ダービンワトソン比がよくわかる
「ダービンワトソン比がわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①ダービンワトソン比とは
- ➁ダービンワトソン比の範囲を導出
- ➂ダービンワトソン比の値とデータの特性
ダービンワトソン比の値とグラフの関係を実例をあげて解説するのはQCプラネッツだけ！
①ダービンワトソン比とは
ダービンワトソン比とは
ある回帰直線において、回帰線分と残差成分に分けた時、
\(y_i\)=\(βx_i\)(回帰)+\(e_i\)(残差) (\(i=1,2,…,n\))
残差\(e_i\)について、ダービンワトソン比を定義します。
ダービンワトソン比の式を展開する
DW=\(\frac{\sum_{i=2}^{n}(e_i-e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)を展開します。
DW=\(\frac{\sum_{i=2}^{n}(e_i-e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_i^2-2\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i +\sum_{i=2}^{n} e_{i-1}^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=(式１)
ここで、
●\(\sum_{i=1}^{n} e_i^2\)=\(e_1^2 +\sum_{i=2}^{n} e_i^2\)
●\(\sum_{i=1}^{n} e_i^2\)=\(\sum_{i=2}^{n} e_{i-1}^2+e_n^2\)
に注意して、(式1)に代入します。
(式1)
=\(\frac{(\sum_{i=1}^{n} e_i^2-e_1^2)-2\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i +(\sum_{i=1}^{n} e_{i}^2-e_n^2)}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=\(\frac{2\sum_{i=1}^{n} e_i^2-2\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i -(e_1^2+e_n^2)}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=2-2\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)-\(\frac{ e_1^2+e_n^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=(式3)
(式3)の第３項においては、\(n\)が十分大きいと
\(\frac{ e_1^2+e_n^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=\(\frac{e_1^2+e_n^2}{e_1^2+e_2^2+e_3^2+…+e_n^2}\)
となり、(分子) \(\ll\) (分母)とみなせるので、
とします。
次に第２項の
\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
ですが、よく相関係数\(ρ\)と定義して、
\(ρ\)=\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
とおくことがあります。
➁ダービンワトソン比の範囲を導出
残差どうしの相関係数の範囲を導出
\(ρ\)=\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
の範囲を求めましょう。相関係数というくらいなので、-1 ≤ \(ρ\) ≤ 1となります。
証明してみましょう。
(分子)= \(\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i \)をあえて絶対値をつけて
(分子)= |\(\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i \)|とします。
(分母)-(分子)
=\(\sum_{i=1}^{n}e_i^2\)-|\(\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i \)|
=(\(e_1^2+e_2^2+…+e_n^2\))-(|\(e_1 e_2\)|+|\(e_2 e_3\)|+…+|\(e_{n-1} e_n\)|)
上手く変形すると
=\(\frac{1}{2}(|e_1-e_2|)^2\)+\(\frac{1}{2}(|e_2-e_3|)^2\)+…+\(\frac{1}{2}(|e_{n-1}-e_n|)^2\)+\(\frac{1}{2}e_n^2\)
=\(\frac{1}{2}(e_1-e_2)^2\)+\(\frac{1}{2}(e_2-e_3)^2\)+…+\(\frac{1}{2}(e_{n-1}-e_n)^2\)+\(\frac{1}{2}e_n^2\) ≥ 0
よって、
両辺ともに正なので、
\(\frac{|\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i |}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\) ≤ 1
絶対値を外すと
-1 ≤ \(\frac{|\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i |}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\) ≤ 1
-1 ≤ \(ρ\) ≤ 1
となります。
ダービンワトソン比の範囲を導出
もう一度、ダービンワトソン比の式(式3)を再掲します。
DW=2-2\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)-\(\frac{ e_1^2+e_n^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
第３項は0で近似して、第２項は-1～1の範囲ですから、
の範囲で動くことになります。
暗記しなくても自力で導出できますね！
➂ダービンワトソン比の値とデータの特性
ダービンワトソン比の範囲と相関の関係
よく、下の3つに分類されます。
| DW | 相関性 | 相関係数\(ρ\) |
| 0～2 | 正の相関あり | \(ρ\) ≥ 0 |
| 2 | 相関なし | \(ρ\) = 1 |
| 2～4 | 負の相関あり | \(ρ\) ≤ 0 |
相関係数\(ρ\)=\(\frac{\sum_{i=2}^{n} e_{i-1} e_i}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)の正負や値を見ても、どんなグラフやデータなのかがイメージできませんよね！
なので、実例を使ってダービンワトソン比を調べてみましょう。
| – | パターン1 | パターン2 | ||
| No | x1 | y1 | x2 | y2 |
| 1 | 10 | 56 | 10 | 40 |
| 2 | 12 | 62 | 11 | 60 |
| 3 | 14 | 64 | 12 | 42 |
| 4 | 13 | 68 | 13 | 62 |
| 5 | 10 | 72 | 14 | 44 |
| 6 | 25 | 76 | 15 | 64 |
| 7 | 22 | 80 | 16 | 46 |
| 8 | 25 | 82 | 17 | 66 |
| 9 | 23 | 80 | 18 | 48 |
| 10 | 16 | 90 | 19 | 68 |
それぞれのデータをプロットします。
ダービンワトソン比が0～2の間の場合
パターン１のデータのダービンワトソン比DWを計算します。
| No | \(x_1\) | \(y\) | X= \(x_1-\bar{x_1}\) |
Y= \(y-\bar{y}\) |
\(X^2\) | \(Y^2\) | XY | \(\hat{y_i}\) | \(e_i\) |
| 1 | 10 | 56 | -7 | -17 | 49 | 289 | 119 | 65.047 | -9.047 |
| 2 | 12 | 62 | -5 | -11 | 25 | 121 | 55 | 67.320 | -5.320 |
| 3 | 14 | 64 | -3 | -9 | 9 | 81 | 27 | 69.592 | -5.592 |
| 4 | 13 | 68 | -4 | -5 | 16 | 25 | 20 | 68.456 | -0.456 |
| 5 | 10 | 72 | -7 | -1 | 49 | 1 | 7 | 65.047 | 6.953 |
| 6 | 25 | 76 | 8 | 3 | 64 | 9 | 24 | 82.089 | -6.089 |
| 7 | 22 | 80 | 5 | 7 | 25 | 49 | 35 | 78.680 | 1.320 |
| 8 | 25 | 82 | 8 | 9 | 64 | 81 | 72 | 82.089 | -0.089 |
| 9 | 23 | 80 | 6 | 7 | 36 | 49 | 42 | 79.817 | 0.183 |
| 10 | 16 | 90 | -1 | 17 | 1 | 289 | -17 | 71.864 | 18.136 |
| sum | 170 | 730 | 0 | 657 | 338 | 994 | 384 | – | – |
| ave | 17 | 73 | – | – | \(S_{xx}\) | \(S_{yy}\) | \(S_{xy}\) | – | – |
なお、回帰直線と平方和も計算すると、
●ｙ切片=53.687
●傾き＝1.136
●回帰平方和\(S_R\)=436.26
●残差平方和\(S_e\)=557.74
●総平方和\(S_T\)=994
となります。一度は計算してみてくださいね。
ダービンワトソン比DWを計算
各\(e_i\)の値が求まったので、ダービンワトソン比を計算しましょう。
DW=\(\frac{\sum_{i=2}^{n}(e_i-e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=\(\frac{((-5.320)-(-9.047))^2}{(-5.320)^2}\)+\(\frac{((-5.592)-(-5.320))^2}{(-5.320)^2}\)+…+\(\frac{((18.136-0.183)^2}{0.183^2}\)
=1.156
ダービンワトソン比が0～2の間になりました。
ダービンワトソン比DWが0～2の状態とは？
ｘ－ｙグラフと、残差\(e_i\)の変化をプロットします。
残差のプロットからは
\(e_i\)が5以下の値で固まっており、２点大きく飛び出ているのが特徴で、相関係数\(ρ\)は正です。
ダービンワトソン比における相関係数が正の場合のデータのイメージです。
では、ダービンワトソン比DWが2～4の状態とは？どんな感じかを調べてみましょう。
ダービンワトソン比が2～4の間の場合
パターン2のデータのダービンワトソン比DWを計算します。
| No | \(x_1\) | \(y\) | X=\(x_1-\bar{x_1}\) | Y=\(y-\bar{y}\) | \(X^2\) | \(Y^2\) | XY | \(\hat{y_i}\) | \(e_i\) |
| 1 | 10 | 40 | -4.5 | -14 | 20.25 | 196 | 63 | 46.909 | -6.909 |
| 2 | 11 | 60 | -3.5 | 6 | 12.25 | 36 | -21 | 48.485 | 11.515 |
| 3 | 12 | 42 | -2.5 | -12 | 6.25 | 144 | 30 | 50.061 | -8.061 |
| 4 | 13 | 62 | -1.5 | 8 | 2.25 | 64 | -12 | 51.636 | 10.364 |
| 5 | 14 | 44 | -0.5 | -10 | 0.25 | 100 | 5 | 53.212 | -9.212 |
| 6 | 15 | 64 | 0.5 | 10 | 0.25 | 100 | 5 | 54.788 | 9.212 |
| 7 | 16 | 46 | 1.5 | -8 | 2.25 | 64 | -12 | 56.364 | -10.364 |
| 8 | 17 | 66 | 2.5 | 12 | 6.25 | 144 | 30 | 57.939 | 8.061 |
| 9 | 18 | 48 | 3.5 | -6 | 12.25 | 36 | -21 | 59.515 | -11.515 |
| 10 | 19 | 68 | 4.5 | 14 | 20.25 | 196 | 63 | 61.091 | 6.909 |
| sum | 145 | 540 | 0 | 486 | 82.5 | 1080 | 130 | – | – |
| ave | 14.5 | 54 | – | – | \(S_{xx}\) | \(S_{yy}\) | \(S_{xy}\) | – | – |
なお、回帰直線と平方和も計算すると、
●ｙ切片=31.152
●傾き＝1.576
●回帰平方和\(S_R\)=204.84
●残差平方和\(S_e\)=875.15
●総平方和\(S_T\)=1080
となります。一度は計算してみてくださいね。
ダービンワトソン比DWを計算
各\(e_i\)の値が求まったので、ダービンワトソン比を計算しましょう。
DW=\(\frac{\sum_{i=2}^{n}(e_i-e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^{n}e_i^2}\)
=\(\frac{(11.515-(-6.909))^2}{(-6.909)^2}\)+\(\frac{((-8.061)-11.515)^2}{11.515^2}\)+…+\(\frac{((6.909-(-11.515))^2}{(-11.515)^2}\)
=3.691
ダービンワトソン比が2～4の間になりました。
ダービンワトソン比DWが2～4の状態とは？
ｘ－ｙグラフと、残差\(e_i\)の変化をプロットします。
残差のプロットからは
\(e_i\)が大きな値と小さな値がジグザグに入れ替わっている特徴がありますね。相関係数\(ρ\)は負です。
ダービンワトソン比における相関係数が負の場合のデータのイメージです。
まとめ
「ダービンワトソン比がよくわかる」を解説しました。
- ①ダービンワトソン比とは
- ➁ダービンワトソン比の範囲を導出
- ➂ダービンワトソン比の値とデータの特性
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119