カテゴリー: 高校数学

QCセミナーの高校数学

QCプラネッツが全力で提供するe-learningシステム「QCセミナー」をご活用ください。

という、向上心の高い、あなたに、QCプラネッツが提供するe-learningシステム「QCセミナー」を提案します。

• ①QCセミナーの高校数学
• ➁講座一覧とご購入
• ③各講座の説明
• ④【活用ください！】QCセミナーの高校数学（無料お試し版）

①QCセミナーの高校数学

3つの信念

３つの信念をもって、講座を提供します。

1. 中学までの勉強方法は一切通用しないことを心得よ！
2. 1問を100回解く反復練習が重要！
3. 高校生活を優位に、希望大学を勝ち取れるムダのない洗練された問題と講義で学習！
4. 数学が得意な文系、１流の理系・エンジニアで食べていける力を養成

学習環境

講座のご購入後に、各学習サイトへご案内します。
●教材はダウンロードしてください。
●ＱＣプラネッツの動画解説で学習ください。

講義で扱う良問を紹介します。

ここからダウンロードできます。各単元をマスターすべき良問をまとめています。
問題のレベル、充実度の高さを実感ください。

【講義で扱う良問】ダウンロード(クリックしてください)

高校数学の学習期間

なお、【HM14　確率統計】　は大学受験に直接影響はないですが、重要であり、
QCプラネッツの品質管理の統計処理の基礎です。よって受講を薦めます。
(一番進めたいのは、品質管理を学ぶ社会人の方です。)

➁講座一覧とご購入(各講座2,000円)

③各講座の説明

HM-1 ２次関数

本講座の特徴

1. 高校から勝つか、高校で負けるかが決まる２次関数
2. どの高校でもここで脱落する大勢の高校生がいる
3. 高校で勝つための勉強法を2次関数で身に着けよう！

●不定文字による場合分け
●図形から条件を作る解法
●絶対値関数の丁寧な場合分

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

01-01 2次関数とそのグラフ
01-02 2次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値等を含む関数
01-07 絶対値等を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件・集合
01-09 全称命題と存在命題
01-10 必要条件・十分条件

HM-2 数と式

本講座の特徴

1. 基礎は最も簡単、でもいくらでも難しくできるのが数と式
2. 因数分解、式の値をしっかり演習する
3. 高校数学最難の背理法の基礎を習得する

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

02-01 恒等式
02-02 因数分解
02-03 整式の剰余
02-04 整数の性質
02-05 方程式の整数解
02-06 背理法
02-07 根号を含む計算
02-08 指数と対数
02-09 常用対数
02-10 式の値
02-11 不等式の証明・相加相乗平均

HM-3 三角比・三角関数

本講座の特徴

1. 図形の制約条件から式を作る演習
2. 三角関数の基礎をしっかり習得

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

03-01 平面図形の基本定理
03-02 三角関数の定義
03-03 正弦定理・余弦定理
03-04 三角比と面積
03-05 三角関数の加法定理
03-06 三角関数の値域
03-07 三角方程式・三角不等式
03-08 三角関数と図形

HM-4 数列

本講座の特徴

1. 数列で高校数学を諦めるより勝ち取ろうぜ！
2. 数列で勝てるパターン問題をしっかり学べる！
3. 高校数学の力を広げる大事な数列をしっかり教えます！

●nかn-1かn-2かでパニックになる等比数列の和もバッチリできる！
●機械的に数学的帰納法は処理できる
●漸化式はパターンをおさえればできる！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

04-01 等差数列・等比数列
04-02 群数列
04-03 数列の和
04-04 数学的帰納法
04-05 漸化式(2項間)
04-06 漸化式(3項間と連立)
04-07 漸化式(その他)
04-08 漸化式の応用問題

HM-5 場合の数と確率

本講座の特徴

1. 苦手な円順列、じゅず順列、条件付き確率ができる！
2. 確率と数列の応用パターンも点数化できる！
3. 大学受験と社会人の統計学の基礎である期待値、分散も解説！

●苦手意識の多い場合の数・確率の重要問題を解説！
●数列との応用問題もできる！
●統計学の入り口も理解できる！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

05-01 順序と組み合わせ
05-02 円順列と重複組み合わせ
05-03 場合の数と漸化式
05-04 二項定理・多項定理
05-05 確率の基礎
05-06 条件つき確率
05-07 確率と数列
05-08 期待値・平方和・分散

HM-6 座標平面

本講座の特徴

1. 高２の図形数学の基礎をおさえ、模擬試験などで高偏差値を勝ち取ろう！
2. 数Ⅱの図形と数Bのベクトルをまぜて学習できる！
3. 大学受験必須の領域・存在範囲をしっかり学習できる！

●高２数学で数学を武器に変えるための講座です。
●図形で考えて式に落とす意識を磨きます。
●領域、存在範囲は難関大学攻略の必須！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

06-01 ベクトルの基礎
06-02 ベクトルと角度
06-03 円の方程式
06-04 直線群・曲線群
06-05 座標平面上の変換
06-06 軌跡
06-07 領域の図示
06-08 点の存在範囲
06-09 多変数関数の値域

HM-7 座標平面

本講座の特徴

1. あらゆる内外点の位置ベクトルを解く”一次独立”をしっかりマスター
2. 外積を駆使した空間ベクトル内のベクトルを簡単に解ける応用問題
3. 座標空間の方程式を使った応用問題

●位置座標をしっかり解ける演習で練習
●空間座標に必要な外積、正射影の解き方を伝授！
●旧課程であるが、大事である面、線、点の方程式を解いた応用問題も演習！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

07-01 平面図形とベクトル
07-02 平面図形と内積
07-03 空間ベクトル
07-04 座標空間とベクトル
07-05 空間座標の内積・外積・正射影
07-06 球面と円
07-07 座標空間の方程式

HM-8 複素数

本講座の特徴

1. 虚数に慣れる
2. 極形式とド・モアブルの定理を活用した図形演習問題
3. 複素数平面上の図形性質の証明問題

●図形の回転を簡単に計算できるド・モアブル定理の素晴らしさを伝えます。
●複素数問題は図形・回転を意識すれば非常に簡単に解ける！
●複素数単元をしっかり点数化しましょう。

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

08-01 高次方程式
08-02 方程式の虚数解
08-03 複素数の計算
08-04 複素数平面上の図形
08-05 極形式とド・モアブルの定理
08-06 複素数平面上の回転

HM-9 整関数の微積分

本講座の特徴

1. 数Ⅱの微積の重要問題を解説！
2. 絶対値関数の微積問題を丁寧に場合分け
3. 積分の定義を数列からしっかり理解しよう

●数Ⅱの微積の基礎から文系の大学入試問題までおさえます！
●絶対値関数の微積の丁寧な場合分け問題をしっかり説明します！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

09-01　導関数と接線
09-02　増減表とグラフ
09-03　整関数の最大・最小
09-04　整方程式・不等式の応用
09-05　恒等式と微分
09-06　積分と面積
09-07 いろいろな関数の定積分
09-08　定積分で表された関数
09-09　積分方程式

HM-10 関数の極限

本講座の特徴

1. 理系数学(数Ⅲ)の入り口としてしっかり勉強しよう！
2. 自然対数eの近似値の求め方をしっかり求めよう！
3. 数列、関数を使って極限値に慣れよう！

●数Ⅲでつまづかないよう極限値に慣れよう！
●自然対数eの近似値の導出をしっかり解ける
●数列、微分の復習もかねて極限値を求めよ！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

10-01　合成関数と逆関数
10-02　分数関数と無理関数
10-03　指数関数・対数関数
10-04　三角関数と弧度法
10-05　数列の極限
10-06　自然対数e
10-07　漸化式の極限
10-08　無限級数
10-09　関数の極限
10-10　三角関数の極限

HM-11 微分

本講座の特徴

1. 理系数学の微分の重要パターンをしっかりおさえよう！
2. 数Cの2次曲線、極座標もここでマスターします
3. 媒介変数、平均値の定理を使った応用問題を解こう

●数Ⅲ微分の基礎から入試問題まで一貫でレベルアップできる
●2次曲線、極座標の応用もしっかり解ける！
●平均値の定理を駆使した応用問題も解ける！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

11-01　微分の基本
11-02　2次曲線
11-03　指数・対数関数の微分
11-04　三角関数の微分
11-05　不等式証明への応用
11-06　方程式・不等式への応用
11-07　媒介変数と速度・加速度
11-08　極座標と極方程式
11-09　連続性と微分可能性と極値
11-10　平均値の定理
11-11　極限への微分の応用

HM-12 積分

本講座の特徴

1. 理系数学の積分の重要パターンをしっかりおさえよう！
2. 面積、体積、曲線の長さの入試問題までしっかり解ける！
3. 入試レベルの級数の不等式をしっかり解ける！

●数Ⅲ積分の基礎から入試問題まで一貫でレベルアップできる
●極座標、媒介変数を使った面積・体積の応用もしっかり解ける！
●級数の不等式、ガウス記号を駆使した応用問題も解ける！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

12-01　積分の基本
12-02　いろいろな関数の積分
　
12-03　面積への応用
12-04　体積への応用
12-05　長さへの応用
12-06　微分方程式
12-07　定積分で表された関数
12-08　積分不等式と平均値の定理
12-09　級数への積分の応用

HM-13 行列と一次変換

本講座の特徴

1. 行列の計算の意味をしっかり解説！
2. 固有値、固有ベクトルも演習！
3. 旧課程の一次変換もしっかり解説！

●大学の線形代数につなげるための行列、一次変換の基礎を解説！
●大学入試に勝てる重要問題をしっかり解説！
●旧課程でも大事な一次変換もマスターできる！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

13-01　行列の演算
13-02　逆行列
13-03　固有値・固有ベクトル
13-04　一次変換
13-05　ケ―リー・ハミルトンの定理

HM-14 確率分布と統計

本講座の特徴

1. 確率分布の計算（数列、積分）を解説！
2. 正規分布、二項分布、ポアソン分布などの代表的な確率分布を解説！
3. 品質管理に必要な回帰分析、信頼性工学で高校数学で解ける重要な問題をしっかり解説！

●大学入試に余り出題されないが、大学入学後に重要な統計学の入り口を解説！
●社会人の品質管理の基礎としても統計学、数学をしっかり解説！
●高校生も社会人も大事な演習です！

をしっかり何度も復習して習得しましょう。

各単元

14-01　平方和と分散
14-02　離散系の確率分布
14-03　連続系の確率分布
14-04　正規分布
14-05　二項分布とポアソン分布
14-06　検定と推定
14-07　度数分布表の平均値と分散
14-08　回帰分析
14-09　信頼性工学

【活用ください！】QCセミナーの高校数学（無料お試し版）

下のサイトにまとめましたので、ご購入前に確認お願いします。学習方法を確認して、学習していきましょう！

QCセミナー　高校数学　「二次関数」のお試しサイトです。ご購入の前にぜひ活用ください。高校数学全単元を14に分けて、さらに入試対策の発展演習講座（準備中）もあります。

(c) 2024 QCプラネッツ

「背理法がよくわからない」、などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①背理法は高校数学で最高級の証明方法
• ➁おさえるべき重要問題
• ➂解法
• ➃全問題の解説は問題集にあります

数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域

①背理法は高校数学で最高級の証明方法

背理法は京大レベル以上

高校数学には、数学的帰納法、背理法、などいろいろな証明方法がありますが、

背理法が私も受験生時代も使いこなせていなかったですね。
むしろ機械的に処理できる数学的帰納法の方が圧倒的に簡単でしたね。

背理法は何が難しいのか？

では、背理法は何が難しいのか？を解説すると

国語で反論する内容を数式で解いて、相手を説得させる難しさが背理法にはあります。

背理法は１つ反論を導けばOK

とはいえ、手法はシンプルで、

反論を論述するアプローチが難しい

１つは過去問やパターンの問題を集めて、そこ範囲から出題される問いはしっかり回答できるようにしておく必要がありますが、

単に解き方を覚えるより、矛盾する反例をどう論じるかを考え抜くことが大事です。でも、これが難しいし、予備校でも解き方は教わるけど、習得方法までは身につかない

このような高級な論証方法が入っているから、
「高1の数と式が、高校数学の中で一番難しいんですよ」

そんな難しい背理法の大事な問題を解説します。

➁おさえるべき重要問題

問1

問2

➂解法

背理法を解くポイント

ポイントは4つあります。

1. 無理数を証明するパターンで背理法の流れを理解する
2. 逆を仮定した場合に１つ矛盾する例を導き出す
3. 矛盾を導き方は問題によるので、ここは経験しかない
4. 京大以上の大学を目指さないなら、背理法は捨ててもいい

上の４つを意識して解いてみましょう。

問1の解法

では、解いてみましょう。

問(1)

教科書に絶対ある問いですね。流れを理解しましょう。

①逆を仮定する

\(\sqrt{5}\)が有理数と仮定し、
\(\sqrt{5}\)=\(\frac{m}{n}\)
(\(m,n\)は整数で互いに素)と置く。

➁①の仮定が矛盾する例を見つける
(両辺)を２乗すると、
5=\(\frac{m^2}{n^2}\)
5\(n^2\)=\(m^2\)
となる。

\(n\)は整数なので、(左辺)は５の倍数になる。
(右辺)も5の倍数が必要だから、\(m\)は5の倍数になる必要がある。

\(m\)=5\(c\) ((\(c\)は整数)と置くと
5\(n^2\)=\((5c)^2\)
\(n^2\)=5\((c)^2\)
となる。これを満たすには、
\(n\)は5の倍数になる必要がある。

となると、\(m,n\)が共に5の倍数になる必要があり、互いに素の条件に反する。

よって、\(\sqrt{5}\)は無理数になる。

問(2)

解き方は問(1)と同じです。どう反例を導くか？　ここが難しい！

①逆を仮定する

\(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)が有理数と仮定し、
\(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)=\(r\)
(\(r\)は有理数)と置く。

➁①の仮定が矛盾する例を見つける
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)=\(r\)+\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)と変形して

(両辺)を２乗すると、
\(\frac{1}{2}\)=\(r^2\)+\(\frac{2}{\sqrt{3}}r\)+\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}}r\)=\(\frac{1}{6}\)-\(r^2\)
\(\sqrt{3}\)=\(\frac{1-6r^2}{4r}\)

ここで、 (右辺)は有理数であるが、(左辺)は無理数であるため、矛盾する。

よって、\(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)は無理数である。

問2の解法

同様に応用例を解きましょう。

問(1)

①逆を仮定する

方程式\(2x^3-x-3\)=0は有理数の解\(x\)=\(\frac{m}{n}\)
(\(m,n\)は互いに素な整数)とおく。

ここで、

方程式\(2x^3-x-3\)=0は
\(2(\frac{m}{n})^3-(\frac{m}{n})-3\)=0
より、式を整理すると、
2\(n^3\)=\(m^2(3m+n)\)

ここで、\(m\)が偶数、\(n\)が奇数として
●\(m\)=\(2a+1\)
●\(n\)=\(2b\)
(\(a,b\)とおく)
とおくと

(両辺)は
16\((b)^3\)=\((2a+1)^2(2(3a+b)+1)\)
となり、(左辺)は16の倍数であるが、(右辺)は奇数になり、
（両辺）一致に矛盾する。

よって、方程式\(2x^3-x-3\)=0は有理数の解がない

➃全問題の解説は問題集にあります

「第2章　数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。

問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)

問題集イメージ図(予定)

是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。

まとめ

「02-06_背理法がわかる」を解説しました。

• ①背理法は高校数学で最高級の証明方法
• ➁おさえるべき重要問題
• ➂解法
• ➃全問題の解説は問題集にあります

高校数学_数と式