スタージェスの公式がよくわかる
「スタージェスの公式がよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①スタージェスの公式を導出
- ➁二項分布を用意
- ➂二項定理を活用
- ➃区切り数を定義
- ➄区切り数の例
①スタージェスの公式を導出
公式の導出過程は次の流れのとおりです。
- 二項分布を用意
- 二項定理を活用
- 区切り数を定義
➁二項分布を用意
二項分布の式を用意します。
\(P(i)\)=\({}_n C_i p^i (1-p)^{n-i}\)
ここで、不良率p=\(\frac{1}{2}\)を代入すると、
\(P(i)\)=\({}_n C_i (\frac{1}{2})^n \)
➂二項定理を活用
ここで、サンプル数N=\(2^n\)を考え、二項分布の式と掛け算します。
\(NP(i)\)=\( 2^n {}_n C_i (\frac{1}{2})^n \)
=\( {}_n C_i \)
\(i=1,…,n\)の和をとります。
\(\sum_{i=1}^{n} NP(i)\)= \(\sum_{i=1}^{n} {}_n C_i \)
=\({}_n C_0\)+\({}_n C_1\)+…+\({}_n C_n\)
=\((1+1)^n\)=\(2^n\)
➃区切り数を定義
ここで、さらに\(m=n+1\)として変数\(m\)を定義します。
変数\(m\)は1～nを0～nに分けた区分数としてみます。
N=\(\sum_{i=1}^{n} NP(i)\)と置き換えて
N=\(2^n\)=\(2^{m-1}\)
(両辺)にlogをとって
\(log N\)=\((m-1)log 2\) (自然対数eで計算)
\(m\)=1+\(\frac{log N}{log 2}\)
なお、常用対数をとると
\(m\)=1+\(\frac{log_{10} N}{log_{10} 2}\)
\(\frac{1}{log_{10} 2}\)≒3.32
よって、
\(m\)=1+3.32 \(log_{10} N\)
➄区切り数の例
100個のデータ、つまりn=100の場合は、
\(m\)=1+3.32 \(log_{10} N\)
=1+3.32 \(log_{10} 100\)
=7.64
m=8と区分数を8にするとなります。
以上、スタージェスの公式の導出を解説しました。
まとめ
「スタージェスの公式がよくわかる」を解説しました。
- ①スタージェスの公式を導出
- ➁二項分布を用意
- ➂二項定理を活用
- ➃区切り数を定義
- ➄区切り数の例
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