2021/11/08 (更新日: 2023/11/30)

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式がわかる

①上限規格値と合格判定値についての関係式を導出
②サンプル数nと合格判定係数kを導出
③演習問題
④OC曲線を描く

下限規格値については、関連記事で確認ください。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式
JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、下限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

①上限規格値と合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

あるロットが正規分布に従っている。上限規格値U以下である確率はpとする。この確率pについて、
● p ≤ p₀の不良率をもつロットは合格
● p > p₁の不良率をもつロットは不合格
とする。前者はできるだけ合格させたいが、後者はできるだけ不合格にさせたいような抜取検査を考えたい。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

関係式を導出

モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します

①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

②上限規格値Lの関係式を作ります。
●\(μ_0\)=U-\(K_{p0}σ\)
●\(μ_1\)=U-\(K_{p1}σ\)

③合格判定値\(\bar{X_U}\)の関係式を作ります。
●μを使う場合
・\(\bar{X_U}\)=\(μ_0\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_U}\)=\(μ_1\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

●Uを使う場合
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

②サンプル数nと合格判定係数kを導出

関係式からサンプル数nと合格判定係数kを導出します。

サンプル数nを導出

ただし、わかっている値で表現します。
わかっている値は
\(K_{α}\)
\(K_{β}\)
\(K_{p0}\)
\(K_{p1}\)
です。

●Uを使う場合
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
の２式を引きます。

0=0-\(K_{p0}σ\)+\(K_{p1}σ\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
(\(K_{p0}-K_{p1}\))σ=(\(K_{α}+K_{β}\))\(σ_{\bar{x}}\)

この式に、\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)を代入します。
(\(K_{p0}-K_{p1}\))σ=(\(K_{α}+K_{β}\))\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
両辺をσで割って,2乗します。
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)

上限、下限規格値どちらも、サンプル数nは同じ式ができます。

合格判定係数kを導出

初登場のkですが、
・\(\bar{X_U}\)=U-kσ
と置きます。

\(\bar{X_U}\)は
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
= U-\(K_{p0}σ\)+\(K_{α} \frac{σ}{\sqrt{n}}\)
ですから、
k=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
です。

なお、OC曲線を描くために、β,p1を使った関係式も導出します。
・\(\bar{X_U}\)=U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β} σ_{\bar{x}}\)
= U-\(K_{p1}σ\)-\(K_{β} \frac{σ}{\sqrt{n}}\)
ですから、
k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
です。

ｎは先ほど導出しました、
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
を、
\(\sqrt{n}\)=\(\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}}\)
とします。

k=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
=\(K_{p0}\)-\(K_{α} \frac{ K_{p0}-K_{p1}}{ K_{α}+K_{β}}\)
よって、
k=\(\frac{K_{p0}K_{β}+K_{p1}K_{α}}{ K_{α}+K_{β}}\)
となります。

③演習問題

不良率p0,p1と上で求めた、サンプル数nと合格判定係数kを使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。

【演習問題】
　あるプラスチック板の厚さの上限規格値が1.6mmとする。厚さが1.6mm超過のものが1%以下のロットはなるべく検査で合格させたいが、3%以上もあるロットはなるべく検査で不合格としたい。厚さの値は標準偏差σ=0.3mmの正規分布に従うとする。このとき、第1種の誤りであるα=0.002,第２種の誤りであるβ=0.10とした場合の抜取方式を決めよ。

うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。

まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。
次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、上限規格値が決まっていますね。

サンプル数nと、合格判定係数kを導出した公式から求めましょう。

まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)、\(K_{p0}\)、\(K_{p1}\)
がわかります。正規分布表を活用します。

\(K_{α}\)=2.878 (α=0.002のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)

\(K_{p0}\)=2.326(p0=0.01のときのK値)
\(K_{p1}\)=1.881(p1=0.03のときのK値)

正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる
｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など困っていませんか？本記事では、教科書やwebサイトより正規分布の基本やポイントをわかりやすく解説します。最も重要な正規分布を理解したい方は必見です。

サンプル数nは
n=\((\frac{K_{α}+K_{β}}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
= n=\((\frac{2.878+1.282}{2.326-1.881})^2\)
=85.3≒86
と計算できます。

合格判定係数kは
k=\(\frac{K_{p0}K_{β}+K_{p1}K_{α}}{ K_{α}+K_{β}}\)
=\(\frac{2.326×1.282+1.881×2.878}{ 2.878+1.282}\)
=2.02

ちなみに、上限合格判定値\(\bar{X_U}\)は、
\(\bar{X_U}\)=U-kσ
=1.6-2.02×0.3=0.995

まとめると
(n,k)=(86,2.02)の値で、
平均値が0.995mm以下ならロット合格、超過ならロット不合格
となります。

④OC曲線を描く

上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。

OC曲線を描くための準備

なお、OC曲線を描くために、k,β,p1の関係式を再度書きます。
k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
変形して
(k-\(K_{p1}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{β}\)

ここで、p1,βを一般化して、
p1⇒p
β⇒L(p)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。

(k-\(K_{p}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{L(p)}\)

L(p)の作り方

不良率pを変数として0から値を振る。
pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。/li>
サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
\(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

では、実際にやってみましょう。表にまとめます。

p	Kp	k-Kp	(k-Kp)\(\sqrt{n}\)=K_{L(P)}\)	L(p)
0.01	2.33	-0.31	-2.84	1
0.015	2.17	-0.15	-1.39	0.92
0.02	2.05	-0.03	-0.31	0.62
0.025	1.96	0.06	0.56	0.29
0.03	1.88	0.14	1.29	0.1
0.035	1.81	0.21	1.93	0.03
0.04	1.75	0.27	2.5	0.01
0.045	1.7	0.32	3.01	0
0.05	1.64	0.38	3.48	0