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  【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)

  

  「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

  こういう疑問に答えます。

  本記事のテーマ

  条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)

  • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
  • ➁例題と条件付き確率
  • ➂条件付き期待値
  • ➃条件付き分散がわかる

QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

本記事でばっちりおさえましょう。

①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁例題と条件付き確率

例題

2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
\(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
\(f_X(x)\)=\(\frac{1}{4}(x+1)\)
\(f_Y(y)\)=\(\frac{1}{2}(1+2y)\)
で表されている。
(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y²|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。

全盛りです。１つずつ解いていきましょう。大丈夫です。

条件付き確率

(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

条件付き確率

まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから
\(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)となります。代入すると
\(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)=\(\frac{x+2y}{x+1}\)

なお、逆に\(f_{X|Y}(x|y)\)なら、
\(f_{X|Y}(x|y)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)=\(\frac{x+2y}{2(1+2y)}\)
となります。機械的に代入すればOKですね。

➂条件付き期待値

「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y²|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

条件付き期待値の計算

●E(Y|X)、E(Y²|X)を計算します。

●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)で計算します。yで積分します。

●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)
=\(\int_0^1 y \frac{x+2y}{x+1} dy\)
=\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
=\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{2}+\frac{2}{3})\)
=\(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)

つぎに、E(Y²|X)ですが、
\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)から
\(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)に変えて積分します。

●E(Y²|X)= \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)
=\(\int_0^1 y^2 \frac{x+2y}{x+1} dy\)
=\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{3} y^3 +\frac{1}{2} y^4 \right]_0^1\)
=\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{3}+\frac{1}{2})\)
=\(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)

条件付きの期待値の特徴

上のE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

これは、実は問題ありません。
離散系の問いでE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y²|X)そのものの値ではなく、
E(Y|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
E(Y²|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
ことになります。連続型の場合は関数で表現することに相当します。

重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

●E(Y)= \(\int_0^1 y f_Y(y)dy\)
=\(\frac{1}{2}\int_0^1 y (1+2y) dy\)
=\(\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
=\(\frac{7}{12}\)
でした。

では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
E(*)=∫ (*) f(★) で計算すればよいです。

なお、E(＊) の中「＊」はE(Y|X)= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\) とxの式なので、f(★)の★はxで考えます。

E(E(Y|X))= \(\int_0^2 E(Y|X) f_X(x)dx\)
=\(\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4}(x+1) dx\)
=\(\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx \)
=\(\frac{1}{24}\left[ \frac{3}{2} x^2 + 4x \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{24} 14\)
=\(\frac{7}{12}\)
=E(Y)
と一致しましたね。

➃条件付き分散がわかる

「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

条件付き分散の計算

●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
V[X]=E[X²]-E[X]²
でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

V(Y|X)= E[Y²|X]-E[Y|X]²
です。X²⇒Y²|Xに注意します。
実は、
E[Y²|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)
E[Y|X]= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)
とすでに計算済ですから、そのまま計算できます。よって
V[Y|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)- \((\frac{3x+4}{6(x+1)})^2\)
=\(\frac{6(x+1)(2x+3)-(3x+4)^2}{36(x+1)^2}\)
=\(\frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2)\)
とxの関数として出て来ました。

●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
E(V(Y|X))= \(\int_0^2 V(Y|X) f_X(x)dx\)
=\(\int_0^2 \frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2) \frac{1}{4}(x+1) dx\)
=\(\frac{1}{144} \int_0^2 \frac{3x^2+6x+2}{x+1} dx \)
=\(\frac{1}{144} \int_0^2 (3(x+1)-\frac{1}{x+1}) dx \)
積分すると
=\(\frac{1}{144}\left[ \frac{3}{2}(x+1)^2 -log|x+1| \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
となります。計算が合っているか、ちょっと心配になりますね。大丈夫です。どんどん突き進みましょう。

●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
V(E(Y|X))=E(E(Y|X)²)-E(E(Y|X)) ²
=\(\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{36(x+1)^2} \frac{1}{4} (x+1)dx\)
-\((\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4} (x+1)dx)^2\)
=\(\frac{1}{144 }\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{x+1} dx\) -\((\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx)^2\)

=\(\frac{1}{144}\int_0^2 (9(x+1)+6+\frac{1}{x+1}dx\) -\(\frac{1}{576}(\left[ \frac{3}{2}x^2 +4x \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{144}(36+12+log3 \) -\(\frac{196}{576}\)
=\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)
となります。随分計算が大変でした。

全分散の公式の確認

2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
を確認しましょう。

●V(Y)は関連記事ですでに計算済です。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

V(Y)=\(\frac{11}{144}\)ですね。

●全分散の公式の(右辺)を合算します。
V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
=\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)+\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
=\(\frac{11}{144}\)
=V(Y)
と一致します。

●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

まとめ

条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)をわかりやすく解説しました。

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁例題と条件付き確率
• ➂条件付き期待値
• ➃条件付き分散がわかる

サンプリング