対数正規分布がよくわかる
「対数正規分布が難しくて、よくわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
- ➁対数正規分布とは
- ➂故障率λの計算
- ➃対数正規分布の期待値と分散の計算
- ➄故障率曲線との関係
①確率密度関数を導出するモデルを理解する
故障率は指数分布だけではない
特に信頼性工学の入門を解説している教科書やサイトは、
とインプットされがちです。
故障分布に合わせた確率密度関数を作る
例えば、寿命試験結果が以下のヒストグラムになったとします。
この図よく見ると、
なのに、
分布の種類
よく使う、確率密度関数で良いです。
- 一様分布
- 指数分布
- 正規分布
- ワイブル分布
- ガンマ分布
大事なのは、
例えば、2次関数とかでも使ってもいいと思います。
では、個々の分布関数を見ていきます。
➁対数正規分布とは
変数変換して分布関数を使うときの注意点
で、いつも思うのは、
あえて、変数\(t\)の対数正規分布を使い必要があるか？
です。実務では、難しい対数正規分布は不要で、正規分布だけ使いましょう。
変換して分布に従わせるときの注意点
よく、対数や指数に変換すると正規分布従う場合があるので、変換して分布内でコントロールしよう！という考えがあります。
分布関数に従わないいびつなデータを無理に変換して正規分布などに押し付けるわけですが、
●変換後は正規分布に従うが、なぜ変換元は分布関数に従わないのか？
●変換後は正規分布に従うなら、変換元は変換に合わせた正規分布に従わないとおかしい
確かに、数学的には、データを無理に変換して正規分布などに押し付けることはできますが、本当にそれで相手を納得させられるかは別物なので、理論武装が必要です。
対数正規分布の導出
ここまで、ケチつけましたけど、折角なので対数正規分布も紹介します。
正規分布の確率密度関数\(f(x)\)は
\(f(x)\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})\)
ここで、
\(y=e^x\)と変換してできる、確率密度関数\(g(y)\)を考えます。
変数\(X\)と\(Y\)は互いに変換し合う仲ので、
確率Pr(\(x\) < \(X\) < \(x+Δx\))と
確率Pr(\(y\) < \(Y\) < \(y+Δy\))は同じ確率になります。
Pr(\(x\) < \(X\) < \(x+Δx\))= Pr(\(y\) < \(Y\) < \(y+Δy\))
\(Δx\)⇒0, \(Δy\)⇒0,とすると微分になるので、
\(f(x)dx\)=\(g(y)dy\)となります。
求めたい\(g(y)\)は
\(g(y)\)=\(f(x)\frac{dx}{dy}\)より、
=\(f(logy)\frac{1}{y}\)となり、
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}σy} exp(-\frac{(log y-μ)^2}{2σ^2})\)
となります。
ちょっと複雑な式ですね。
対数正規分布のグラフ
N(0,12)に従う正規分布とそれを対数正規分布に変換したグラフを描いてみましょう。
対数正規分布は\(x\)軸が正の部分だけで、滑らかさは正規分布ほどありません。変換してよい変数かを確認してから正規分布で考える方がよさそうです。
対数正規分布の実例
論文(引用)のP48,49を読むと以下のグラフがあります。
●世界各国の人口密度 x軸：人口密度、y軸：ランキング
●戦死者数 x軸：死者数 y軸：ランキング
●マクドナルドの店舗数 x軸:店舗数 y軸：ランキング
でも、どれも因果関係がないので、グラフがたまたま対数正規分布に乗っただけでしょう。
➂故障率λの計算
故障率とは、\(f(x)\)と\(R(x)\)との比で計算します。対数正規分布の場合、
機械的に
\(λ(t)\)=\(f(t)/R(t)\)をします。
このあとの導出結果も、関連記事で解説しています。
分布関数\(F(t)\)
正規分布型の原始関数は存在しませんので、注意が必要です。
\(F(t)\)= \( \displaystyle \int_{0}^{∞} f(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2}) dx\)
機械的に
\(λ(t)\)=\(f(t)/R(t)\)をします。
\(λ(t)\)=\(f(t)/R(t)\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2})\)/\( \displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2}) dx\)
よくわからない式ですが、分布の\(F(x)\)は正規分布表から値を読み取ります。
\(λ(t)\)によって、故障率曲線の特徴が3つに分けられます。これはあとで解説します。
➃確率密度関数の平均と分散の計算
期待値E[\(x\)]の計算
期待値E[\(x\)]は
期待値E[\(x\)]=\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} x f(x) dx\)
です。積分範囲は正になるので、[0,∞]でOKです。
E[\(x\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x f(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2})
dx\)
=(式1)
ここで \(t=log x\)と置くと、\(x=e^t\) 、\(dx=e^t dt\)となるので、(式1)に代入します。
(式1)
=\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}) e^t dt\)
=(式2)
次に(式2)のexpの中を整理します。
\(exp(-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}) e^t\)の
\( -\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}+ t \)
=\( -\frac{1}{2σ^2}((t-(μ+σ^2))^2+\frac{2μ+σ^2}{2} \)
=(式3)
(式3)を(式2)に代入すると、
(式2)
=\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{1}{2σ^2}((t-(μ+σ^2))^2+\frac{2μ+σ^2}{2}) dt\)
=\( exp(\frac{2μ+σ^2}{2}) \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{(t-(μ+σ^2))^2}{2σ^2}) dt\)
後ろの積分は実は1ですよね。
=\( exp(\frac{2μ+σ^2}{2})\)
できましたね！
まとめると、
E[\(x\)]=\( exp(μ+\frac{σ^2}{2})\)
分散の計算
分散も計算が大変そうですが、期待値が計算できたら、意外と簡単にできます。
分散V[\(x\)]の計算
分散V[\(x\)]は
分散V[\(x\)]= E[\(x^2\)]- E[\(x\)]2
で計算します。
期待値E[\(x^2\)]は
期待値E[\(x\)]=\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} x^2 f(x) dx\)
です。積分範囲は正になるので、[0,∞]でOKです。
E[\(x\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 f(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2})
dx\)
=(式1)
ここで \(t=log x\)と置くと、\(x=e^t\) 、\(dx=e^t dt\)となるので、(式1)に代入します。
(式1)
=\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} e^t \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}) e^t dt\)
=(式2)
次に(式2)のexpの中を整理します。
\(exp(-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}) e^{2t}\)の
\( -\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}+ 2t \)
=\( -\frac{1}{2σ^2}((t-(μ+2σ^2))^2-4σ^2(μ+σ^2)) \)
=(式3)
(式3)を(式2)に代入すると、
(式2)
=\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{1}{2σ^2}((t-(μ+2σ^2))^2 -4σ^2(μ+σ^2)) dt\)
=\( exp(\frac{2μ+2σ^2}{2}) \displaystyle \int_{-∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σ} exp(-\frac{(t-(μ+2σ^2))^2}{2σ^2}) dt\)
後ろの積分は実は1ですよね。
=\( exp(2μ+2σ^2)\)
できましたね！
まとめると、
E[\(x^2\)]=\( exp(2μ+2σ^2)\)
よって、分散V[\(x\)]は
V[\(x\)]= E[\(x^2\)]- E[\(x\)]2
=\( exp(2μ+2σ^2)\)- \( exp(2μ+σ^2)\)
=\(exp(2μ+σ^2) (exp(σ^2)-1)\)
できましたね！
以上、まとめると、
●期待値E[\(x\)]=\( exp(μ+\frac{σ^2}{2})\)
●分散V[\(x\)]=\(exp(2μ+σ^2) (exp(σ^2)-1)\)
と正規分布の期待値、分散にeをつけて、いくらか追加した感じになります。
➄故障率曲線との関係
故障率λの計算
➂で計算した通り、対数正規分布の場合、
\(λ(t)\)=\(f(t)/R(t)\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2})\)/\( \displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2}) dx\)
本来はλの値によって、故障率曲線の特徴が3つに分けられますが、対数正規分布の場合は、どう３つに分類してよいかわかりません。
- 初期故障期(DFR)
- 偶発故障期(CFR)
- 摩耗故障期(IFR)
バスタブ曲線との関係を考えましょう。
あまり対数正規分布を使う機会はないですが、計算力を高めるいい練習にはなりますね。
まとめ
「【信頼性工学】対数正規分布がわかる」を解説しました。
- ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
- ➁対数正規分布とは
- ➂故障率λの計算
- ➃対数正規分布の期待値と分散の計算
- ➄故障率曲線との関係
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119