【必読】指数分布とポアソン分布の関係がよくわかる
「イベントの発生回数の場合はポアソン分布で、発生間隔は指数分布と使い分けるが、この意味や理由が理解できない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
- ➁ポアソン分布から指数分布が導出できる
①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
信頼性工学で理解が必須！
統計学では、指数分布とポアソン分布は別物として扱っていても問題はありません。
ポアソン分布は正規分布に近似できるし、指数分布と正規分布は遠い関係なので、
指数分布とポアソン分布の関係を求める問いも少ないです。
指数分布をポアソン分布に変えて
信頼区間を求める
なので、信頼性工学をマスターするには、
指数分布とポアソン分布の関係を数式で理解する必要があります。
指数分布とポアソン分布の関係が必要な場面
信頼性工学ではよく、以下の点で指数分布とポアソン分布の関係が必要です。
- 指数分布に従う故障率をもつ試験の総時間Tと故障回数はポアソン分布に従う
- 指数分布に従う故障率をもつ製品の抜取検査はポアソン分布で考える
(JIS5003C-1974)
故障率を信頼性工学と指数分布で求めて、その製品を検査する場合、OC曲線に描くためにポアソン分布を使います。
よくある指数分布とポアソン分布の関係の説明
次のような表面的な説明が多いですね。説明者もわかっていないのではないかと疑問に思います。
なので、導出過程を見ましょう。
意外と、どこにも書いていないし、みんな当たり前に指数分布とポアソン分布の関係を書いているが、ちゃんと数式から導出して理解しよう！
➁ポアソン分布から指数分布が導出できる
確率密度関数を定義
まず、ポアソン分布の確率密度関数を定義します。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) (式1)
ここで\(x\)は故障回数であり、自然数を取ることがポイントです。
ポアソン分布が不安な場合は関連記事で解説していますので、ご覧ください。
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【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布 ポアソン分布の式がわからない・覚えられない、どんな場合に活用するかわからない、と苦手意識はありませんか？本記事では、ポアソン分布の関数の導出、正規分布近似、活用方法をわかりやすく解説します。ポアソン分布が全く理解できない方は必見です。 |
次に指数分布の確率密度関数を定義します。
●\(g(t)\)=\(e^{-λt}\) (式2)
ポアソン分布から指数分布を導出
指数分布の意味をよく考えると、
●\(g(t)\)=\(e^{-λt}\)
は、まだ故障していないが、ある時刻tの故障率がわかる
この意味をポアソン分布の確率密度関数を使って式をいじります。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) で\(λ\)⇒\(λT\)に変えて、
指数分布はまだ、故障していない、つまり、\(x=0\)を代入します。
●\(f(x)\)=\(e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)は
●\(f(x)\)=\(e^{-λT}\frac{(λT)^x}{x!}\)として、
●\(f(x=0)\)=\(e^{-λT}\frac{(λT)^0}{0!}\)
=\(e^{-λT}\)
≡\(g(T)\)
という関係式ができます。
よく、Ｔはある寿命試験の総試験時間として、故障回数を調べるときに使います。
総試験時間Tに発生する故障回数xはλTのポアソン分布に従う。
と書きますが、関係式を言葉に変えただけとわかりますね。
シンプルですが、これでポアソン分布と指数分布の関係が数式から理解できました。
まとめ
「【必読】指数分布とポアソン分布の関係がよくわかる」を解説しました。
- ①指数分布とポアソン分布の関係が必須な内容
- ➁ポアソン分布から指数分布が導出できる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119