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順序統計量の大事な基礎をまとめています。まず、ここで学習しましょう。

【まとめ】 「順序統計量の考え方がよくわかる」 順序統計量をわかりやすく解説！大事な基礎をすべてまとめています。必見！

関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)の導出についてです。

教科書の導出方法を解説します。

\(X\)=(\(X_1,…,X_n\))を\(n\)個の独立な確率標本とし、確率密度関数、および分布関数をそれぞれ\(f(x)\),\(F(x)\)とする。また、\(F_{(i)}\),\(i=1,…,n\)を\(i\)番目の順序統計量\(X_{(i)}\)の分布案数とする。

上図のように、事象\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\)(\(δx\)は微小とする)の起こる確率Prは、二項定理を使って
Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\) \(F(x)^{i-1} (1-F(x+δx))^{n-i} (F(x+δx)-F(x))\)
=(式1)
と表現できる。

二項定理から見ると、
●\(F(x)\)が\(i-1\)個
●\(F(x+δx)-F(x)\)が1個
●残り\(1F(x+δx)\)が\(n-i\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。

(式１)の微分が関数\(f_{(i)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx} \)
=\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)
=(式2)

((式1)の中の、\((F(x+δx)-F(x))/δx\)⇒\(f(x)\)になります。)

続いて、教科書的な同時確率密度関数の導出も見ましょう。

関数\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)の導出についてです。

教科書の導出方法を解説します。

2つの順序統計量\(X_{(i)}\)、\(X_{(ij)}\)について考えるが、
●1 < \(i\) < \(j\) < \(n\)
とする。この場合、
\(x_i\) < \(X_{(i)}\) \(X_{(i)}\) \(x_i + δx_i\)および\(x_j\) < \(X_{(j)}\) \(X_{(j)}\) \(x_j + δx_j\)が同時に起こる確率Prは、下図と二項定理を使って以下で表現できる。

Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\),\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\))
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(j-i-1)!1!(n-j)!}\) \(F(x)^{i-1} (F(x_j)-F(x_i +δx_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j + δx_j))^{n-j} (F(x_i +δx_i)-F(x_i)) (F(x_j +δx_j)-F(x_j))\)
=(式3)
で表現できる。

二項定理から見ると、
●\(F(x_i)\)が\(i-1\)個
●\(F(x_i+δx_i)-F(x_i)\)が1個
●\(F(x_j)-F(x_i + δx_i)\)が\(j-i-1\)個
●\(F(x_j+δx_j)-F(x_j)\)が1個
●1-\(F(x_j+δx_j)\)が\(n-j\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。

(式3)の微分が関数\(f_{(i),(j)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx_i δx_j} \)
=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
(ここで、\(C_{i,j}=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\))
=(式4)

((式3)の中の、
\((F(x_i+δx_i)-F(x_i))/δx_i\)⇒\(f_(i)(x)\)と
\((F(x_j+δx_j)-F(x_j))/δx_j\)⇒\(f_(j)(x)\)に
なります。)

二項定理から導出できるのは事実ですが、順序よく並ぶイメージがまったくありません。

むしろ、順序よく並ぶ関数が先にあって、それを整えて作られたのが順序統計量の確率密度関数の形であるとQCプラネッツでは考えています。

なので、

の順番で順序統計量の確率密度関数を考えていきます。

を簡単な事例で解説します！　しかも高校数学でできます！　

高校数学でしかも、\(x^n\)の式で、期待値が昇順に並ばせることができる関数があります。面白い！ので次の例題を提示します！大学入試に出題されてもいい良問です！

どうでしょう。見た目、大学入試か高校の実力試験に出ても違和感ないですよね！

実際に解いてみましょう。

実は、上の例の(3)
期待値E’ [\(x_i\)]=\(\frac{5!}{i!(5-i)!}\)E[\(x_i\)]こそが順序統計量の確率密度関数の形になっていますし、この期待値を計算すると\(i/n\)に近い式になり、\(i\)を増やすと期待値もそれに従って順序よく増加し、下の図のイメージになります。

再掲しますが、

最初の、順序よく並ぶ関数の形を探すは、上の例題と関連記事の解説から
\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあれば、期待値は\(i\)を増やすごとに増加し、順序どおり並びます。

もっと一般化すると、
●\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(f(x)^{i}(1-f(x))^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(x^{i}(y-x)^{j-i} (1-y)^{n-j}\)が関数の項にあること
となると、これらも順序よく並びます。

まず、二項定理から導出するのではなく、順序よく並ぶ関数を用意することが先とQCプラネッツは考えます。

次に、関数の値が綺麗になるように係数で整えるために二項定理のような係数がつきます。

実際に、\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)を積分するとベータ関数を適用し、計算結果が階乗!を使いまくる式になります。そのままは使いにくいので、「!」を無くすように関数の前に係数が付きます。

つまり、下図のように順序統計量の式は構成されています。これは同時確率密度関数の場合も同じです。

難しい公式を無理に暗記せず、意味を理解しましょう。順序統計量は意味をよく理解することが大事です。

結果を記述しますが、詳しい導出はプレミアムテキストにあります。

期待値をまとめると

分散、共分散をまとめると

結果を記述しますが、詳しい導出はプレミアムテキストにあります。

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「順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる」を解説しました。

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順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

●定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

いろいろな関数を使ってよいですが、順序統計量を理解しやすく、簡単な関数を提示すると、
\(f(x)=x^p (1-x)^{n-p}\)
とQCプラネッツは考えています。

QCでもおなじみの二項分布、二項定理、OC曲線、抜取検査でもよく出で来る式ですし、
統計学でもベータ関数に持ち込めるし、
xの何とか乗なので、わかりやすいでしょう。

順序統計量の前に、よく活用するベータ関数を復習します。

ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

メインの公式は、以下です。よく使います！

次の場合を考えます。

なぜか、\(n\)個ではなく\(n-1\)個のコインで、
なぜか、\(i\)個ではなく\(i-1\)個のコインの場合の確率の
\(n\)倍するって変ですが、

期待値、分散の計算を簡単にするために、あえてこのように設定しました。

確率分布関数\(f_{(i)}(x))\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
となりますね。

いきなり難しい数学ではなく、よく勉強した高校数学からつなげて理解を深めましょう。

期待値E[\(x_i\)]、分散V[\(x_i\)]は公式通りです。確認すると、
E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]²
ですよね。

素直に代入します。

★期待値E[\(x_i\)]

E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=(式1)

(式1)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+1,n-i+1)\)
=\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=(式2)

(式2)を(式1)に代入すると、
(式1)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=\(\frac{i}{n+1}\)

まとめると、
期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
と随分スッキリした式で表現できます！

★期待値E[\(x_i^2\)]

期待値E[\(x_i\)]と同様に解くと、

E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=(式3)

(式3)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+2,n-i+2)\)
=\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=(式4)

(式4)を(式3)に代入すると、
(式3)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)

まとめると、
期待値E[\(x_i^2\)]=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)

★ 分散V[\(x_i\)]

V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]²より
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)- \((\frac{i}{n+1})^2\)
=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)

関数、期待値と分散は、それぞれ、
●関数\(f_{(i)}(x)\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
●分散V[\(x_i\)]=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)
でしたね。

具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入しましょう。

関数を具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入すると、
●\(f_{(1)}(x)\)=\(5(1-x)^4\)
●\(f_{(2)}(x)\)=\(20 x(1-x)^3\)
●\(f_{(3)}(x)\)=\(30 x^2 (1-x)^2\)
●\(f_{(4)}(x)\)=\(20 x^3 (1-x)\)
●\(f_{(5)}(x)\)=\(5 x^4\)

グラフにしましょう。Iの値によって形が変化しています。

★期待値E[\(x_i\)]

●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
を実際に代入すると
●期待値E[\(x_1\)]=\(\frac{1}{6}\)
●期待値E[\(x_2\)]=\(\frac{2}{6}\)
●期待値E[\(x_3\)]=\(\frac{3}{6}\)
●期待値E[\(x_4\)]=\(\frac{4}{6}\)
●期待値E[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6}\)
これをグラフにすると、確かに順序にそって、右に期待値が増加しているのがわかりますね。

★分散V [\(x_i\)]

●期待値V[\(x_1\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_2\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_3\)]=\(\frac{9}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_4\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
となり、i=3の時が分散は最大になることがわかります。

以前は、ブログ記事でまとめていましたが、PDFとしてまとめました。ダウンロードして学習ください。

順序統計量のパターンがたくさんが理解できる関連記事を紹介します。上から下に沿って、それぞれの関連記事を読んでいってください。

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一緒に勉強しましょう。

「順序統計量の考え方がよくわかる」を解説しました。

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分布関数が必要な理由を最初に理解しましょう。

それは、

私たちが知りたい変数の情報は主に３つです。

つまり、

という３つの情報があります。

４つの分布関数がありますが、関係性は下表のとおりです。

ここまでの内容は大丈夫でしょうか？わかりやすいはずですが、結構重要なエッセンスです。

この重要なエッセンスを主に、実際数式を解いていきます。数式が複雑なだけで考え方はここまで理解できればＯＫです。

図を見ましょう。

勉強する順番は、

ですから、

ここで、t分布は　(t分布)=(正規分布)×1/√(χ2乗分布/n(自由度))な変換で導出します。イメージは

t分布が何者かわかりにくいですが、これで少しイメージが付いたと思います。

QC検定®では、
①正規分布
➁t分布
➂χ2乗分布
➃F分布
の順番ですが、

数学的には、
①正規分布
➁χ2乗分布
➂F分布
➃t分布
の順番の方が理解しやすいです。

ここは、QC検定®１級以上のレベルなので、初めて確率密度関数を学ぶ人はスキップしてもOKです。

でも、導出過程を知らないと、わけのわからない関数のままです。

分布関数を導出するために必要な数学は以下です。すべて関連記事に書いていますのでご覧ください。

難しい式を並べず、高校数学の復習をしてから解説しているので、理解しやすいです。１つずつ何度も読んで理解を深めてください。一読でわかるものではないので注意です！

ベータ関数

ベータ関数がよくわかる 本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも重要です。

ガンマ関数

ガンマ分布がよくわかる 信頼性工学で必須なガンマ分布の特徴・期待値・分散などをわかりやすく解説します。

2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 2変数の確率変数の変換の基礎をわかりやすく解説します。

【まとめ】畳み込み積分がよくわかる 本記事では畳み込み積分を高校数学を使ってわかりやすく解説し、 さらに一様分布、指数分布、正規分布、ポアソン分布、χ2乗分布を組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。

何度も書いていますが、

を理解しましょう。ここからは、実際に数学を駆使して確率密度関数を導出しています。関連記事を見てください。

正規分布の導出がよくわかる 本記事では専門書を読んでも理解できない正規分布の導出をわかりやすく解説しています。統計学、品質管理に関わる人は必読です。

大事なポイントは、
なぜ、\(e^{-x^2}\)型を正規分布は使うのかを理解することです！ この理由を考えながら関連記事を読んでください。

★リンク QCプラネッツプレミアムテキスト 「F分布、χ2乗分布の導出がよくわかる」で確認ください

大事なポイントは、

①確率変数変換\(Y=X^2\)で2乗の変数を作る事です。1つの解法でどんな変換もイケます！実際に使う式は
\(g(y)\) =\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
暗記せず、導出過程も理解していきましょう。

➁２乗の変換ができたら、次は、2乗和して平方和・分散の確率密度関数を作ることです。
和は「畳み込み積分」で表現します。
\(Z=X_1^2+X_2^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(z-x)dx \)
ですね。これをくりかえします。

\(Z=(X_1^2+X_2^2)+X_3^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{1,2}(x)f_3(z-x)dx \)
…
\(Z=(X_1^2+…+X_{n-1}^2)+X_n^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{1,…,n-1}(x)f_n(z-x)dx \)
こうやってχ2乗分布の確率密度関数を導出します！

★リンク QCプラネッツプレミアムテキスト 「F分布、χ2乗分布の導出がよくわかる」で確認ください

大事なポイントは、
\(X,Y⇒Z=X/Y,W=Y\)と確率変数を変換して、
２変数の同時確率密度関数を導出します。
そして、変数を１つ減らすために、積分した周辺確率密度関数からF分布の確率密度関数が導出できます。

t分布の確率密度関数の導出がよくわかる t分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にt分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。

大事なポイントは、
\(X,Y⇒Z=X/\sqrt{\frac{Y}{n}},W=Y\)と確率変数を変換して、
２変数の同時確率密度関数を導出します。
そして、変数を１つ減らすために、積分した周辺確率密度関数からt分布の確率密度関数が導出できます。

t分布の導出を最後として、F分布の導出の後にした理由は
F分布と導出方法が同じで、変換する変数が異なるだけだからです。

「【まとめ】正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性がよくわかる」を解説しました。

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実は、正規分布の導出をしっかりまとめた本があります。

正規分布ハンドブック [ 蓑谷千凰彦 ] 価格：19800円（税込、送料無料) (2022/9/10時点)

この本のP137～181まで、「正規分布の歴史」として、過去の偉大な数学者が式の導出を解説しています。

でも、

ネットにも、いろいろ解説がありますが、

でも、でも、でも

だから、本記事を書くことにしました。

わかります？　この質問？

これを簡単に答えると、

でOKです。

もしあったら教えてください。

この定義でいくと、分布関数は
\(f(x)=x^a+・・・\)とかは、[-∞,∞]で積分すると∞に発散するのでNGです。

なので、\(f(x)=e^{-g(x)}\)型が有効なのは理解できます。

ここで、疑問が沸きます！

高校数学や大学入試で、出て来る関数は圧倒的に、
\(f(x)=e^{-x}\)の方です！

なぜなら、

じゃー、正規分布も\(f(x)=e^{-x}\)にすればいいじゃん！

これをわかりやすく解説します。

ガウスの公理というものがあります。感覚的に理解できるものです。

モデル式で大事なのは、

これを式でＱＣプラネッツ的に考えます。

ヒントするのは、高校数学・物理で習う、「放射性物質の時間に対する質量の変化率は質量に変化する」です。

確率密度関数は下図のように、ある点\(x\)での確率\(f(x)\)(<1)の確率の変化\(f’(x)\)は、その確率\(f(x)\)(<1)に関係があるはずで、誤差が増える(\(x\)が増える)ほど、確率\(f(x)\)は0に近づくように値が下がっていきます。

この微分方程式を解くと、
\(\frac{df}{dx}=-af\)
\(\frac{df}{f}=-adx\)
両辺を積分すると
\(log(f(x))=-ax\)
\(f(x)=e^{-ax}\)
となります。

あれ？　正規分布の式\(f(x)=e^{-x^2}\)じゃない！

ヒストグラムを書くと、もう少し滑らかな確率分布関数ですよね！

なので、モデル式を改造して再検討しましょう！

ヒストグラムを見ると、滑らかさの秘訣がわかります。

これを表現できるいい方法があります!
モデル式をこう変えます！

つまり、\(x\)の積を追加すればＯＫ！

\(x\)は 0 < \(x\) <1 の時、
\(f’(x)\)= \(axf(x)\) < \(af(x)\)より、
\(f’(x)\)は小さいから、\(f(x)\)の下がり方は小さい！

\(x\)は 1 < \(x\) の時、
\(f’(x)\)= \(axf(x)\) > \(af(x)\)より、
\(f’(x)\)は大きくなるから、\(f(x)\)は一気に下がる！

この微分方程式を解くと、
\(\frac{df}{dx}=-axf\)
\(\frac{df}{f}=-axdx\)
両辺を積分すると
\(log(f(x))=-\frac{1}{2}ax^2\)
\(f(x)=e^{-\frac{1}{2}ax^2}\)
となります。

この説明の方が、正規分布の導出は理解しやすい！です。

正規分布の導出を簡易的に理解できる方法を本記事で解説しました。

ただし、厳密な証明をやっぱり身に着けたい方は、本や他のサイトで勉強してください。

専門書と本記事を比較しても正規分布の導出については、
それほど説明力は変わらないのかもしれません。

わかりやすい正規分布の導出方法を解説しました。

「正規分布の導出がよくわかる」を解説しました。

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なんじゃこりゃ！ですが、大丈夫です！

一番大事なのは、

そして、よく見かける式がベータ関数の入り口です。

ここで、m=n=1なら、２次関数と直線との面積で、暗記する公式
\(\displaystyle \int_{α}^{β} (x-α) (x-β)dx \)=\(-\frac{1}{6}(β-α)^3\)
ですよね！

大学数学以上では頻繁に使うので、先に紹介します。

この証明は、ガンマ関数の記事で解説しますが、ここでは簡単なイメージです。

\(B(p,q)\)=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)
\(Γ(p)=(p-1)!\)、\(Γ(q)=(q-1)!\)、\(Γ(p+q)=(p+q-1)!\)より
\(B(p,q)\)=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)= \(\frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p+q)} \)と
階乗「！」でみていけば公式が成り立つのが、わかりますね。

高校数学で十分説明つきますね！

では、ベータ関数を導出してみましょう。

次の式を証明しましょう！　大学入試で絶対マスターすべき良問です！

★ 解法

まず、部分積分すると、漸化式が作れます。

\(\left[ \frac{1}{m+1}(x-a)^{m+1} (x-b)^n \right]_{a}^{b}\)=\(I(m,n)+\frac{n}{m+1}I(m+1,n-1)\)
なお、(左辺)は0なので、
\(I(m,n)\)=\(-\frac{n}{m+1}I(m+1,n-1)\) (式1)

(式1)から、
\(I(m,n)\)=\(-\frac{n}{m+1}I(m+1,n-1)\)= \((-\frac{n}{m+1})(-\frac{n-1}{m+2})I(m+2,n-2)\)
=…=\((-1)^n \frac{m!n1}{(m+n)!} I(m+n,0)\)
=\((-1)^n \frac{m!n1}{(m+n+1)!} (b-a)^{m+n+1}\) (式2)

と証明できます。今後、演習問題として取り上げたいので、計算途中を端折りましたが、一度は見ながら導出してみてください。

これも、大学入試で出題されてもいい良問です。まさにベータ関数の導出です。

(式2)を再掲します。
\(I(m,n)\)=\((-1)^n \frac{m!n1}{(m+n+1)!} (b-a)^{m+n+1}\) (式2)

ここで、上手な置き換えをします。
\(t=\frac{x-a}{b-a}\)と置くと、

●\((x-a)=t(b-a)\)
●\((x-b)=(t-1)(b-1)\)
●\(dx=(b-a)dt\)

積分区間は

これを(式2)に代入すると
\(I(m,n)= \displaystyle \int_{a}^{b} (x-a)^m (x-b)^ndx \)
=\((-1)^n \frac{m!n1}{(m+n+1)!} (b-a)^{m+n+1}\)

(右辺)=\(\displaystyle \int_{a}^{b} (x-a)^m (x-b)^ndx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} t^m (b-a)^m (t-1)^n (b-a)^n (b-a) dt \)
=\((-1)^n (b-a)^{m+n+1} \displaystyle \int_{0}^{1} t^m (1-t)^n dt \)
=\((-1)^n \frac{m!n1}{(m+n+1)!} (b-a)^{m+n+1}\)
より、

\(\displaystyle \int_{0}^{1} t^m (1-t)^n dt \)=\(\frac{m!n!}{(m+n+1)!} \)
ここで、 \(m⇒m-1,n⇒n-1\)に変えると、
\(\displaystyle \int_{0}^{1} t^{m-1} (1-t)^{n-1} dt \)=\(\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} \)
となり、ベータ関数が導出できます！

ベータ関数は

ここで、\(t\)は 0 ≤ \(t\) ≤ 1ですから、何か \(cos,sin\)で置きたくなります。

これは、よく \(x^{\frac{a}{b}}+y^{\frac{c}{d}}=1\)の曲線の面積を求める時によく使いますし、大学入試でも頻出問題ですね。

過去の入試問題を紹介しましょう。解けるかな？

ベータ関数を身に着けるための重要な演習問題です。是非解いてみてください。

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「ベータ関数がよくわかる」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

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‎

基本は次の関連記事でまとめていますので、確認ください。

2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 　2変数の変換の基礎と、積の場合をわかりやすく解説しています！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

2変数の前に、1変数の変換については、関連記事でまとめていますが、主にZ=X+Y,Z=X-Yの加減についてですね。

【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる 本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！

では、解説していきます。2例解説します。

やってみましょう。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)\)=1 (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)\)=1 (0 ≤ \(y\) ≤ 1)

解き方は、

ですから、１つずつ行きましょう。

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(zw\)
\(y\)=\(w\)

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
w & z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(w・1-0・z\)
=\(w \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1・ w dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)

結構、スッキリしますね！

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。

となります。図で解説します。ただし、\(z=x/y\)であり\(w=y\)で積分するので、\(xy\)の軸が通常と逆にしています。

もう１つ事例を挙げます。次は、指数分布どうしです。

やってみましょう。

解き方は、事例1と同じです。

ですから、１つずつ行きましょう。

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(zw\)
\(y\)=\(w\)

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
w & z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(w・1-0・z \)
=\(w\)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w dw\)
=(式1)

よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w \)

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。

積分すると、
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} (λμe^{-(λz+μ)w)} w dw \)
=\(\left[-\frac{λμ}{(λz+μ)^2} e^{-(λz+μ)w} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{λμ}{(λz+μ)^2}\)

計算できました！

伝えたいことは

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合)」を解説しました。

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慣れてきたら、公式を見ましょう。

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

解いていきましょう。解法は、

ですから、１つずつ行きましょう。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{1}{5}(2z+w)\)
\(y\)=\(\frac{1}{5}(z-2w)\)
連立方程式から求められます。

次に、ヤコビアン行列から行列式ヤコビアンを求めます。

\(det J\)=\(\frac{2}{5}・(-\frac{2}{5})\)-\(\frac{1}{5}・\frac{1}{5}\)
=\(-\frac{1}{5}\)
で計算できます。

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2} × \frac{1}{5}(2z+w) ×\frac{1}{25}(z-2w)^2 ×|-\frac{1}{5}| dzdw\)
=\(\frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 dzdw\)

よって、同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)= \frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 \)
と計算できます。

なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。

やってみましょう。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=1\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)=1\) (0 ≤ \(y\) ≤ 1)

解き方は、

ですから、１つずつ行きましょう。

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{z}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{z}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1 \frac{1}{w} dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)

結構、スッキリしますね！

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。

となります。ここが難しいですね！

もう１つ事例を挙げます。次は、積分が困難なので、途中で終わる場合です。

やってみましょう。

解き方は、事例1と同じです。

ですから、１つずつ行きましょう。

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{1}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{1}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw\)
=(式1)

よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}\)

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。

実は、この
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
の積分が非常に難しいです。なぜなら、

\(e^{-\frac{1}{w}}・e^{-w}\)の積分で、特に、\(e^{-\frac{1}{w}}\)が難しいです。

一旦ここで、保留しましょう。

うまく計算ができないパターンもブログとして掲載しますね。
教科書は、うまく計算ができる例だけしかないので、あたかもどんな関数でも変換ができるように錯覚しがちです。

とは、言っても、伝えたいことは

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=XY積の場合)」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★ QCに必要な数学問題集を販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

１つ条件があります！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 　2変数の変換の基礎と、積の場合をわかりやすく解説しています！

同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

今回は、その２「t分布の確率密度関数の導出」です。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\) (\(x\) ≥ 0)
\(g(y)=\frac{1}{2π}e^{-\frac{1}{2}y^2}\) (-∞ ≤ \(x\) ≤ ∞)

解いていきましょう。解法は、

ですから、１つずつ行きましょう。

★(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(w\)
\(y\)=\(z\sqrt{\frac{w}{n}}\)

★(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\sqrt{\frac{w}{n}}& \frac{1}{2\sqrt{w}}
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(0・\frac{1}{2\sqrt{w}}\)-1・\(\sqrt{\frac{w}{n}}\)
=\(-\sqrt{\frac{w}{n}}\)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

★(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}\)\(\frac{1}{2π}e^{-\frac{1}{2}z^2\frac{w}{n}}dzdw\)
(|det J|=\(\frac{w}{n}\))

さらに変形していきます。
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{w})}dzdw\)
=\(p(z,w)\)

よって、同時確率密度関数\(p(z,w)\)は
\(p(z,w)= \frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{w})}dzdw\)
と計算できます。

なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。

今回は\(h(z)\)と\(z\)についての関数が欲しいので、\(p(z,w)\)について\(w\)で積分します。
\( h(z)=\displaystyle \int_{-∞}^{∞} p(z,w)dw \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)
=(式1)

ここで、\(w=x\)はもともと\(x\) ≤ 0ですから、積分区間を[0,∞]に変えています。

次に、\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)を計算します。よく見るとΓ関数にもっていけそうです。

一旦、次の積分を考えます。
\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^p e^{-aw}dw \)=(式2)
\(t=aw\)とすると、
\(w=\frac{t}{a}\),\(\frac{dt}{dw}=a\)となり、これを(式2)に代入します。

(式2)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞}(\frac{t}{a})^p e^{-t} (\frac{1}{a})dt\)
=\(\frac{1}{a^{p+1}}\displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)
=\(\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\)
=(式3)

ここで、Γ関数は
\(Γ(p+1)= \displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)\)
です。

(式1)に代入するため、(式3)の文字を置き換えます。
\(p=\frac{n-1}{2}\)
\(a=\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})\)
とおいて、(式１)に代入します。

(式1)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)

=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}}\)\(\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})^{\frac{n+1}{2}})}\)
=(式4)

さらに、Γの式が複数あるので、ベータ関数でまとめられないか？を見ましょう。

普通気が付かないのですが、よくみると
\(\sqrt{π}\)=Γ\((\frac{1}{2})\)
とわかります。これを(式4)に代入します。

(式4)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}}\)\(\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})^{\frac{n+1}{2}})}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{π}}B(\frac{1}{2},\frac{n}{2})(1+\frac{z^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\)
=(式5)

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「t分布の確率密度関数の導出がよくわかる」を解説しました。