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★本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

ワイブル分布やワイブル確率紙を勉強する人のほとんどが、大学の勉強やQC検定®受験のためでしょう。

でも、勉強する上で、次の観点で疑問に思って欲しいです。

そりゃ、試験では、

が解ければOKですが、ここは、本質ではありません。試験対策で学んだ後、振り返ると「何でこう解くのか？」がわかっていないことに気が付きます。

ワイブル分布の式が難しいから、確かに、確率分布から確率紙を入ります。で、さらっと、
「データを大きさ順に並べて、F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)で確率を求める」は暗記して、受験対策しますよね

では、何で、確率分布と関係のないプロット方法をやってよいか？を解説します。

このからくりが、「順序統計量」ですね。

これが、

なので、確率紙は、以下の流れで理解しましょう。ワイブル確率紙の具体的な解法はまだ先でよいです。

でも、ほとんどの教科書は逆の手順で説明しますよね。だから、解き方がわかっても、意味がわからない！

教科書勉強しただけでは、本質までたどり着きません。なので、本記事で解説しています。

QCプラネッツでは、順序統計量からメジアンランク法・ミーンランク法までを網羅して解説しています。関連記事のリンクを上げます。一回は目を通してください。

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では、ワイブル確率紙に入る前に、指数分布の確率紙を考えてみましょう。簡単な関数でウォーミングアップして、本題のワイブル確率紙に入りましょう。

ワイブル確率紙だけ知っているのは、単なる受験対策って感じですよね。自分で考えて使いこなせるようになりましょう。

しつこく書きましたが、

今の時代、関数電卓もExcelなどの電子ツールがたくさんあります。スマホでも確率紙の計算はできる時代です。

ポイントは、

流れを図で説明します。

確率紙の考え方がわかっていれば、簡単ですよね！　使い方しか覚えていないと応用が利かないはず。

では、実際に、指数分布とワイブル分布の両方を例に、確率紙の使い方を理解しましょう。

確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

指数分布の式を用意します。
\(R(t)=exp^{-λt}\)

両辺、logを取ると
\(log R(t)\)=\(-λt\)
マイナスを消します。
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)

よって、
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \(λt\)
で、
\(Y=log{\frac{1}{R(t)}}\),\(t=X\)とおくと、
\(Y=λt\)
という原点を通る直線にプロットすることができます。

式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

データを用意します。

★小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

データを並び替えると、
0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
です。

これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

これは図でいうと、

★変数を対応させて直線プロットを描く

変数の関係は、

計算結果を表にまとめると、

データをプロットします。指数分布の場合は、原点を通る直線ですね。

★指数分布にあてはめよう

図より、
Y=0.6389xなので、λ=0.6389となります。
よって、指数分布は\(y=exp^{-0.6389t}\)
となります。(マイナスがあるのを注意しましょう。)

確率分布によらず、データを大きさ順に並べると順序統計量として扱ってOK！

メジアンランク法やミーンランク法で、順序統計量に沿って確率Pを求めます。

ワイブル分布の式を用意します。
\(R(t)\)=\(exp(-(\frac{t}{η})^m )\)

両辺、logを取ると
\(log R(t)\)=\( -(\frac{t}{η})^m \)
マイナスを消します。
\(log{\frac{1}{R(t)}}\)= \( (\frac{t}{η})^m \)

もう１回対数logをとります。
\(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)

よって、
\(loglog{\frac{1}{R(t)}}\)= \( m(logt -logη)\)<
で、
\(Y= loglog{\frac{1}{R(t)}}\),\( logt =X\)、\( n=-mlogη\)とおくと、
\(Y=mX+n\)
という直線にプロットすることができます。

式がいろいろ出てきたので、変数の対応を図で確認しましょう。

F(t)はメジアンランク法やミーンランク法から求めて、
R(t)=1-F(t)の関係からR(t)が計算できます。

確率分布の式を直線型に変換したので、それに対応して計算します。

データを用意します。

★小さい順に並べて、メジアンランク法から確率を導出

データを並び替えると、
0.2、0.4、0.5、0.8、1.1、1.6、2.1、2.5、2.8、3.4
です。

これをメジアンランク法で確率を計算しましょう。（メジアンランク法でもミーンランク法でもOKですが、）

★変数を対応させて直線プロットを描く

変数の関係は、

ちょっと、換算式が複雑ですが、ここが大事で、ワイブル確率紙が何をやっている紙なのかを理解するポイントです。理解するポイントがわかれば、別に、ワイブル確率紙を使わなくても、簡単なグラフで直線にできます！

計算結果を表にまとめると、

データをプロットします。ワイブル分布の場合は、y=mx+nの直線ですね。

★指数分布にあてはめよう

図より、
Y=1.1695x-0.6441なので、
・\(m\)=1.1695
・\(n=mlogη\)=0.6441　より、\(η\)=1.734

ワイブル分布は
\(R(t)=exp(-(\frac{t}{1.734})^1.1695)\)

ワイブル確率紙を使った結果を、簡単なグラフにすると、下図のようになり、

上の計算結果と比較すると、
・\(m\)=1.2(1.1695と近い結果)
・\(η\)=1.5(1.734と近い結果)
両者とも、ほぼ同じ値が算出できたことがわかります！

「ワイブル確率紙がよくわかるし、自分で作れる！」を解説しました。

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【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね！

答えは

ところが、

ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。

順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
(ここで、何で？　とツッコんでください！　順序統計量だな！と読みましょう！)

\(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
の各母集団が下図のように分布しているとして、

\(F_i\)が\(F\)～\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、

式が難解なので、イメージを解説すると、

の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

「ミーン」とは、平均値なので、平均値について計算します。

メジアンランク法と比較すると２点注意が必要です。

メジアンランク法は関連記事で解説しています。まず確認しましょう。

メジアンランク法がよくわかる 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。信頼性工学を学ぶ人は必読です。

一様分布のメジアンランク法がよくわかる 本記事では、一様分布と順序統計量を使って、自力でメジアンランク法の確率を計算します。メジアンランク法の理解を高めたい方は必読です。

違いがわかりますか？

積分区間が異なるから、メジアンランク法とミーンランク法の2つがあるので、理解しやすいのですが、

この理由を解説します。

理由は２つあります。

平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるからという理由が、一番強い理由と考えています。

メジアンランク法のようにプログラムは不要です。

ここで超重要なことを伝えます。

ここで、「なるほど！」と来ない人は、ワイブル確率紙などの確率紙を使う意味を理解していないということ！

では、解きます。必要な数学は、ベータ関数です。

ベータ関数の関連記事で、復習しましょう。

ベータ関数がよくわかる 本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。

P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F・F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)

ここで、

と
\( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
をにらめっこすると
\(p=i+1\)、\(q=n+1-i\)
を代入すればＯＫとわかりますね。

よって、
P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i)!(n-i)!}{(n+1)!} \)
=\(\frac{i}{n+1}\)
となります。

先の、

と、ありましたね。

積分する関数をメジアンランク法と同じするとどうなるか？計算しましょう。

P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)

ここで、

と
\( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
をにらめっこすると
\(p=i\)、\(q=n-i\)
を代入すればＯＫとわかりますね。

よって、
P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i-1)!(n-i)!}{(n)!} \)
=1
となります。

積分した結果が、数字になると、使い道ないですね。。。
だから、ミーンランク法はP= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)なのでしょう。

余談したが、比較すると理解が深まりますね！

とよく似た式ですね。

結論は、

となりますね。

「ミーンランク法がよくわかる」を解説しました。

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正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね！

答えは

ところが、

ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。

順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

★式を理解する重要なポイント

データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
(ここで、何で？　とツッコんでください！　順序統計量だな！と読みましょう！)

\(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
の各母集団が下図のように分布しているとして、

\(F_i\)が\(F\)～\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、

式が難解なので、イメージを解説すると、

の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

基本は、

今回は、「メジアンランク法」を解説します。

基本は、

(左辺)のP=0.5は確率が\(\frac{1}{2}\)で、
(右辺)の\(\tilde{F}\)はメディアンです。

なので、結果は教科書とかで与えらえています。

でも、

ひょっとしたら、公式が間違っているかもしれませんよね！

部分的に、ある条件なら、手計算で解けます。

公式の理解度も一気に上がるし、公式の導出過程においた仮定や、強み・弱みも理解できます。

★ i=1のとき

0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(1-1)!(n-1)!} F^{1-1}(1-F)^{n-1}dF \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} n (1-F)^{n-1}dF \)
=\(\left[(-1) (1-F)^{n} \right]_{0}^{\tilde{F}}\)
=1- \((1- \tilde{F})^{n}\)

つまり、
0.5=1- \((1- \tilde{F})^{n}\)
\((1- \tilde{F})^{n}\)=0.5
\(\tilde{F}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)

まとめると、

★ i=nのとき

0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(n-1)!(n-n)!} F^{n-1}(1-F)^{n-n}dF \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} n F^{n-1}dF \)
=\(\left[F^{n} \right]_{0}^{\tilde{F}}\)
=\(\tilde{F}^{n}\)

つまり、
0.5=\(\tilde{F}^{n}\)
\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)

まとめると、

i=1,n以外はミーンランク法を使って計算していますが、

「メジアンランク法がよくわかる」を解説しました。

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【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

対数正規分布の式は、
\(f(x)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2})\)

関連記事に解説していますので、ご確認ください。

対数正規分布がよくわかる 本記事では、正規分布から対数正規分布を導出し、期待値・分散、故障率の変化をわかりやすく解説します。信頼性工学をマスターしたい方は必読です。

対数正規確率紙を使わなくても、Excelで計算できますね。

使う関数は、LOGNORM.INV(確率,平均,標準偏差)で簡単に計算できます。平均0、標準偏差1の場合では、

グラフで描くと

と縦軸の確率を等間隔で描くと、違和感がありますね。実際の確率紙は縦の間隔をうまく設定して、プロットすると直線になるようにしていますね。

現在、不要ですが、考え方や理解は必須です。使い方の手段より、目的・意図は理解しておきましょう。

以下の疑問は説明できますか？

解説します。

当たり前！なんですが、わかりますか？

2次元グラフとは、本来、横軸と縦軸は独立した変数ですね。
でも、確率紙は変換前後の関係を見たいので、横軸も縦軸も同じ変数です。

もちろん、確率紙で直線に並べると見やすいからですが、
大事なのは、

ということは理解しておいてください。

では、実際に使ってみて、理解を深めましょう。

データをそのまま打点する場合と、度数分布表のデータを打点する場合がありますので、紹介します。

対数正規分布の式は、
\(f(x)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}σx} exp(-\frac{(log x-μ)^2}{2σ^2})\)

なお、期待値と分散は下の式になります。積分で計算できますが、今回は結果のみにしましょう。
●\(E\)=\(exp(μ+\frac{σ^2}{2})\)
●\(V\)=\(exp(2μ+σ^2)(exp(σ^2)-1)\)

ここにある平均\(μ\)、標準偏差\(σ\)は下の対数正規確率紙から求めます。

3つあります。

対数正規確率紙において、平均\(μ\)を変えた場合と、標準偏差\(σ\)を変えた場合のグラフの違いを確認しましょう。

平均\(μ\)を変えた場合

下図のように、平行移動しているのがわかりますね。
平均\(μ\)は横軸の値とすればよいとわかります。

★標準偏差\(σ\)を変えた場合

下図のように、傾きが変わるのがわかりますね。
標準偏差\(σ\)はあてはめ線の傾きとすればよいとわかります。

19個のデータを用意します。
32,90,150,240,160,110,53,70,45,180,
120,360,100,300,60,260,80,130,190
これを正規確率紙にプロットして。
平均\(μ\)、標準偏差\(σ\)を求めます。

平均と標準偏差を求めるためのプロット方法は以下です。

表を作ります。

結果をプロットします。

平均\(μ\)、標準偏差\(σ\)を求めます。
●平均\(μ\)=4.788
●標準偏差\(σ\)=0.723

こんな感じで作ります。
Excelなどのツールが無い時代は、確率紙は重宝されていました。今は、理論をしっかり引き継いでおく必要があります。

●\(E\)=\(exp(μ+\frac{σ^2}{2})\)
=\(exp(4.788+\frac{0.723^2}{2})\)
=155.84

●\(V\)=\(exp(2μ+σ^2)(exp(σ^2)-1)\)
=\(exp(2×4.788+0.723^2)(exp(0.723^2)-1)\)
=16673.6

度数分布表用のデータを233個用意します。

233個の度数分布表は次の通りとします。

分布の区分は、スタージェスの公式があるので、使ってみましょう。よくデータ数の平方根にしますよね！

スタージェスの公式は関連記事で紹介します。

スタージェスの公式がよくわかる ヒストグラムの区分数を考える１つの方法として、スタージェスの公式を解説します。信頼性工学ではヒストグラムをよく使いますので、紹介します。

スタージェスの公式は
区分\(m\)≒\(1+\frac{log_{10} n}{log_{10} 2}\) で
\(m\)≒\(1+\frac{log_{10} 233}{log_{10} 2}\)
≒9

区分数9で度数分布表を作っています。各区分における確率を平均ランク法で求めると次の度数分布表にまとめられます。

ここで、累積度数\(C_i\)=\(\sum_{i=1}^{n}f_i\)
平均ランク法による確率の導出\(F(x_i)=C_i /(n+1)\)
を使って計算しています。

平均ランク法でなくても、他の方法でもＯＫです。例として紹介します。

区分と平均ランク法で求めた確率をプロットします。

平均\(μ\)、標準偏差\(σ\)を求めます。
●平均\(μ\)=3.689
●標準偏差\(σ\)=0.406

こんな感じで作ります。
Excelなどのツールが無い時代は、確率紙は重宝されていました。今は、理論をしっかり引き継いでおく必要があります。

●\(E\)=\(exp(μ+\frac{σ^2}{2})\)
=\(exp(3.689+\frac{0.406^2}{2})\)
=43.42

●\(V\)=\(exp(2μ+σ^2)(exp(σ^2)-1)\)
=\(exp(2×3.689+0.406^2)(exp(0.406^2)-1)\)
=337.88

「対数正規確率紙がよくわかる」を解説しました。

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公式の導出過程は次の流れのとおりです。

二項分布の式を用意します。
\(P(i)\)=\({}_n C_i p^i (1-p)^{n-i}\)

ここで、不良率p=\(\frac{1}{2}\)を代入すると、
\(P(i)\)=\({}_n C_i (\frac{1}{2})^n \)

ここで、サンプル数N=\(2^n\)を考え、二項分布の式と掛け算します。
\(NP(i)\)=\( 2^n {}_n C_i (\frac{1}{2})^n \)
=\( {}_n C_i \)

\(i=1,…,n\)の和をとります。
\(\sum_{i=1}^{n} NP(i)\)= \(\sum_{i=1}^{n} {}_n C_i \)
=\({}_n C_0\)+\({}_n C_1\)+…+\({}_n C_n\)
=\((1+1)^n\)=\(2^n\)

ここで、さらに\(m=n+1\)として変数\(m\)を定義します。
変数\(m\)は1～nを0～nに分けた区分数としてみます。

N=\(\sum_{i=1}^{n} NP(i)\)と置き換えて
N=\(2^n\)=\(2^{m-1}\)
(両辺)にlogをとって
\(log N\)=\((m-1)log 2\) (自然対数eで計算)

\(m\)=1+\(\frac{log N}{log 2}\)

なお、常用対数をとると
\(m\)=1+\(\frac{log_{10} N}{log_{10} 2}\)
\(\frac{1}{log_{10} 2}\)≒3.32

よって、

100個のデータ、つまりn=100の場合は、
\(m\)=1+3.32 \(log_{10} N\)
=1+3.32 \(log_{10} 100\)
=7.64

m=8と区分数を8にするとなります。

以上、スタージェスの公式の導出を解説しました。

「スタージェスの公式がよくわかる」を解説しました。

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正規確率紙を使わなくても、Excelで計算できますね。

使う関数は、NORM.INV(確率,平均,標準偏差)で簡単に計算できます。平均0、標準偏差1の場合では、

グラフで描くと

と縦軸の確率を等間隔で描くと、違和感がありますね。実際の確率紙は縦の間隔をうまく設定して、プロットすると直線になるようにしていますね。

現在、不要ですが、考え方や理解は必須です。使い方の手段より、目的・意図は理解しておきましょう。

以下の疑問は説明できますか？

解説します。

当たり前！なんですが、わかりますか？

2次元グラフとは、本来、横軸と縦軸は独立した変数ですね。
でも、確率紙は変換前後の関係を見たいので、横軸も縦軸も同じ変数です。

もちろん、確率紙で直線に並べると見やすいからですが、
大事なのは、

ということは理解しておいてください。

では、実際に使ってみて、理解を深めましょう。

データをそのまま打点する場合と、度数分布表のデータを打点する場合がありますので、紹介します。

10個のデータを用意します。
89,85,106,94,102,136,96,88,100,104
これを正規確率紙にプロットします。

平均と標準偏差は計算すると、
平均=100,標準偏差=13.76

表を作ります。

表は

プロットします。

こんな感じで作ります。
Excelなどのツールが無い時代は、確率紙は重宝されていました。今は、理論をしっかり引き継いでおく必要があります。

度数分布表用のデータを100個用意します。

64, 119, 130, 158, 153, 133, 147, 125, 128, 174
123, 109, 96, 148, 157, 121, 145, 63, 180, 113
94, 78, 136, 87, 90, 98, 166, 123, 134, 132
125, 143, 149, 98, 119, 126, 157, 75, 112, 114
62, 169, 149, 171, 175, 129, 179, 111, 159, 142
142, 148, 115, 101, 93, 111, 163, 129, 106, 126
92, 127, 117, 77, 151, 134, 115, 74, 122, 75
110, 85, 128, 126, 145, 136, 100, 145, 143, 106
92, 63, 117, 100, 154, 113, 94, 121, 114, 152
88, 93, 114, 123, 100, 93, 93, 141, 133, 143

分布の区分は、スタージェスの公式があるので、使ってみましょう。よくデータ数の平方根にしますよね！

スタージェスの公式は関連記事で紹介します。

スタージェスの公式がよくわかる ヒストグラムの区分数を考える１つの方法として、スタージェスの公式を解説します。信頼性工学ではヒストグラムをよく使いますので、紹介します。

スタージェスの公式は
区分\(m\)≒\(1+\frac{log_{10} n}{log_{10} 2}\) で
\(m\)≒\(1+\frac{log_{10} 100}{log_{10} 2}\)
≒8

区分8で度数分布表を作ると、

ここで、累積度数\(C_i\)=\(\sum_{i=1}^{n}f_i\)
平均ランク法による確率の導出\(F(x_i)=C_i /(n+1)\)
を使って計算しています。

平均ランク法でなくても、他の方法でもＯＫです。例として紹介します。

区分と平均ランク法で求めた確率をプロットします。

以上、正規確率紙を解説しました。

「正規確率紙がよくわかる」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

★本物の「信頼性工学」問題集を販売します！

【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。

信頼性試験は、故障する・しないの試験ですが、一部のサンプルを抜き取って、ロットの合否判定したい場合があります。

ただし、品質管理における抜取検査とは次の３点が異なります。

品質管理の抜取検査と、少し違うところもありますが、信頼性について抜取検査することも可能です。

信頼性の抜取検査のOC曲線を考えてみましょう。

下図で比較しましょう。

★呼び名が変わる！

教科書では、信頼性の場合は元々指数分布で定義されることが多く、抜取検査ではポアソン分布型を使う当たり前のように書いています。

簡単に導出を解説します。

抜取検査は、二項分布をよく使いますよね。ここからスタートします。

●二項分布は
\({}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}\)
ですね。

●次に\(p\)は不良率なので、ここに信頼性における指数分布式を代入します。
仮に、指数分布関数を
\(F(t)=1-e^{-λt}\)
とします。

●二項分布は
\({}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}\)
=\({}_n C_k F(t)^k (1-F(t))^{n-k}\)
=\({}_n C_k (1-e^{-λt})^k (e^{-λt})^{n-k}\)

ですね。

●次に指数関数型をテーラー展開しましょう。
\(e^t\)=1+\(t\)+\(\frac{t^2}{2!}\)+…
ですね。これの１次式まで使いましょう。

\(e^{-λt}\)=1-\(λt\)
\(1- e^{-λt}\)=1-(1-\(λt\))=\(λt\)
から、二項分布の式に代入すると、

●二項分布は
=\({}_n C_k (1-e^{-λt})^k (e^{-λt})^{n-k}\)
=\(\frac{n!}{k!(n-k)!} (λt)^k (e^{-λt})^{n-k}\)
と変形させます。

ここで、変数\(a\)=\(λt(n-k)\)とおいて、整理すると
\(\frac{n!}{k!(n-k)!} (λt)^k (e^{-λt})^{n-r}\)
=\(\frac{n!}{k!(n-k)!} (\frac{a}{n-k})^k (e^{-a}\)
=\(\frac{1}{k!} a^k e^{-a} \frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)
と変形できます。

よく見ると、
=\(\frac{1}{k!} a^k e^{-a} \)はポアソン分布型で、
\(\frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)は変な定数
となりますね。だいぶポアソン分布型になってきました。

さらに、
\(\frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)を展開すると、
\(\frac{n!}{(n-k)!} (\frac{1}{n-k})^k\)
=\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{(n-k)(n-k)…(n-k)}\)×\(\frac{(n-k)(n-k-1)…1}{(n-k)(n-k-1)…1}\)
=\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{(n-k)(n-k)…(n-k)}\)
⇒1 (nが十分大きくなると)

まとめると、

これが、信頼性を抜取検査するときに、ポアソン分布型を使ってもよい理由となります。できましたね！

「信頼性における抜取検査はポアソン分布を使う理由がわかる」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

公式にもてあそばれないよう、ちゃんと式の導出を解説します！

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本記事で対象とする公式です。

こういった疑問は

再掲しますが、

と３つ式が書いています。よく教科書では、

でも、この流れだと、

やってみればわかります。やってみてわかったことは、

つまり、

１つずつ詳しくみてきましょう。

打切りデータが無い場合は、下図のように、\(t_1\),\(t_2\),…, \(t_n\)と各故障時間を見ていきます。

MTBF,MTTFの点推定は公式

となります。

定時打切りの場合は、下図のように、ある時刻\(t_c\) (故障が\(r\)回と\(r+1\)回の間に到達する時間とします。)で区切ります。

MTBF,MTTFの点推定は公式

となります。

定数打切りの場合は、下図のように、\(r回\)で故障する時刻\(t_r\) で区切ります。

MTBF,MTTFの点推定は公式

となります。

点推定の求め方を再掲すると

と３つ式がありますが、１つの考え方で３パタ―ンの式になることが良くわかりますね。

次に推定区間を求める式を解説します。これ、式の意味がわからないと暗記は正直キツイ。私もQC検定®１級試験時は思い出せなかった！　なので、導出過程を理解しましょう。

推定区間の導出式の表を再掲します。

指数関数なのに、区間はχ2乗分布でしかも、2Tなり、自由度2nだったり、定時打切りと定数打切りでは自由度が若干違うなど、訳が分からないですよね！

この理由は、

関連記事で詳しく解説しています。ご確認ください。

【QCプラネッツ信頼性工学プレミアム勉強プリント】 信頼性工学で大事なエッセンスをテキストにまとめました。必読です！

プレミアムテキストP9～10の
【信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布)】
で確認ください。

★理解するポイント

下図のように、

となります。

ここで、χ2乗分布の確率密度関数
\(f(t,n)\)=\(\frac{1}{2^{n/2} Γ(n/2)} t^{n/2 -1} e^{-t/2}\)
に対して、
\(t=2λx\),\(n=2m\)と変換すると
\(f(2λx,2m)\)= \(\frac{1}{2^{m} Γ(m)} (2λx)^{m -1} e^{-λx}\)
=\(\frac{λ^{m-1}}{2Γ(m)} λ^{m-1} e^{-λx}\)
=\(\frac{1}{2λ} g(x)\)
(ここで\(g(x)\)はガンマ分布の確率密度関数)
となります。

ここで、変数\(x\)を総時間\(T\)に、
指数関数の場合の MTBF=\(\frac{1}{λ}\)の関係を代入すると、
\(f(2λx,2m)\)= \(\frac{1}{2λ} g(x)\)から
\(f(\frac{2T}{MTBF},2n)\)= \(\frac{1}{2λ} g(T)\)

よって、

この理由は簡単です。

これがわかれば、表を再掲しますが、随分、区間推定しやすくなったはずです。

でも、

と疑問に思いませんか？

その答えは、

★実務上はＯＫな理由

χ2乗分布の値の表をみると、
\(χ^2(2(n+1),α)\) > \(χ^2(2n,α)\)です。
この逆数を考えたら、大小関係がわかりますね。

でも、試験の時は、求められる公式が使えるかどうかを確かめているので、個別の公式を使ってください。

「【必読】MTBF,MTTFの点推定と推定区間の式がよくわかる」を解説しました。