カテゴリー:

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題
• ➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題
• ➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)(その２で解説)
• ➄(iV)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ) (その２で解説)

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題

演習問題

難しそうな問ですが、１つ１つ解いていきましょう。

解法のポイント

ポイントは、２つあり、

1. 確率変数の変換(2変数)
2. 順序統計量の同時確率密度関数

を使います。

関連記事も紹介しますので、不安な場合は関連記事の解説を読んでください。

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

解法

一様分布から\(Y_i\)の確率密度関数\(f_i(y)\)と分布関数\(F_i(y)\)は
●\(f_i(y)\)=1 (0 < \(y\) < 1)
●\(F_i(y)\)=\(y\) (0 < \(y\) < 1)
です。

次に\(y_1\)と\(y_3\)の同時確率密度関数は公式
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
から
\(f_{(1),(3)}(y_{(1)},y_{(3)})\)=\(C_{1,3}F(y_1)^{1-1}\)\((F(y_3)-F(y_1))^{3-1-1}\)\((1-F(x_3))^{3-3}f(x_1)f(x_3)\)
\(f_{(1),(3)}(y_{(1)},y_{(3)})\)=6\((F(y_3)-F(y_1))\)
=\(6(y_3-y_1)\)

そして、\(z=y_3-y_1\)より、２変数の変換をします。
●\(z=y_3-y_1\)
●\(w\)=\(y1\)
とおいて、変換すると、
\(f_{z,w}(z,w)\)= \(f(y_1(z,w),y_3(z,w))|detJ|\)で
=\(6(y_3-y_1)・1\)
=\(6z\) (ただし、0 < \(z\) < \(w\) < 1)

ここでヤコビアン行列から
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial y_1}{ \partial z} & \frac{\partial y_3}{\partial w} \\
\frac{\partial y_1}{\partial z} & \frac{\partial y_3}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

ヤコビアン行列を実際に代入すると
J=\(\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\)
から行列式は-1で、その絶対値は1です。

最後に、\(z\)の周辺確率密度関数を計算します。

\(f_{z,w}(z,w)\)=\(6z\) (ただし、0 < \(z\) < \(w\) < 1)
は変数\(z,w\)の式なので、無関係な\(w\)について積分します。

積分区間は、\(z\) < \(w\) < 1に注意します。

\(f(z)\)=\( \displaystyle \int_{z}^{1} 6z dz\)
=\(6z(1-z)\)
(答え)

できましたね！

➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題

演習問題

解法のポイント

１変数の順序統計量の確率密度関数と期待値の計算ですね。関連記事でも解説しています。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

解法

まず、分布関数\(F_i(x)\)は確率密度関数\(f_i(x)\)を積分して、
●\(f_i(x)=2x\) (0 < \(x\) < 1)
●\(F_i(x)=x^2\) (0 < \(x\) < 1)
ですね。

確率密度関数\(f_i(x)\)を計算

確率密度関数\(f_i(x)\)を計算します。
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
より、

●\(i\)=1のとき、
\(f_1(x)\)=\(\frac{3!}{(1-1)!1!(3-1)!} F_1(x)^{1-1}[1-F_1(x)]^{3-1}f_1(x)\)
=\(\frac{3!}{2!} [1-F_1(x)]^2 f_1(x)\)
=\(3(1-x^2)^2 ・2x\)
=\(6x(1-x^2)^2\)

●\(i\)=2のとき、
\(f_2(x)\)=\(\frac{3!}{(2-1)!1!(3-2)!} F_2(x)^{2-1}[1-F_2(x)]^{3-2}f_2(x)\)
=\(3! F_2(x) [1-F_2(x)] f_2(x)\)
=\(6 x^2 (1-x^2) ・2x\)
=\(12x^3 (1-x^2)\)

●\(i\)=3のとき、
\(f_3(x)\)=\(\frac{3!}{(3-1)!1!(3-3)!} F_3(x)^{3-1}[1-F_3(x)]^{3-3}f_3(x)\)
=\(\frac{3!}{2!} F_3(x)^2 f_3(x)\)
=\(3(x^2)^2 ・2x\)
=\(6x^5\)

3つの関数をまとめると
●\(f_1(x)\)= \(6x(1-x^2)^2\)
●\(f_2(x)\)= \(12x^3 (1-x^2)\)
●\(f_3(x)\)= \(6x^5\)

図で描くと、E[\(x_1\)] < E[\(x_2\)] < E[\(x_3\)]に見えますよね。

期待値E[\(x_i\)]を計算

E[\(x_1\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_1(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} 6x^2(1-x^2)^2 dx\)
=\(\frac{16}{35}\)

E[\(x_2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_2(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} 12x^4 (1-x^2) dx\)
=\(\frac{24}{35}\)

E[\(x_3\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_3(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} 6x^6 dx\)
=\(\frac{30}{35}\)

\(\frac{16}{35}\) < \(\frac{24}{35}\) < \(\frac{30}{35}\) より
E[\(x_1\)] < E[\(x_2\)] < E[\(x_3\)]が確認できた。

➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)

➄(iV)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ)

順序統計量の演習問題（その2）で解説しますね。範囲R(\(x_n – x_1\)の確率密度関数を解く重要な問題なので、是非読んでください。

まとめ

「順序統計量の演習問題(その1)」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題
• ➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題
• ➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)(その２で解説)
• ➄(iV)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ) (その２で解説)

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁R管理図の変数d2,d3
• ➂順序統計量からＲ管理図の係数d2,d3導出の紹介

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁R管理図の変数d2,d3

詳しくは、すでに関連記事で書いています。

【必読】R管理図の変数d2,d3の導出が(半分)わかる R管理図の係数d2,d3はどうやって求めるか説明できますか？本記事では、範囲Rの確率密度関数を順序統計量の同時分布を使って導出し、途中までですが、d2,d3の導出方法を解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

R管理図の変数d2,d3

●\(d_2\)=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} [1-(1-φ(x))^n-(φ(x))^n]dx\)
●\(d_3\)=\(\sqrt{2\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy-d_2^2 }\)
\(f(x,y)=1-φ(y)^n-(1-φ(x))^n+(φ(y)-φ(x))^n\)

読んでも理解ができない超難関な式です。でも、これをR管理図の係数表として有名です。どうやってこの式になったのか？と気になるのは当然！

注意！

●\(d_2\)=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} [1-(1-φ(x))^n-(φ(x))^n]dx\)
●\(d_3\)=\(\sqrt{2\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy-d_2^2 }\)
\(f(x,y)=1-φ(y)^n-(1-φ(x))^n+(φ(y)-φ(x))^n\)
は順序統計量を勉強すれば、同時分布の幅の分布から導出するのがわかりますが、その先の導出がやっぱりわからないです。

➂順序統計量からＲ管理図の係数d2,d3導出の紹介

要約は関連記事で

【必読】R管理図の変数d2,d3の導出が(半分)わかる R管理図の係数d2,d3はどうやって求めるか説明できますか？本記事では、範囲Rの確率密度関数を順序統計量の同時分布を使って導出し、途中までですが、d2,d3の導出方法を解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

本記事は、図書の原文を残しておきます

導出が書いている唯一の図書が、「新編統計数値表　河出書房　1952」P207です。大きな図書館でないと借りれません。

1952年から70年経過しており、著作権の影響がないことと、
この本の内容以外、R管理図の変数d2,d3の導出が書いていないため、原文を書き残して、導出過程をみなさんと協議したいと思います。

「新編統計数値表　河出書房」P206-208の原文です。古い漢字や誤植や解釈が難しいと思われるところはQCプラネッツの方で修正しています。

「新編統計数値表　河出書房」

36.範囲の分布

連続型分布で無作為標本\(x_1\),\(x_2\),…, \(x_n\)を大きさの順に並べたものを
\(x_1\) < \(x_2\) < … < \(x_n\)
とする。\(x_r\)を\(r\)番目の順序統計量という。

元の分布関数を\(F(x)\)、確率密度関数を\(f(x)\)とすれば、\(x_r\)の分布は、
\(Φ(x_r)dx_r\)=\([F(x_r)]^{r-1} [1-F(x_r)]^{n-r} f(x_r)dx_r /B(r,n-r+1)\)

\(F_1=F(x_r)\), \(F_2=F(x_{n-l+1})\)の同時分布は
\(F_1^{r-1} (F_2 – F_1)^{n-r-l}(1-F_2)^{l-1} dF_1 dF_2 \)
に比例する。

つぎに、
\(R=x_n – x_1\)と定義すると、\(R\)は範囲という。\(R\)の標本分布において、\(x_2-x_1=w\)と置くと、\(R\)の確率密度関数\(f_W (w)\)は

\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \displaystyle \int_{-∞}^{x_2} (F_2 -F_1)^{n-2} f(x_1)f(x_1+w) dx_1 dx_2\)

ここで、\(dF_i\)=\(df_i dx_i\)とすると、

\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \displaystyle \int_{-∞}^{x_2} (F_2 -F_1)^{n-2} dF_1 dF_2\)
となる。

期待値E[\(w\)]は、
E[\(w\)]=\(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \displaystyle \int_{-∞}^{x_2} (F_2 -F_1)^{n-2} (x_2 -x_1) dF_1 dF_2\)
となる。

\((F_2-F_1)^{n-2}\)を展開して、部分積分からまとめると、
E[\(w\)]=\(n! \sum_{r=0}^{n-2} \frac{(-1)^r}{(r+1)!(n-r-1)!} \displaystyle \int_{-∞}^{∞} (1-F_2^{n-r-1})F_2^{r+1} dx_2\)
=\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} (1-F_2^n-(1-F_2)^n)dx_2\)

同様にしてE[\(w^2\)]は
E[\(w^2\)]=\(2 \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \displaystyle \int_{-∞}^{x_2}(1-F_2^n-(1-F_1)^n-(F_2-F_1)^n)dx_1 dx_2 \)

従って\(w\)の母分散は
\(σ_w^2\)= E[\(w^2\)]- E[\(w\)]²
で与えられる。

範囲の分布は、元の分布の母平均の値によらないから、
\(\displaystyle \int_{0}^{1} xdF\)=0
\(\displaystyle \int_{0}^{1} x^2dF\)=\(σ^2\)=1
と置いても、一般性は失わない。\(σ^2\)が存在するなら、
\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} xF= 0\)
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x(1-F)= 0\)
より、

部分積分から、
E[\(w\)]=\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} (1-F^n-(1-F)^n)dx\)
=-\(\displaystyle \int_{0}^{1} xd[1-F^n-(1-F)^n]\)= \(\displaystyle \int_{0}^{1} x[(1-F)^n-F^n]dF\)

シュワルツの不等式より、
\(E[w]^2\) ≤ \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^2dF \displaystyle \int_{0}^{1} [(1-F)^n-F^2]^2 dF\)
=\(\frac{2n^2}{2n-1}(1-\frac{1}{_{2n-2}C_{n-1}})=K\)
とすると、\(K\)は、
E[\(w\)]=E[\(\frac{R}{σ}\)]=\(d_2\)
を与える。

E[w]の導出までは理解できますが、そのあとの計算がさっぱりわからないですね。式が正しく導出できるかが分からないです。

導出が分かり次第報告します！

このテーマはわかるまで研究したいと考えております。

まとめ

「順序統計量からＲ管理図の係数d2,d3導出の紹介」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁R管理図の変数d2,d3
• ➂順序統計量からＲ管理図の係数d2,d3導出の紹介

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の幅の分布の確率密度関数がわかる
• ➂順序統計量の幅の分布の例題

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の幅の分布の確率密度関数がわかる

R管理図の係数導出に必須

順序統計量をブログに投稿している最大の理由が、「R管理図の係数導出」です。順序統計量からR管理図の係数を求めますが、その導出過程が難しいから解明したい！です。

同時確率密度関数からスタート

基本は同時確率密度関数からスタートします。基本的な内容は関連記事で解説していますのでご確認ください。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

この記事では、同時確率密度関数の式からスタートします。

順序統計量の幅の分布の確率密度関数

同時確率分布の確率密度関数において、
\(W\)=\(X_{(n)}\)- \(X_{(1)}\)
と定義して、幅\(W\)の分布を考えます。

まず、
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
へ、\(i\)=1、\(j\)=\(n\)を代入します。

\(f_{(1),(n)}(x_{(1)},x_{(n)})\)=\(C_{1,n}\)\((F(x_n)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_n)\)
まとめると、\(x_n=x_1 +w\)に注意して
\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\((F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)
=(式1)
となります。この式を使います。

順序統計量の幅の分布の確率密度関数を積分

\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\((F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)はまだ、変数\(x_1\)がいて、変数\(w\)だけの式ではないので、変数\(x_1\)で積分します。

\(W\)についての確率密度関数は
\(f_W (w)\)= \(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)dx_1\)
=(式2)
となります。

さらに(式2)を積分すると、変数\(W\)についての確率も導出できます。
Pr(\(W\))=\(n\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-1}\)\(f(x_1)\)dx_1\)
=(式3)
となります。

(式2)⇒(式3)においては、
\( f(x_1 +w)\)= \(\displaystyle \frac{d(F(x_1+w)-F(x_1))}{dx} \)として、
\((n-1) (F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2} f(x_1 +w)\)を
\((n-1) (F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\displaystyle \frac{d(F(x_1+w)-F(x_1))}{dx}\)として、
\((F(x_1+w)-F(x_1))\)を\((n-2)\)乗から\((n-1)\)乗に１つ指数を上げる計算をしています。

後で使う式なのでまとめると、

➂順序統計量の幅の分布の例題

実際に例題を見ながら計算してみましょう。

順序統計量の幅の分布の例題

公式から実際に解いて、イメージをつけましょう。

(i)確率密度関数\(f_W (w)\)の解法

(式2)に\(F(x)\)=\(x\),\(f(x)\)=1を代入します。

(式2)
=\(f_W (w)\)= \(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)dx_1\)
=\(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{0}^{1-w}((x_1+w)-x_1)^{n-2} dx_1\)
=\(n(n-1)w^{n-2} (1-w)\) (0 < w < 1)

\(w\)の式ですが、\(x_1\)で積分する点に注意しましょう。
また、\(x_n=x_1+w\) < 1より \(x_1\)　< 1-\(w\)で積分します。

(ii)同時確率密度関数\(f_W(i,j) (w) \)の解法

同時確率密度関数は
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
より、\(f(x)=1\)、\(F(x)=x\)を代入すると、

\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
\(x_j=x_i+w\)と置くと、

\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_i +w)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_i +w))^{n-j}f(x_i)f(x_i +w)\)

さらに、\(F(x)=x\),\(f(x)=1\)を代入すると、

\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j}x_i^{i-1}\)\((w)^{j-i-1}\)\((1- x_i -w))^{n-j}\)

この式を\(dx_i\)で積分すると、
\(x_n=x_1+w\) < 1より \(x_1\)　< 1-\(w\)で積分する点に注意して、

\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j} \displaystyle \int_{0}^{1-w} x_i^{i-1}\)\((w)^{j-i-1}\)\((1- x_i -w))^{n-j} dx_i\)
=\(C_{i,j} w^{j-i-1} (1-w)^{n-j+i}\)
となります。

幅の分布で具体的な関数になっても、いまいちピンと来ませんが、計算はできますね。

まとめ

「順序統計量の幅の分布がわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の幅の分布の確率密度関数がわかる
• ➂順序統計量の幅の分布の例題

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
• ➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

順序統計量の確率密度関数の復習

今回は同時分布は対象外です。

関連記事で解説していますので、ご確認ください。

順序統計量の中央値の導出

確率変数\(X_1,X_2,…,X_n\)の中央値は、\(n\)が奇数のときと、偶数のときで表示が若干変わります。

例として、\(n\)=7のときは、中央は4です。 \(\frac{7+1}{2}\)=4で計算できます。
\(n\)=8のときは、中央は4と5の真ん中です。\(\frac{\frac{8}{2}+\frac{8}{2}+1}{2}\)=\(\frac{4+5}{2}\)=4.5で計算できますね。

これを順序統計量の確率密度関数に代入すればＯＫです。

順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

\(n\)が奇数の場合

\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)に代入します。

\(f_M (x)\)=\(\frac{n!}{( \frac{n+1}{2}-1)!1!(n-\frac{n+1}{2})!}\)\(F(x)^{ \frac{n+1}{2}-1}(1-F(x))^{n-\frac{n+1}{2}} f(x)\)
=\(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)
となります。

つまり、
\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)

\(n\)が偶数の場合

\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)に代入します。

ここで、式の見た目をよくするために１つトリックを仕込みます。(良くないと思うが)

\((i-1)\)の\(i\)に \(i=\frac{n}{2}\)を
\((n-i)\)の\(i\)に \(i=\frac{n}{2}+1\)を
代入して、共に
\(\frac{n}{2}-1\)とさせます。

また、(f(x))の部分を(f(x_1)), (f(x_2))に分けます。

\(f_M (x)\)=\(\frac{n!}{( \frac{n}{2}-1)!1!( \frac{n}{2}-1)!}\)\(F(x_1)^{ \frac{n}{2}-1}(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
=\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
となります。

つまり、
\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)

まとめると、

➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

一様分布を使って、具体的な中央値の確率密度関数の式を作ってみましょう。

解説します。

(1)順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

先の、

に\(f(x)=1\),\(F(x)=x\)を代入します。

\(n\)が奇数の場合

\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2}!)^2}\)\((x(1-x)^{\frac{n-1}{2}} \)
(0 < \(x\) < 1)

\(n\)が偶数の場合

\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!)^2}\)\((x_1(1-x_2)^{ \frac{n}{2}-1} \)
(0 < \(x\) < 1)

(2)期待値と分散の導出

期待値と分散の導出は、関連記事で解説しています。

期待値と分散は

この式に\(i=\frac{n+1}{2}\)を代入して、

●期待値E=\(\frac{i}{n+1}\)=\(\frac{\frac{n+1}{2}}{n+1}\)=\(\frac{1}{2}\)
●分散V=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
=\(\frac{1}{4(n+2)}\)

まとめ

「順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
• ➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
• ➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出

(1) 順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出

関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)の導出についてです。

教科書の導出方法を解説します。

\(X\)=(\(X_1,…,X_n\))を\(n\)個の独立な確率標本とし、確率密度関数、および分布関数をそれぞれ\(f(x)\),\(F(x)\)とする。また、\(F_{(i)}\),\(i=1,…,n\)を\(i\)番目の順序統計量\(X_{(i)}\)の分布案数とする。

上図のように、事象\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\)(\(δx\)は微小とする)の起こる確率Prは、二項定理を使って
Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\) \(F(x)^{i-1} (1-F(x+δx))^{n-i} (F(x+δx)-F(x))\)
=(式1)
と表現できる。

二項定理から見ると、
●\(F(x)\)が\(i-1\)個
●\(F(x+δx)-F(x)\)が1個
●残り\(1F(x+δx)\)が\(n-i\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。

(式１)の微分が関数\(f_{(i)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx} \)
=\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)
=(式2)

((式1)の中の、\((F(x+δx)-F(x))/δx\)⇒\(f(x)\)になります。)

続いて、教科書的な同時確率密度関数の導出も見ましょう。

(2) 順序統計量の教科書的な同時確率密度関数の導出

関数\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)の導出についてです。

教科書の導出方法を解説します。

2つの順序統計量\(X_{(i)}\)、\(X_{(ij)}\)について考えるが、
●1 < \(i\) < \(j\) < \(n\)
とする。この場合、
\(x_i\) < \(X_{(i)}\) \(X_{(i)}\) \(x_i + δx_i\)および\(x_j\) < \(X_{(j)}\) \(X_{(j)}\) \(x_j + δx_j\)が同時に起こる確率Prは、下図と二項定理を使って以下で表現できる。

Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\),\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\))
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(j-i-1)!1!(n-j)!}\) \(F(x)^{i-1} (F(x_j)-F(x_i +δx_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j + δx_j))^{n-j} (F(x_i +δx_i)-F(x_i)) (F(x_j +δx_j)-F(x_j))\)
=(式3)
で表現できる。

二項定理から見ると、
●\(F(x_i)\)が\(i-1\)個
●\(F(x_i+δx_i)-F(x_i)\)が1個
●\(F(x_j)-F(x_i + δx_i)\)が\(j-i-1\)個
●\(F(x_j+δx_j)-F(x_j)\)が1個
●1-\(F(x_j+δx_j)\)が\(n-j\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。

(式3)の微分が関数\(f_{(i),(j)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx_i δx_j} \)
=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
(ここで、\(C_{i,j}=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\))
=(式4)

((式3)の中の、
\((F(x_i+δx_i)-F(x_i))/δx_i\)⇒\(f_(i)(x)\)と
\((F(x_j+δx_j)-F(x_j))/δx_j\)⇒\(f_(j)(x)\)に
なります。)

➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる

二項定理から導出できるのは事実ですが、順序よく並ぶイメージがまったくありません。

むしろ、順序よく並ぶ関数が先にあって、それを整えて作られたのが順序統計量の確率密度関数の形であるとQCプラネッツでは考えています。

なので、

1. 順序よく並ぶ関数の形を探す
2. 関数の値が綺麗になるように係数で整える

の順番で順序統計量の確率密度関数を考えていきます。

高校数学の関数で期待値が昇順に並ぶ例を学ぶ

1. 順序よく並ぶ関数の形を探す
2. 関数の値が綺麗になるように係数で整える

を簡単な事例で解説します！　しかも高校数学でできます！　

高校数学でしかも、\(x^n\)の式で、期待値が昇順に並ばせることができる関数があります。面白い！ので次の例題を提示します！大学入試に出題されてもいい良問です！

順序統計量の確率密度関数が理解できる高校数学問題

どうでしょう。見た目、大学入試か高校の実力試験に出ても違和感ないですよね！

ここからは、関連記事で詳細に解説しているので、読んでください。

順序統計量 確率密度関数の考え方がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 順序統計量の確率密度関数の式が理解・導出できますか？ 本記事では、確率密度関数の式の構成や理論をわかりやすく解説します。統計学を学ぶ方は必読です。

実は、上の例の(3)
期待値E’ [\(x_i\)]=\(\frac{5!}{i!(5-i)!}\)E[\(x_i\)]こそが順序統計量の確率密度関数の形になっていますし、この期待値を計算すると\(i/n\)に近い式になり、\(i\)を増やすと期待値もそれに従って順序よく増加し、下の図のイメージになります。

順序統計量の確率密度関数を理解する方法

再掲しますが、

1. 順序よく並ぶ関数の形を探す
2. 関数の値が綺麗になるように係数で整える

最初の、順序よく並ぶ関数の形を探すは、上の例題と関連記事の解説から
\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあれば、期待値は\(i\)を増やすごとに増加し、順序どおり並びます。

もっと一般化すると、
●\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(f(x)^{i}(1-f(x))^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(x^{i}(y-x)^{j-i} (1-y)^{n-j}\)が関数の項にあること
となると、これらも順序よく並びます。

まず、二項定理から導出するのではなく、順序よく並ぶ関数を用意することが先とQCプラネッツは考えます。

次に、関数の値が綺麗になるように係数で整えるために二項定理のような係数がつきます。

実際に、\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)を積分するとベータ関数を適用し、計算結果が階乗!を使いまくる式になります。そのままは使いにくいので、「!」を無くすように関数の前に係数が付きます。

つまり、下図のように順序統計量の式は構成されています。これは同時確率密度関数の場合も同じです。

難しい公式を無理に暗記せず、意味を理解しましょう。順序統計量は意味をよく理解することが大事です。

まとめ

「順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
• ➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の期待値・分散を復習する
• ➂順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値・分散の導出
• ➃順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値の導出
• ➄順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の分散の導出

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の期待値・分散を復習する

いきなり、同時分布の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一変数の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。

一様分布

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

指数分布

順序統計量(指数関数)がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事は指数分布の場合における順序統計量の期待値と分散を丁寧に導出します。順序統計量や統計学を学ぶ人は必読です。

正規分布

順序統計量(正規分布)がよくわかる 順序統計量は説明できますか？本記事では正規分布の順序統計量をわかりやすく解説します。正規分布の順序統計量を定義式から解析的に導出できないため、順序統計量の定義を見直す必要があることを提案します。数学は公式として従うのものではなく式を理解して定義するものでもあります。順序統計量や統計学を学ぶ方は必読です。

➂順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値・分散の導出

実例として一様分布で期待値・分散を計算します。他の分布関数ではちょっと計算が大変なので。

同時確率密度関数\(f_{(i),(j)}(x_i,x_j)\)

同時確率密度関数を確認しましょう。関連記事で導出やイメージを解説しますが、ここでは式を実際に使って慣れましょう。

\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
(－∞ < \(x_i\) < \(x_j\) < ∞ )

期待値・分散の導出例題

次の例題を考えます。

➃順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値の導出

期待値の公式を確認

変数が2つ\(x_i\), \(x_j\)あるので、期待値は3種類考えます。
(i)E[\(X_{(i)}\)]
(ii)E[\(X_{(j)}\)]
(iii)E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]

(i)E[\(X_{(i)}\)]と(ii)E[\(X_{(j)}\)]は文字\(i\)と\(j\)を変えるだけで式は同じです。なので、
(1)期待値E[\(X_{(i)}\)]⇒(i)E[\(X_{(i)}\)]
(2)期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]⇒(iii)E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]
を解いていきます。

期待値E[\(X_{(i)}\)]の導出

2変数ある同時確率密度関数は
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
ですが、１変数の確率密度関数は何でしょうか？　

というと、すでに関連記事でも解説しているとおり、
確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
です。

関連記事で期待値まで導出していますので、関連記事の内容を確認しておいてください。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

期待値の計算結果だけ書くと

期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]の導出

期待値E[\(x_i\)]公式通りです。確認すると、
E[\(x_{(i)}\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x_{(i)} f_{(i)}(x) dx\)
E[\(x_{(i)} x_{(j)}\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}}\)\( x_{(i)} x_{(j)} f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)}) dx_{(i)} dx_{(j)}\)
ですよね。

なお、
0 < \(X_{(i)}\) < \(X_{(j)}\) < 1
より、積分区間は
●\(x_{(i)}\)⇒ 0～\(x_{(j)}\)
●\(x_{(j)}\)⇒ 0～1
とします。

期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]の導出

E[\(x_{(i)} x_{(j)}\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}}\)\( x_{(i)} x_{(j)} f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)}) dx_{(i)} dx_{(j)}\)

=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} x_{(i)} x_{(j)} \)
\(C_{i,j} x_{(i)}^{i-1} (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} (1-x_{(j)})^{n-j} ・1・1 dx_{(i)} dx_{(j)} \)
(\(F(x_i)= x_{(i)}\), \(F(x_j)= x_{(j)}\), \(f(x_i)=1,f(x_j)=1\)を代入)

=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} C_{i,j} x_{(i)}^i x_{(j)} (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} (1-x_{(j)})^{n-j} dx_{(i)} dx_{(j)} \)
=(式1)

(式1)の\(x_{(i)}\)について先に積分します。つまり、
\( \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} \)\(x_{(i)}^i (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} dx_{(i)} \)
は第１種オイラーの積分
\( \displaystyle \int_{α}^{β} (x-α)^m (β-x)^n dx \)=\(\frac{m! n!}{(m+n+1)!} (β-α)^{m+n+1}\)
を使って、
●\(x\)⇒\(x_{(i)}\)
●\(α\)⇒0
●\(m\)⇒\(i\)
●\(β\)⇒\(x_{(j)}\)
●\(n\)=\(j-i-1\)
を代入します。

よって、(式1)の\(x_{(i)}\)についての積分部分は
\( \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} \)\(x_{(i)}^i (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} dx_{(i)} \)
=\(\frac{i! (j-i-1)!}{j!} x_{(j)}^j\)
=(式2)

(式2)を(式1)に代入します。
(式1)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} C_{i,j} x_{(j)} (1-x_{(j)})^{n-j} \frac{i! (j-i-1)!}{j!} x_{(j)}^j dx_{(j)} \)
一旦係数を外に出します。
=\( C_{i,j} \frac{i! (j-i-1)!}{j!} \displaystyle \int_{0}^{1} x_{(j)}^{j+1} (1-x_{(j)})^{n-j} dx_{(j)} \)
=(式3)

(式3)の積分を見ると、ベータ関数が使えることが分かります。
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x_{(j)}^{j+1} (1-x_{(j)})^{n-j} dx_{(j)} \)
=B(\(j+2,n-j+1\))
=\(\frac{(j+1)! (n-j)!}{(n+2)!}\)
=(式4)

(式4)を(式3)に代入し、\(C_{i,j}\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\)を代入すると
(式3)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} \frac{i! (j-i-1)!}{j!} \frac{(j+1)! (n-j)!}{(n+2)!} \)
=\(\frac{i(j+1)}{(n+1)(n+2)}\)

よって、

計算できました。2変数\(i,j\)の積が入るんだろうなという予想通りの式ですね。

期待値をまとめると

➄順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の分散の導出

分散の公式を確認

変数が2つ\(x_i\), \(x_j\)あるので、分散と共分散の計3種類考えます。
(i)V[\(X_{(i)}\)]
(ii)V[\(X_{(j)}\)]
(iii)Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]

(i)V[\(X_i\)]と(ii)V[\(X_j\)]は文字\(i\)と\(j\)を変えるだけで式は同じです。なので、
(1)分散V[\(X_{(i)}\)]⇒(i)E[\(X_i\)]
(2)分散Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]⇒(iii)Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]
を解いていきます。

分散V[\(X_{(i)}\)]の導出

分散もすでに関連記事で解説しています。こちらで確認ください。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

分散の計算結果だけ書くと

共分散V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]の導出

共分散V[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]という公式があり、
V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]= E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)- E[\(X_{(i)}\)] E[\(X_{(j)}\)]
から計算できます。

よって、
V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]=E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)- E[\(X_{(i)}\)] E[\(X_{(j)}\)]
=\(\frac{i(j+1)}{(n+1)(n+2)}\)- \(\frac{i}{n+1}\) \(\frac{j}{n+1}\)
=\(\frac{i(n-j+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)

よくみると、
V[\(X_{(i)}\)]=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)] =\(\frac{i(n-j+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
分子を比較するとよく似ているのがわかります。

分散、共分散をまとめると

まとめ

「順序統計量の同時確率密度関数の期待値・分散がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の期待値・分散を復習する
• ➂順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値・分散の導出
• ➃順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値の導出
• ➄順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の分散の導出

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(正規分布)の期待値、分散は手計算ではしんどい
• ➂順序統計量を扱う関数を自分で定義する
• ➃(提案)順序統計量(正規分布)の期待値、分散を簡単に解ける方法

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量(正規分布)の期待値、分散は手計算ではしんどい

まずは、一様分布、指数分布の事例から読もう！

いきなり、正規分布の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一様分布の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。

一様分布

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

指数分布

順序統計量(指数関数)がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事は指数分布の場合における順序統計量の期待値と分散を丁寧に導出します。順序統計量や統計学を学ぶ人は必読です。

正規分布の順序統計量は導出できない。。。

導出問題を出します。

重要なポイント

関連記事から以下が重要ですね。確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)の求め方は、
● \(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
ですが、

なので、

実際は、近似式や数値解析を使って、無理矢理に正規分布の順序統計量を導出しますが、手計算で解析はムリです。

じゃー、どうしようか？　正規分布の順序統計量は諦めるか？

➂順序統計量を扱う関数を自分で定義する

教科書の順序統計量の定義の特徴

順序統計量とは、定義を確認すると、

確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)が自然数\(i\)を増やすと、期待値が昇順に増えていきますが、この秘訣は
\(F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}\)の式にありました。

つまり、

しかし、この確率密度関数だと、

もっと簡単に順序統計量が定義できないか？

現行では、順序を表現するのは、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)であり、元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではないから計算がしんどい。
だったら、元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与えて、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)を簡単に定義してはどうか？

つまり

1. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではなく、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)に順序を与える考え方
2. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与える考え方

の２つの順序統計量の考え方ができそうです。特に後者側をQCプラネッツの提案型としたいです。

➃(提案)順序統計量(正規分布)の期待値、分散を簡単に解ける方法

正規分布の順序統計量

問いをこう変えます。

こう考えると、
ただのN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))の正規分布期待値\(E(X_i)\)と分散値\(V(X_i)\)を解くだけの問いになります。

要は、
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ_i}e^{-\frac{(x-μ_i)^2}{2σ_i^2}}\)
のN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))として扱えばよいという考え方です。

なお、
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ_i}e^{-\frac{(x-μ_i)^2}{2σ_i^2}}\)
から、期待値\(μ_i\)と分散\(σ_i^2\)の導出は割愛します。教科書や他のサイトでも多々に書いていますので。

順序統計量は自分で定義していい

1. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではなく、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)に順序を与える考え方
2. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与える考え方

変数に順序を持たせるなどの性質を確率密度関数に入れる場合、どこに性質を仕込むかは考えてもよいでしょう。

まとめ

「順序統計量(正規分布)がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
• ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
• ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
• ➄自分で解いてわかった面白い事実

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
• ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
• ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
• ➄自分で解いてわかった面白い事実

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量(指数関数)が理解できる

まずは、一様分布の事例から読もう！

いきなり、指数関数の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一様分布の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

重要なポイント

関連記事から以下が重要ですね。

順序統計量(指数関数)が理解できる

次の場合を考えます。

とても複雑な式になりますが、解いてみましょう。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)は
確率分布関数\(f_{(i)} (x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} (1-e^{-x})^{i-1}[1-(1-e^{-x})]^{n-i} e^{-x}\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} (1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} \)
と素直に代入すればＯＫですね。

➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる

期待値\(E(X_i)\)

期待値\(E(X_i)\)は定義通り、
\(E(X_i)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\((1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x (1-e^{-x})^{i-1}\)\( (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=(式1)

(式1)の\( (1-e^{-x})^{i-1}\)を、二項定理を使って展開します。
\( (1-e^{-x})^{i-1}\)=\(\sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1} C_r 1^r (-e^{i-1-r})\)ですね。
(\((p+q)^n\)=\(\sum_{r=0}^{n} \)\({}_n C_r p^r q^{n-r}\)と同じことをやっています。)

(式1)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1} C_r 1^r (-e^{i-1-r}) (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1} C_r (-1)^{i-1-r} (e^{-x})^{n-r} dx\)
=(式2)

\( \displaystyle x e^{-nx} dx\)の計算

ここで、部分積分を実施します。⇒を微分する方向として、

\(-\frac{1}{n} x e^{-nx}\) ⇒\(x e^{-nx}\) -\(\frac{1}{n} e^{-nx}\)

\(-\frac{1}{n^2} e^{-nx}\)⇒\(\frac{1}{n} e^{-nx}\)
より、
\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x e^{-nx} dx\)=\(\left[ -\frac{1}{n} x e^{-nx} -\frac{1}{n^2} e^{-nx} \right]_{0}^{∞}\)=\(-\frac{1}{n^2}\)
となります。

n⇒n-rに変えて、(式2)に代入します。

(式2)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2}\)

よって、期待値\(E(X_i)\)は
\(E(X_i)\)= \(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2}\)
となります。

ところで、問題を見ると、
\(E(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{n-r+1}\)
と全く違う式です。

でも、

図の通りです。

期待値を可視化

図のようになります。

面白い事に、順序が増えることに　1/nずつ期待値が増えていきます。
\(i=1\): \(\frac{1}{5}\)
\(i=2\): \(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\)
\(i=3\): \(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\)
\(i=4\): \(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\)
…

➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる

分散\(V(X_i)\)

まず期待値\(E(X_i^2)\)を求める必要がありますが、定義通り、
\(E(X_i^2)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( (1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \)\((1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=(式3)

(式3)の\( (1-e^{-x})^{i-1}\)を、二項定理を使って展開します。
\( (1-e^{-x})^{i-1}\)=\(\sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r 1^r (-e^{i-1-r})\)ですね。
(\((p+q)^n\)=\(\sum_{r=0}^{n} {}_{n}C_r p^r q^{n-r}\)と同じことをやっています。)

(式3)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r 1^r (-e^{i-1-r}) (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r} (e^{-x})^{n-r} dx\)
=(式4)

\( \displaystyle x^2 e^{-nx} dx\)の計算

ここで、部分積分を実施します。⇒を微分する方向として、

\(-\frac{1}{n} x^2 e^{-nx}\) ⇒\(x^2 e^{-nx}\) -\(\frac{2}{n}x e^{-nx}\)

\(-\frac{2}{n^2}x e^{-nx}\)⇒\(\frac{2}{n}x e^{-nx}\)-\(\frac{2}{n^2} e^{-nx}\)
\(-\frac{2}{n^3}x e^{-nx}\)⇒\(\frac{2}{n^2} e^{-nx}\)
より、
\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 e^{-nx} dx\)=\(\left[ -\frac{1}{n} x^2 e^{-nx} –\frac{2}{n^2}x e^{-nx}-\frac{2}{n^3}x e^{-nx} \right]_{0}^{∞}\)=\(-\frac{2}{n^3}\)
となります。

n⇒n-rに変えて、(式4)に代入します。

(式4)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{2}{(n-r)^3}\)
=(式5)

よって、分散\(V(X_i)\)は
(式5)- \(E(X_i)^2\)より、
\(V(X_i)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{2}{(n-r)^3}\)-
\((\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2})^2\)
=(式6)
となります。

訳わからない式になりました。

ところで、問題を見ると、
\(V(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{(n-r+1)^2}\)
と全く違う式です。

でも、

図の通りです。

➄自分で解いてわかった面白い事実

全く式が違うのに計算結果は同じとなったこと

●期待値\(E(X_i)\)は
\(E(X_i)\)= \(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2}\)
と
\(E(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{n-r+1}\)
は同じ値になります。

●分散\(V(X_i)\)は
●\(V(X_i)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{2}{(n-r)^3}\)-
\((\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2})^2\)
と、
\(V(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{(n-r+1)^2}\)
が同じ結果になります。

数学的に一致する証明はこれからしますが、面白い結果が得られました。自分で実際解いてみるといろんなことが発見できますね。

まとめ

「順序統計量(指数関数)がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
• ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
• ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
• ➄自分で解いてわかった面白い事実

統計学

「順序統計量の確率密度関数がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量の確率密度関数とは
• ➁昇順に並べられるように確率密度関数を作った
• ➂もっと簡単に順序統計量の確率密度関数を作っても良いのでは？

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量の確率密度関数とは

確率密度関数の求め方

関数は、

で、感想は

教科書、wikiなど導出過程を確認ください。

でも、

確率密度関数の求め方が理解できない

いくつか疑問に思うのが、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)
を
●\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)
●\(F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} \)
●\( f(x)\)
に分解すると

1. \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？
2. \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？
3. 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

QCプラネッツも最近までは、順序統計量は理解できず諦めていました。

➁昇順に並べられるように確率密度関数を作った

順序統計量の確率密度関数がわかりにくい理由は再掲すると

1. \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？
2. \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？
3. 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

(i)期待値E[X]を計算すると確率密度関数の構成の意図が見える

まず、

• \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？

が理解できるよう解説します。

一様分布と指数関数を例に\(n=5\)の場合の\(i\)を1から5まで変えた場合の期待値E[X]の変化を先に見ましょう。

一様分布

関数は、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^{i-1} (1-x)^{n-i} \)
(\(F(x)=x\),\(f(x)=1\))

期待値は、
E[\(X_i\)]=\(\displaystyle \int_{0}^{1} xf_i(x)\)

導出過程は関連記事にあります。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

指数分布

関数は、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}(1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} \)
(\(F(x)=1-e^{-x}\),\(f(x)=e^{-x}\))

期待値は、
E[\(X_i\)]=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} xf_i(x)\)

導出過程は関連記事にあります。

図のポイント

上の２つの図で着目点は、\(i\)が増えることによってグラフのピークが右にズレていっている点です。これが期待値E[X]を昇順に並べる秘訣なんです！

昇順に並べる秘訣は\((1-f(x))^i f(x)^{n-i}\)の形

面白い事に、次の関数をグラフで描いてみましょう。

つまり、
●\(f_1(x)\)=\(x(1-x)^4\)
●\(f_2(x)\)=\(x^2 (1-x)^3\)
●\(f_3(x)\)=\(x^3 (1-x)^2\)
●\(f_4(x)\)=\(x^4 (1-x)\)
●\(f_5(x)\)=\(x^5 \)
の5本です。単純な５次関数なので、これは簡単に描けますよね！

よく見ると面白いことに気が付きませんか？

つまり、順序に並べるには、一般化すると

これ結構大事なポイントです！

(ii)期待値、分散を簡易にするための係数がついている

次に、

• \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？

を解説します。

では、何で、

これは、ベータ関数を知っていれば、計算を楽にするためだ！っとわかります。

一様分布の例で紹介します！

先ほどの場合、関数は、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^{i-1} (1-x)^{n-i} \)
(\(F(x)=x\),\(f(x)=1\))
でしたね。

期待値は、
E[\(X_i\)]=\(\displaystyle \int_{0}^{1} xf_i(x)\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^{(i-1)+1} (1-x)^{n-i}dx \)
=\( \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( (\displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i}dx \)
で、積分の部分に注目すると、ベータ関数になっていますよね。

\(\displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx \)
=\(B(i+1,n-i+1)\)
=\(\frac{(i)! (n-i)!}{(n+1)!}\)
と「！」だらけですよね。

実際に
E[\(X_i\)]
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^i (1-x)^{n-i}dx \)
=\( \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\) \(\frac{i! (n-i)!}{(n+1)!}\)
=\(\frac{ n!}{ (n+1)!}\) \(\frac{ i!}{ (i-1)!}\) \(\frac{ (n-i)!}{ (n-i)!}\)
=\(\frac{i}{n+1}\)
とシンプルになります。

(iii)最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

最後に、

• 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

最後の\(f(x)\)は、計算してわかったのは、あっても無くても影響はない。

一様分布の期待値なら、最後の\(f(x)\)があっても無くても
E[\(X_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)のままです。

指数関数の場合は積分の計算の一部の指数の値が変わる程度と、あっても無くても影響はない。です。後ろについてる尻尾と思う感じでOKです。

順序統計量の確率密度関数の式のイメージ

1. \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？
   ⇒昇順に期待値を並べるため
2. \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？
   ⇒期待値の値をシンプルにするため
3. 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない⇒期待値の値をシンプルにするため
   ⇒期待値の値には大きな影響はない

と理解しておけば、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)
もわかりやすくなったと思います。

➂もっと簡単に順序統計量の確率密度関数を作っても良いのでは？

昇順に期待値が並べたらいい

確率密度関数の式の構成を理解すると、次の疑問が沸きませんか？

現状、順序統計量の確率密度関数は、関数\(f(x)\)に昇順の項を入れずに、順序統計量の式を
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)として、昇順に並ぶように関数を作っていますよね！

つまり、

実際、\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)で手計算で解析できるのは、一様分布と指数分布くらいで、正規分布は解析できません。

一方、式を簡単にしておけば、どんな分布関数でも順序統計量を表現する確率密度関数は作れます。ＱＣ
プラネッツではいくつか具体事例を挙げて解説していきます。

大事なのは、式から順序統計量をしっかり理解すること

どの式が良いかの比較ではなく、いろいろな式を提案してもよいです。それによって、順序統計量の理解を深めることができるからです。

まとめ

「順序統計量 確率密度関数の考え方がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量の確率密度関数とは
• ➁昇順に並べられるように確率密度関数を作った
• ➂もっと簡単に順序統計量の確率密度関数を作っても良いのでは？

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量がよく理解できる例題

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

●定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量がよく理解できる例題

いろいろな関数を使ってよいですが、順序統計量を理解しやすく、簡単な関数を提示すると、
\(f(x)=x^p (1-x)^{n-p}\)
とQCプラネッツは考えています。

QCでもおなじみの二項分布、二項定理、OC曲線、抜取検査でもよく出で来る式ですし、
統計学でもベータ関数に持ち込めるし、
xの何とか乗なので、わかりやすいでしょう。

ベータ関数を復習する

順序統計量の前に、よく活用するベータ関数を復習します。

ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

メインの公式は、以下です。よく使います！

例題

次の場合を考えます。

なぜか、\(n\)個ではなく\(n-1\)個のコインで、
なぜか、\(i\)個ではなく\(i-1\)個のコインの場合の確率の
\(n\)倍するって変ですが、

期待値、分散の計算を簡単にするために、あえてこのように設定しました。

確率分布関数\(f_{(i)}(x))\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
となりますね。

いきなり難しい数学ではなく、よく勉強した高校数学からつなげて理解を深めましょう。

期待値E,分散Vの導出

期待値E[\(x_i\)]、分散V[\(x_i\)]は公式通りです。確認すると、
E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]²
ですよね。

素直に代入します。

期待値E[\(x_i\)]

E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=(式1)

(式1)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+1,n-i+1)\)
=\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=(式2)

(式2)を(式1)に代入すると、
(式1)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=\(\frac{i}{n+1}\)

まとめると、
期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
と随分スッキリした式で表現できます！

期待値E[\(x_i^2\)]

期待値E[\(x_i\)]と同様に解くと、

E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=(式3)

(式3)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+2,n-i+2)\)
=\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=(式4)

(式4)を(式3)に代入すると、
(式3)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)

まとめると、
期待値E[\(x_i^2\)]=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)

分散V[\(x_i\)]

V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]²より
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)- \((\frac{i}{n+1})^2\)
=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)

結果を可視化してチェック

関数、期待値と分散は、それぞれ、
●関数\(f_{(i)}(x)\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
●分散V[\(x_i\)]=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)
でしたね。

具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入しましょう。

関数を具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入すると、
●\(f_{(1)}(x)\)=\(5(1-x)^4\)
●\(f_{(2)}(x)\)=\(20 x(1-x)^3\)
●\(f_{(3)}(x)\)=\(30 x^2 (1-x)^2\)
●\(f_{(4)}(x)\)=\(20 x^3 (1-x)\)
●\(f_{(5)}(x)\)=\(5 x^4\)

グラフにしましょう。Iの値によって形が変化しています。

期待値E[\(x_i\)]

●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
を実際に代入すると
●期待値E[\(x_1\)]=\(\frac{1}{6}\)
●期待値E[\(x_2\)]=\(\frac{2}{6}\)
●期待値E[\(x_3\)]=\(\frac{3}{6}\)
●期待値E[\(x_4\)]=\(\frac{4}{6}\)
●期待値E[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6}\)
これをグラフにすると、確かに順序にそって、右に期待値が増加しているのがわかりますね。

分散V [\(x_i\)]

●期待値V[\(x_1\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_2\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_3\)]=\(\frac{9}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_4\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
となり、i=3の時が分散は最大になることがわかります。

まとめ

「順序統計量の考え方がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量がよく理解できる例題

統計学