 条件付き確率がわかる

高校数学の復習をしましょう。ブログ記事でしたが、テキスト(PDF)にまとめました。

【QCプラネッツ２回サンプリング プレミアム勉強プリント】

2つのテーマをまとめています。
●「条件付き確率がわかる（２段サンプリングの分散式導出）」
●「2段サンプリングの費用関数で最適配分の式が導出できる」

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型) 本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型) 本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。

★(3) 2変数の分散・共分散がわかる

2変数の確率分布を次に攻略します！　全分散の公式や２段サンプリングの分散は２変数の処理スキルが前提となります。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系&連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。

★(4) 全分散の公式が導出できる

2段サンプリングの分散に使う、全分散の公式をようやく攻略できるところまで来ました。条件付き確率、２変数の解法がいっぱい出て来ますので、この関連記事は、良い演習になります。

【必読】全分散の公式の導出がわかる 本記事では、全分散の公式の導出をわかりやすく解説しています。途中端折りたくなるが大事な計算過程をすべて載せています。全分散の公式、条件つき期待値、条件つき分散を 得意になりましょう。

★(5) 2段サンプリングの分散が導出できる

これから解説します！

では、
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)
を導出します。

ここで、普段あまり見かけませんが、トリッキーな表現方法を使って変形していきます。こういうところが難しいですね。

2段サンプリングで得られた、標本平均\(\bar{x}\)の期待値E[\(\bar{x}\)]を考えます。

もちろん標本平均\(\bar{x}\)は単純に、
\(\bar{x}\)=\(\frac{1}{m \bar{n}} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij} \)
ですね。

よく見ると、\(\bar{x}\)は
●\(i\)について
●\(j\)について
２回平均値を求めていますね。つまり、平均値である期待値Ｅを計算しているわけなので、

分散の公式どおり、
V(\(\bar{x}\))= E[\(\bar{x}^2\)]- E[\(\bar{x}\)]²
=(式1)
となり、これを先ほどの２段階の期待値表記に変えます。

(式1)
=\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}^2\)]-{\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}\)]}²
=(式2)

(式2)に対して、　\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}²を追加します。
(式2)
=\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}^2\)]-\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}²
+\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}²-{\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}\)]}²
=\(E_i\)[\(E_j^i\)[\(\bar{x}^2\)]-{\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}²]
+[\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}²-{\(E_i E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}²]
=\(E_i\){\(V_j^i(\bar{x})\)}+\(V_i\){(\(E_j^i (\bar{x})\))
=(式3)
と強引ですが、まとめることができます。

ここで、\(V_j^i\)は第\(i\)集落内での分散とします。

(式3)の第１項をまとめていきます。

\(E_i\){\(V_j^i(\bar{x}\))}
=\(E_i\){\(V_j^i (\frac{1}{m \bar{n}} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij} )\)}
として、\(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} \)を分散Vの外に出します。
=\(E_i\){\(\frac{1}{m^2} \)\(\sum_{i=1}^{m} V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij} )\)}
さらに、\(\frac{1}{m^2}\)を\(\frac{1}{m}\)・\(\frac{1}{m}\)に分けます。
=\(\frac{1}{m}E_i\){\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij} )\)}
=(式4)

ここで、見ずらいですが、
●\(V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij} )\)の
\(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij}\)=\(\bar{x}\)なので、
\(V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij} )\)= \(V_j^i(\bar{x})\)
を代入します。

すると、
\(V_j^i(\bar{x})\)=\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_i^2}{\bar{n}}\)
と有限母集団の時の係数\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\)が付きますね。

有限母集団については関連記事があります。ご確認ください。丁寧に導出していますが、それでも難しい内容です！

【必読】有限母集団の修正項の導出ができる 本記事では有限母集団の修正項(N-n)/(N-1)を丁寧にわかりやすく解説しました。

(式4)を計算すると、
(式4)
=\(\frac{1}{m}E_i\){\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_i^2}{\bar{n}}\)}
=(式5)

そして、
●\(E_i\)[\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\)]
を、期待値の性質を使って
●\(\frac{1}{m}・\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\)
変えると(式5)は、
=\(\frac{1}{m} \frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_w^2}{\bar{n}}\)
となり、
\(n\)=\(m \bar{n}\)から、
=\( \frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_w^2}{n}\)
となり、２段サンプリングの分散の第１項ができます。

なお、
●\(σ_i^2\)=\(\frac{1}{\bar{N}}\sum_{j=1}^{\bar{N}}(x_{ij}-μ_i)^2\)
●\(σ_w^2\)=\(\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} σ_i^2\)
とします。

(式3)の第２項をまとめていきます。

(式3)第２項
=\(V_i (E_j^i (\bar{x}))\)
=\(V_i (E_j^i (\frac{1}{m \bar{n}} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij}))\)
=\(V_i (\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} E_j^i (\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij}))\)

ここで、\( E_j^i \)[\(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij}\)]=\(μ_i\)から
=\(V_i (\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} μ_i )\)
有限母集団の分散を意識して、
=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)
となります。

よって、第1項と第２項を入れ換えて、まとめると

が導出できました。

再掲すると、

第2項の式のだけになりますので、２段サンプリングの分散の式がわかればOKですね。

第1項の式のだけになりますので、２段サンプリングの分散の式がわかればOKですね。

「【やっぱり難しい】2段サンプリングの分散が導出できる【まとめ】」をわかりやすく解説しました。