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【必読】全分散の公式の導出がわかる

サンプリング

全分散の公式導出

「全分散の公式の導出がわからない」、と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【必読】全分散の公式の導出がわかる
  • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
  • ➁事前に読んでおくべき関連記事
  • ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
  • ➃全分散の導出
２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

本記事でばっちりおさえましょう。

①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

この式は何なの？
何でこんな難しい式なの？
覚えられない。。。

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

  1. 条件付き確率
  2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
  3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
  4. 条件付き確率の期待値・分散
  5. 全分散の公式の導出
  6. ２段サンプリングの分散の公式導出
１つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

公式暗記・代入だけでは意味不明！

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

  1. 条件付き確率
  2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
  3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
  4. 条件付き確率の期待値・分散
  5. 全分散の公式の導出
  6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁事前に読んでおくべき関連記事

●いきなり、全分散の公式を理解しようとすると、挫折します。そこで、具体事例の計算過程を一回読んでから、公式導出するとかなり身近な式になります。

関連記事でおさえておくべきポイント

  1. E(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
  2. E(E(Y|X))の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  3. E(Y2|X)に慣れておく
  4. V(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
  5. E(V(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  6. V(E(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  7. 全分散の公式が成り立つ計算過程

全分散の公式を含めて、条件つき期待値、条件つき分散を網羅して解説しています。

離散型(数列)で解く場合（本記事も数列版で全分散の公式を導出します。）

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)
条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

連続型(積分)で解く場合

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)
条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

では、一般化して公式導出に入ります。

➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出

導出

文字式でさっと書いていきます。

E(E(Y|X=xi))
=\(\sum_{i} (E(Y|X=x_i))f_{xi}\)
=\(\sum_{i}(\sum_{j} y_j f_{Y|X}(y_i|x_i)) f_{xi}\)

ここで、\(y_j\)を前に出して、fを整理します。
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f_{Y|X}(y_i|x_i) f_{xi})\)
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)
=\(\sum_{j} y_j f_Y(y_j)\)
=E(Y)
となります。

ここで、１つわかりにくいポイントがあります。
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
になぜ変わるのか？です。

式だけではわかりにくいので、上の関連記事の事例を使って、具体的な数字を使って計算します。

実例で詳細に解説

結果的に、
(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

関連記事の例題から具体的な値で比較しましょう。
E(E(Y|X))の値は下表のようにまとめる事ができます。

x/y ①
y1		 ➁
\(f_{xi,y1}\)		 ➂
y2		 ➃
\(f_{xi,y2}\)		 ➄
y3		 ⑥
\(f_{xi,y3}\)		 ⑦
\(f_{xi}\)		 ⑧
計
x1 [1 ×\(\frac{1}{2}\) +2 ×\(\frac{1}{4}\) +3 ×\(\frac{1}{4}\)] ×\(\frac{1}{2}\) =\(\frac{7}{8}\)
x2 [1 ×\(\frac{1}{4}\) +2 ×\(\frac{1}{4}\) +3 ×\(\frac{1}{2}\)] ×\(\frac{1}{2}\) =\(\frac{7}{9}\)
– – – – – – – 計 E[Y]= 2

上の表の⑧は
⑧＝[①×➁＋➂×➃＋⑤×⑥]×⑦
で計算して、
E[E[Y|X]]=E[Y]
を計算してます。

なお、E[Y]の求め方は、下表通りです。

x/y ①
y1		 ➁
\(f_y(y1)\)		 ➂
y2		 ➃
\(f_{y}(y2)\)		 ➄
y3		 ⑥
\(f_y(y3)\)		 ⑧
計
x1 [1 ×\(\frac{3}{8}\) +2 ×\(\frac{2}{8}\) +3 ×\(\frac{3}{8}\)] =2

上の2つの表を比較すると、

x/y ➁
\(f_{xi,y1}\)		 ➃
\(f_{xi,y2}\)		 ⑥
\(f_{xi,y3}\)
x1 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\)
x2 \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
⇊ ⇊ ⇊ ⇊
x/y ➁
\(f_y(y1)\)		 ➃
\(f_{y}(y2)\)		 ⑥
\(f_y(y3)\)
x1 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\)

確かに、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

ここまで細かく解説するのは、ＱＣプラネッツだけですね。

➃全分散の導出

V(Y|X)の導出

機械的に、
V(Y)=E(Y2)-E(Y) 2
ですから、

V(Y|X) =E(Y2|X)-E(Y|X) 2
です。

E(V(Y|X),V(E(Y|X))の導出

●V(Y|X)の期待値E(V(Y|X)ですが、
E(V(Y|X)
=E(E(Y2|X)-E(Y|X) 2)
= E(E(Y2|X))-E(E(Y|X) 2)

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、
E(Y|X)⇒E(Y2|X)と見ると、

E(E(Y2|X))=E(Y2)です。あら、不思議！

よって、
E(V(Y|X)= E(Y2)- E(E(Y|X) 2) …(式1)

●次に、E(Y|X)の分散V(E(Y|X)) ですが、
V(E(Y|X))
=E(E(Y|X) 2)-(E(E(Y|X)))2

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、

よって、
V(E(Y|X))=E(E(Y|X) 2)-(E(Y))2…(式2)

全分散の導出

(式１)+(式2)より、下の色部分がキャンセルされます。
E(V(Y|X))= E(Y2)-E(E(Y|X) 2) …(式1)
V(E(Y|X))= E(E(Y|X) 2)-(E(Y))2…(式2)

よって、
E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))= E(Y2)–(E(Y))2=V(Y)
が成り立ちます。

全分散の公式
V(Y)= E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))

が導出できました。

まとめ

全分散の公式の導出をわかりやすく解説しました。

  • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
  • ➁事前に読んでおくべき関連記事
  • ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
  • ➃全分散の導出


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