畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布どうし、再生性)
「畳み込み積分が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z）
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z)(やってみたけど計算できません！)
①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
➁畳み込み積分(X+Y=Z）
ポアソン分布どうしの畳み込み積分を解析します。ポアソン分布は１つ注意する特徴があります。
ポアソン分布の式
\(f(x=n)= \sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!}\)
のkの値が整数なため、連続関数ではありません。
連続関数ではないので積分∫ができません。当たり前だけど、意外と忘れがちです。
例題
●\(f(x=n)= \sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!}\)
●\(g(y=n)= \sum_{k=0}^{n} e^{-μ} \frac{μ^k}{k!}\)
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
積分ではなくて和区間を確認- 和区間について丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
積分∫ができないので、和∑で計算します。
\((k)+(n-k)=n\)の関係が成り立っています。
積分ではなくて和区間を確認
和区間はk=0～nで、畳み込み積分(和の計算)をします。
難しそうに見えますが、高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
和区間について丁寧に計算
畳み込み積分
\( h(n)= \sum_{k=0}^{n} f(k) g(n-k) \)
=\(\sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!} ・e^{-μ} \frac{μ^{n-k}}{(n-k)!} \)
=\( e^{-(λ+μ)} \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} λ^k μ^{n-k} \)
=(式1)
ここで、(式1)の\(\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} λ^k μ^{n-k} \)は二項定理より
\(\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} λ^k μ^{n-k} \)=\((λ+μ)^n\)
これを(式1)に代入すると
(式1)
=\( e^{-(λ+μ)} \frac{(λ+μ)^n}{n!} \)
となり、 これもよく見るとポアソン分布の式でしかも、λ+μを変数とした場合です。
これが、再生性があるという意味ですね。
➂畳み込み積分(X-Y=Z)(計算できません！)
X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。ただし途中までしか計算ができません。
例題
●\(f(x=n)= \sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!}\)
●\(g(y=n)= \sum_{k=0}^{n} e^{-μ} \frac{μ^k}{k!}\)
において、Z=X-Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
積分ではなくて和区間を確認- 和区間について丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
積分∫ができないので、和∑で計算します。
\((k)-(k-n)=n\)の関係が成り立っています。
積分ではなくて和区間を確認
和区間はk=0～nで、畳み込み積分(和の計算)をします。
難しそうに見えますが、高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
和区間について丁寧に計算
畳み込み積分
\( h(n)= \sum_{k=0}^{n} f(k) g(k-n) \)
=\(\sum_{k=0}^{n} e^{-λ} \frac{λ^k}{k!} ・e^{-μ} \frac{μ^{ k-n }}{( k-n)!} \)
=\( e^{-(λ+μ)} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!(k-n)!} λ^k μ^{k-n} \)
=(式1)
ここで、(式1)の\(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!(k-n)!} λ^k μ^{k-n} \)が
計算（式変形）がこれ以上できません。
いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「畳み込み積分がよくわかる(畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布どおし、再生性))」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z）
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z)( やってみたけど計算できません！)
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119