「メジアンランク法がよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①確率Fは順序統計量から求める
- ➁メジアンランク法がわかる
- ➂メジアンランク法を解く
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【QC検定®合格】「信頼性工学」問題集を販売します！ ①QC検定®頻出問題、➁確率分布と順序統計量、➂各確率分布における故障率、➃点推定と区間推定、➄直列系、並列系、待機系、多数決系、⑥独立系と非独立系、⑦アベイラビリティ、⑧確率紙、⑨打切りデータ、⑩信頼性工学と抜取検査の組合せ、１０章全５４題。しっかり勉強しましょう。 |
①確率Fは順序統計量から求める
何で、小さい順にデータを並べるの？
正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね！
順序統計量の性質を活用するため
答えは
ところが、
「確率紙はデータを大きさ順に並び替えます(順序統計量という)」
くらいの一言で、
「\(F=\frac{i-0.3}{n+0.4}\)を使う」
といきなり式が出て来ますよね！
順序統計量って何？
でも試験には出題されないから、無視してワイブル確率紙を勉強しよう！となりがち
ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。
順序統計量の復習
順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。
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順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。 |
式を理解する重要なポイント
データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
(ここで、何で？ とツッコんでください！ 順序統計量だな！と読みましょう！)
\(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
の各母集団が下図のように分布しているとして、
\(F_i\)が\(F\)～\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、
式が難解なので、イメージを解説すると、
の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。
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の式が、メジアンランク法やミーンランク法の出発点です！
試験やテストなら無視でもいいけど、
実務で活用するなら順序統計量の学びは必須です。
ＱＣ（品質管理）の数理は結構、順序統計量が出て来ます。
➁メジアンランク法がわかる
基本は、
0から平均値(ミーン)とする方法が「ミーンランク法」です。
今回は、「メジアンランク法」を解説します。
計算方法
基本は、
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF \)
(左辺)のP=0.5は確率が\(\frac{1}{2}\)で、
(右辺)の\(\tilde{F}\)はメディアンです。
を解いてみよう！
。。。
と言って、手で解析的に解けないんです。。。
なので、結果は教科書とかで与えらえています。
がよく見かけますね！
でも、
自分で導出できない公式は使うな！
ひょっとしたら、公式が間違っているかもしれませんよね！
部分的に、ある条件なら、手計算で解けます。
手で計算して、
感触をつかもう！
公式の理解度も一気に上がるし、公式の導出過程においた仮定や、強み・弱みも理解できます。
➂メジアンランク法を解く
i=1,nだけは解析的に解ける
i=1のとき、
0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(1-1)!(n-1)!} F^{1-1}(1-F)^{n-1}dF \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} n (1-F)^{n-1}dF \)
=\(\left[(-1) (1-F)^{n} \right]_{0}^{\tilde{F}}\)
=1- \((1- \tilde{F})^{n}\)
つまり、
0.5=1- \((1- \tilde{F})^{n}\)
\((1- \tilde{F})^{n}\)=0.5
\(\tilde{F}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
まとめると、
\(\tilde{F}^{n}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
i=nのとき、
0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(n-1)!(n-n)!} F^{n-1}(1-F)^{n-n}dF \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} n F^{n-1}dF \)
=\(\left[F^{n} \right]_{0}^{\tilde{F}}\)
=\(\tilde{F}^{n}\)
つまり、
0.5=\(\tilde{F}^{n}\)
\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
まとめると、
\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
グラフを描いてみよう
●i=nのとき、\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
をグラフに描いてみましょう。
i=1,n以外はミーンランク法を使って計算していますが、
式の形は妥当か？
●i=nのとき、\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
よく見ると、
\(\tilde{F}\)=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
と式の形が違いますね。
ミ―ンランク法\(\bar{F}\)=\(\frac{i}{n+1}\)の
式に合わせて近似式を作っているように思われます。
まとめ
「メジアンランク法がよくわかる」を解説しました。
- ①確率Fは順序統計量から求める
- ➁メジアンランク法がわかる
- ➂メジアンランク法を解く
