信頼性(指数分布)における計数抜取検査がよくわかる
「信頼性(指数分布)における計数抜取検査がよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①指数分布の計数抜取検査がわかる
- ➁加速試験するとサンプル数減らせる理由がわかる
- ➂試験時間とサンプル数の関係がわかる
- ➃指数分布の計数抜取検査の変数の関係をまとめる
①指数分布の計数抜取検査がわかる
ポアソン分布型を使うのが前提
指数関数で表現する信頼性工学において、抜取検査はポアソン分布型を使います。その理由は関連記事で解説していますので、導出過程をご確認ください。
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信頼性における抜取検査はポアソン分布を使う理由がわかる 信頼性でも抜取検査することがありますが、なぜポアソン分布型を使うのか説明できますか？本記事では指数分布で信頼性を定義したものをポアソン分布の抜取検査を使ってよい理由を、数式で導出します。導出過程があるのはQCプラネッツだけです。必読です！ |
OC曲線を作る
抜取検査はOC曲線が基本ですが、信頼性工学で応用するには、以下のように式を使います。
・\(L\)はロット合格率
・\(T\)は総試験時間で、\(T=nt\)
(サンプル数\(n\)と１サンプルの試験時間\(t\))
OC曲線を描くと
抜取検査を復習したい場合は、関連記事でご確認ください。最も詳しく、網羅性の高いQCプラネッツの抜取検査記事です。
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究める！抜取検査 抜取検査は使い方だけ理解して終わっていませんか？実務で活用するには、抜取検査の理論の習得が必須です。本記事では、抜取検査全体の理論をわかりやすく解説します。品質にかかわる技術者は必読です。 |
基本例題
例題で計数抜取検査を理解しましょう。
(1) 総試験時間\(T\)はいくらか？
(2) １サンプルあたり2000時間とすると、サンプルは何個必要か？
さっと解けますか？
解法
条件式を考える
問題文を式にすると、
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=β(0.1)
つまり、
\(L(λT)\)=\( e^{-λT} \frac{(λT)^0}{0!}+ e^{-λT} \frac{(λT)^1}{1!}\)=β(0.1)
を満たす\(T\)を求めたらOKですね。
計算すると
\((λT+1) e^{-λT}\)=0.1(=β)
とシンプルになりますが、ここからの計算が大変ですね。
それと、計算だけだとイメージしにくいですね。
OC曲線を描こう！
Excelで書いてみましょう。下図のように、変数\(λT\)に対して、
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)
を計算します。色枠と、色の式が対応していますので、確認ください。
ついでに、OC曲線も描いてみましょう。イメージしやすいので！
で、問題は、c=1のとき L(λT)=0.1(=β)より、上図のOC曲線の赤丸部分ですね。
ExcelでλTを3.5～4の間で0.001くらい細かく刻んでいくと、
λT=3.89が答えとなります。
問題文を再掲しましょう。
(1) 総試験時間\(T\)はいくらか？
(2) １サンプルあたり2000時間とすると、サンプルは何個必要か？
(1)でλT=3.89、λ=5×\(10^{-5}\)よりT=3.89×\(10^5\)時間(=44年)とわかります。それだけ試験時間がかかるってことですね。QCプラネッツは44歳に近いですけど。。。
(2)は簡単ですね。
T=ntより
3.89×\(10^5\)=n×2000
n=194.5
と200個くらいサンプル数が必要とわかります。
2000時間は83日と3カ月くらいですね。結構長いし、2000時間継続すれば人生変わるくらいのスキルがつきますね。
➁加速試験するとサンプル数減らせる理由がわかる
上の例題のように、時間がかかるんですよ！だから早く結果を出したい！ そのために加速試験をやります。
加速試験するとサンプル数が減るかどうか例題で確認しましょう。
例題
加速試験とは、数式でいうと
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)
の
λの値を例えば10倍とか一気に上げるようなことをします。
上の例題でλを10倍にしたら、サンプル数はどうなるか計算してみましょう。
(1) 総試験時間\(T\)はいくらか？
(2) １サンプルあたり2000時間とすると、サンプルは何個必要か？
実際に解いてみましょう。
解法
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=β
の式は変わらない
なので、
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=0.1を満たすλTは
3.89と同じです。
で、λが10倍になったので、Tは1/10になります。よって、
(1)は、
T=3.89×\(10^4\)時間(=4.4年)
となります。
(2)T=ntでt=2000とですから、
n=19.4=20個と先の例題の200個から20個に減っています。
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=β
の式は変わらず、λTも変わらない。
●λとTの積は一定なので、どちらかが数倍になれば片方は数分の１になるってことです。
➂試験時間とサンプル数の関係がわかる
例題
試験時間を変えると、必要なサンプル数はどう増減するかやってみましょう。一度解けば簡単な例題です。
総試験時間\(T\)は上の例題で3.89×\(10^5\)時間とわかっている。
(1) １サンプルあたり200時間とすると、サンプルは何個必要か？
(2) １サンプルあたり2000時間とすると、サンプルは何個必要か？
(3) １サンプルあたり20000時間とすると、サンプルは何個必要か？
3条件振って、調べてみましょう。
解法
λの値を変化させた場合と同じで、
の式は変わらない
なので、
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=0.1を満たすλTは
3.89と同じです。
なので 、T=3.89×\(10^5\)時間でしたね。
●T=ntですから、
(1) t=200のときは、 n=T/t=1945個
(2) t=2000のときは、 n=T/t=194.5個
(3) t=20000のときは、 n=T/t=19.45個
と試験時間が増えるに従い、サンプル数減ります。反比例の関係です。
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c=1} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=β
の式は変わらず、λTも変わらない。
●λとTの積は一定なので、どちらかが数倍になれば片方は数分の１になるってことです。
➃指数分布の計数抜取検査の変数の関係をまとめる
いろいろ変数を振ってみて練習しましたが、まとめましょう。
- OC曲線から
\(L(λT)\)=\(\sum_{r=0}^{c} e^{-λT} \frac{(λT)^r}{r!}\)=β
を満たす変数\(λT\)を求める。 - λT=λntの関係式でλ,n,tの値を求める。
- λT=(一定)なので、それぞれの変数が反比例の関係になる
つまり、
- λTはOC曲線から計算し
- OC曲線から離れて λnt=(一定)の条件の中で、3変数の値を求める
これが、信頼性の計数抜取検査の考え方です。
なるほど、よくわかりましたね！
まとめ
「信頼性(指数分布)における計数抜取検査がよくわかる」を解説しました。
- ①指数分布の計数抜取検査がわかる
- ➁加速試験するとサンプル数減らせる理由がわかる
- ➂試験時間とサンプル数の関係がわかる
- ➃指数分布の計数抜取検査の変数の関係をまとめる
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