信頼度の点推定と区間推定がわかる(ワイブル分布)
「寿命分布がワイブル分布の場合の点推定と区間推定がうまく計算できない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①分布関数
- ➁尤度関数(ゆうど）を作る
- ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
- ➃点推定の導出
- ➄区間推定の導出
①分布関数
3つの分布関数を解説！
今回は、指数分布を取り上げますが、ＱＣプラネッツでは以下の3つの分布関数についても解説します。
- 指数分布
- ワイブル分布
- 正規分布
そして、３つの分布関数に対して、共通の解法で解説していきます。
１回目の指数分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。
信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布)
信頼度の点推定と区間推定が計算できますか。本記事では指数分布における点推定と区間推定をわかりやすく解説します。信頼性工学を勉強したい方は必読です。
今回はワイブル分布
ワイブル分布関数の確率密度関数を定義します。
ワイブル分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。
【信頼性工学】ワイブル分布がわかる
信頼性工学は自力で説明や式の導出ができますか？公式や内容を暗記しやすい内容ですが、理論は意外と難しい信頼性工学。本記事ではワイブル分布の導出や、ワイブル分布の確率密度関数の期待値と分散を導出過程を端折らず解説！。きちっと信頼性工学を勉強したい人は必読です。
➁尤度関数(ゆうど）を作る
尤度関数とは？
Wikipedia から引用すると、
尤度関数とはある前提条件に従って結果が出る場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、変数とした関数。
尤度関数って何？
簡単に言うと、
とにかくやってみましょう。
いい加減に定義した関数が、良い加減な条件を作るので不思議です。
➂最尤推定量(さいゆう)を導出
ワイブル分布の尤度関数を定義
こんな関数を尤度関数として定義します。理由はテキトーで、指数なので掛け算とlogを使いこなしたいから
(\(f(t_i)\)=\(\frac{α}{β}(\frac{t_i}{β})^{α-1} exp(-(\frac{t_i}{β})^α) \))
とにかく尤度関数をテキトーに設定して、微分=0となる条件式を作ります。
尤度関数はとにかく「微分して０」を作る
\(L(α,β)\)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n \frac{α}{β}(\frac{t_i}{β})^{α-1} exp(-(\frac{t_i}{β})^α)\)
=\((\frac{α}{β})^n \frac{(t_1 t_2 …t_n)^{α-1}}{β^{n(α-1)}} exp(-\sum_{i=1}^{n} (\frac{t_i}{β})^α)\)
ここで、両辺をlogをとって、両辺を\(α、β\)それぞれで微分して、
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial α} \)=0
●\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial β} \)=0
の式を作ります。
最尤推定量は何が出るの？
とりあえず、尤度関数を微分して0になる条件式を作るのですが、
●(式1)：
\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial α} \)=\(\frac{n}{α}\)+\(\sum_{i=1}^{n}log t_i\)-\(nlogβ\)-\(log(\frac{1}{β})(\frac{1}{β})^α \sum_{i=1}^{n} t_i-α\)-\(\frac{α}{β^α}\sum_{i=1}^{n} t_i^{α-1}\)=0
複雑すぎて、これ以上計算できませんね。。。
●(式2)：
\(\displaystyle \frac{\partial log(L(α,β))}{\partial β} \)=-\(\frac{nα}{β}\)+\(\frac{α}{β^{α+1}} \sum_{i=1}^{n} t_i-α\)=0
まとめると、
\(β\)=\((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i^α)^{\frac{1}{α}}\)
となります。
困ったのが、(式1)は教科書では、
\(\frac{\sum_{i=1}^{n} t_i^α log t_i}{\sum_{i=1}^{n}t_i^α}\)-\(\frac{1}{α}\)-\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}log t_i\)=0
となるようですが、そうなりませんでした。以後、(式1)はこの式を使います。
計算すると、
●\(α\)を求める(式1)は手計算で求められないので、\(f(t)\)のグラフの形から\(α\)を求めます。
●\(β\)は(式2)から手計算で計算できます。
➃点推定の導出
尤度関数を微分して0になる条件式から、
●(式1)：
\(\frac{\sum_{i=1}^{n} t_i^α log t_i}{\sum_{i=1}^{n}t_i^α}\)-\(\frac{1}{α}\)-\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}log t_i\)=0
●(式2)：
\(β\)=\((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i^α)^{\frac{1}{α}}\)
の２式を使います。実際に、故障数を\(r\)、打ち切り数を\(n-r\)、打ち切り時間を\(t_s\)とすると、(式1)、(式2)は以下のように変形します。
●(式1)：
\(\frac{\sum_{i=1}^{r} t_i^α log t_i+(n-r)t_s^α log t_s}{\sum_{i=1}^{r}t_i^α+(n-r)t_s^α}\)-\(\frac{1}{α}\)-\(\frac{1}{r} \sum_{i=1}^{r}log t_i\)=0
●(式2)：
\(β\)=\((\frac{1}{r} \sum_{i=1}^{n} t_i^α+(n-r)t_s^α)^{\frac{1}{α}}\)
ちょっと難しいですね。せっかくワイブル分布を使うけど、点推定で激ムズなので、指数分布で簡単に解くのもアリと思います。
➄区間推定の導出
区間推定にχ2乗分布を使う理由
寿命がワイブル分布に従う場合、区間推定はχ2乗分布を使います。この理由は関連記事で解説しています。
【必読】ワイブル分布の寿命計算なのにχ2乗分布を使う理由がよくわかる
ワイブル分布に従う製品の寿命の信頼区間を計算するのに、何で自由度倍のχ2乗分布を使うか理由がわかりますか？本記事では理由を丁寧に解説します。単なる公式暗記ではなく、理由を理解することが大事です。ワイブル分布、指数分布、ガンマ分布、χ２乗分布の関係も理解できます。
関連記事からは、ワイブル分布から\(t_i\)を\(t_i^α\)に変えるとχ２乗分布に従う点が重要ですね。
χ2乗分布から区間推定
関連記事からは、ワイブル分布から\(t_i\)を\(t_i^α\)に変えるとχ２乗分布に従う点が重要ですね。
なので、\(2Z=\sum_{i=1}^{n} t_i^α\)はχ2乗分布に従います。
ところで、(式2)から、
\(β\)=\((\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i^α)^{\frac{1}{α}}\)
の\(\sum_{i=1}^{n} t_i^α\)は\(Z\)に相当するので、
\(β\)=\((\frac{1}{n} Z)^{\frac{1}{α}}\)
から
\(Z\)=\(nβ^α\)
となり、
\(2Z\)=\(2nβ^α\)はχ2乗分布に従います。
\(χ^2(2n,1-\frac{a}{2})\) < (\(2n β^α\)) < \(χ^2(2n, \frac{a}{2})\)
となります。
自由度\(n\)と有意水準\(a\)を選択して、χ２を計算すれば、区間に該当する\(α、β\)が計算できます。
まとめ
「信頼度の点推定と区間推定がわかる(ワイブル分布)」を解説しました。
- ①分布関数
- ➁尤度関数(ゆうど）を作る
- ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
- ➃点推定の導出
- ➄区間推定の導出
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