【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)
「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
- ➁例題と条件付き確率
- ➂条件付き期待値
- ➃条件付き分散がわかる
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QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。 |
サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。
本記事でばっちりおさえましょう。
①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
2段サンプリングの分散の式
「２段サンプリングの分散」の式があります。
E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。
でも、
と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。
そこで、
という思いで、解説していきます。
2段サンプリングの分散の式に必要な内容
まとめると、以下を理解しておく必要があります。
- 条件付き確率
- ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
- 同時確率分布の分散、共分散の導出
- 条件付き確率の期待値・分散
- 全分散の公式の導出
- ２段サンプリングの分散の公式導出
残念ながら、「Yes」です。
だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。
だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!
2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ
「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。
では、１つ１つ解説します。
本記事のテーマ(再掲)
第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。
- 条件付き確率
- ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
- 同時確率分布の分散、共分散の導出
- 条件付き確率の期待値・分散
- 全分散の公式の導出
- ２段サンプリングの分散の公式導出
●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。
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２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。 |
➁例題と条件付き確率
例題
関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。
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同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。 |
●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。
| X/Y | 1 | 2 | 3 | 計 |
| 1 | \(\frac{2}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| 2 | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{2}{8}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| 計 | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{2}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | 1 |
(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。
期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。
条件付き確率
(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
条件付き確率
まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。
●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから、例えば、
P(Y=1|X=1)=(2/8)/(1/2)=1/4です。同様に全部計算すると、次の表になります。機械的に計算しましょう。
| P(Y|X) | Y=1 | Y=2 | Y=3 | 計 |
| P(Y|X=1) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| P(Y|X=2) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{2}\) | \(\frac{1}{1}\) |
➂条件付き期待値
「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。
条件付き期待値の計算
●E(Y|X)、E(Y2|X)を計算します。
●E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i)\)で計算します。yで加算しますが、個々のXの値について期待値を計算します。
●E(Y|X=1)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=1)\)
=\(1×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{7}{4}\)
●E(Y|X=2)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=2)\)
=\(1×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{9}{4}\)
つぎに、E(Y2|X)ですが、
E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i\))から
E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=i)\)に変えて加算します。
●E(Y2|X=1)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=1)\)
=\(1^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{15}{4}\)
●E(Y 2|X=2)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=2)\)
=\(1^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{23}{4}\)
条件付きの期待値の特徴
上のE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、
X=iの個々の値が出るから
これは、実は問題ありません。
連続系の問いでE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y2|X)そのものの値ではなく、
関数になります。
重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認
●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。
●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。
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同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。 |
●E(Y)自体は非常に簡単で、
E(Y)=1×\(\frac{3}{8}\)+2×\(\frac{2}{8}\)+3×\(\frac{3}{8}\)=2
でした。
では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。
E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
E(*)=∑ (*) f(★) で計算すればよいです。
E(E(Y|X))=\(\sum_{i=1}^{2} E(Y|X) f_Y(y_i)\)
=\(\frac{7}{4}・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}\)
=2
と一致しましたね。
➃条件付き分散がわかる
「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。
条件付き分散の計算
●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。
●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
V[X]=E[X2]-E[X]2
でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。
V(Y|X=i)= E[Y2|X=i]-E[Y|X=i]2
です。X2⇒Y2|Xに注意します。
実は、
E[Y2|X=i]とE[Y|X=i]は計算済です。
V(Y|X=1)= E[Y2|X=1]-E[Y|X=1]2
=\(\frac{15}{4}-(\frac{7}{4})^2\)
=\(\frac{11}{16}\)
V(Y|X=2)= E[Y2|X=2]-E[Y|X=2]2
=\(\frac{23}{4}-(\frac{9}{4})^2\)
=\(\frac{11}{16}\)
●次に全分散の公式への下ごしらえをします。
●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。Y|XはX=iごとに計算していきます。
E(V(Y|X=i)) = \(\sum_{i} V(Y|X=i) f_X(x=i)\)
=\(\frac{11}{16}・\frac{1}{2}+\frac{11}{16}・\frac{1}{2}\)
=\(\frac{11}{16}\)
●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
V(E(Y|X))=E(E(Y|X)2)-E(E(Y|X)) 2
=\(\sum_{i} E(Y|X)^2 f_X(x=i)\)- \((\sum_{i} E(Y|X) f_X(x=i))^2\)
=[\((\frac{7}{4})^2・\frac{1}{2}+(\frac{9}{4})^2・\frac{1}{2}\)]
-\([\frac{7}{4})・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}]^2\)
=\(\frac{1}{16}\)
となります。随分計算が大変でした。
全分散の公式の確認
2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式
V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
を確認しましょう。
関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。
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同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。 |
●全分散の公式の(右辺)を合算します。
V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
=\(\frac{11}{16}+\frac{1}{16}\)
=\(\frac{3}{4}\)
=V(Y)
と一致します。
●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。
重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。
まとめ
条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)をわかりやすく解説しました。
- ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
- ➁例題と条件付き確率
- ➂条件付き期待値
- ➃条件付き分散がわかる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119