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  • 【必読】品質不正からの名誉挽回方法がわかる

    【必読】品質不正からの名誉挽回方法がわかる

    「品質不正って批判して蹴落として終わりだけど、どうやって名誉挽回するのかわからない」と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】品質不正からの名誉挽回方法がわかる
    • ①経営理念を見直す
    • ➁トップを見直す
    • ➂経営戦略を見直す
    • ➃組織風土を見直す
    • ➄変な自信や慢心を見直す
    • ⑥規定類・ルールを見直す
    • ⑦監査の目を厳しくする
    • ⑧まとめ

    品質不正問題の演習問題を販売します！

    品質不正問題が後を絶ちません。正しく深くその組織の深部までとらえられるための品質不正を解く問題集を作成しました。

    批判、蹴落として終わりな記事ばかりって、世の中おかしい！
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    品質不正した部門だけ是正・修正しても意味が無い！
    組織全体を見直さないと根本原因が除去できない！

    ●そこで、次の7つを見直す必要があります。1つずつ解説します。

    1. 経営理念を見直す
    2. トップを見直す
    3. 経営戦略を見直す
    4. 組織風土を見直す
    5. 変な自信や慢心を見直す
    6. 規定類・ルールを見直す
    7. 監査の目を厳しくする

    ①経営理念を見直す

    薄っぺらい言葉である経営理念を見直す価値はあるの？
    あります！

    数行に過ぎない経営理念ですが、
    その会社・組織の考え、生き方、そこで働く人たちの価値観が詰まっています。
    また、利害関係者も必ず見るものです。

    経営理念は最上位概念である理由がここにあります。

    なので、品質不正から立ち直る、姿勢や本気度を見せるためにも、経営理念を見直すべきです。

    ➁トップを見直す

    こんなトップは下して、経営陣の血を入れ替えましょう。

    1. 伝説・権力のために、無茶な圧力を組織にかけるトップ
    2. 腐った組織風土で勝ち上がってきたトップ

    前者は意外と多いです。
    安定した企業なら、小学生が社長でも経営できますよ！　それが憎くなる！　だから無茶して伝説化したいんでしょう。

    企業・組織はトップのためのものではなく、社会のためにあると心得るべきです。

    意外と腐った組織でも、うまく出世していく曲者がいます。
    それがトップに上がると、現状維持にしたいし
    それが自分にとって有利なんだから。
    でもそれでは困ります。

    そんなトップを入れ替えないと組織の血は濁ったままです。
    血を入れ替えた後はもっと大事です。

    改革への姿勢・本気も組織内に見せるべきです。メール・動画など何度も発信しないと、組織内の人達への心に届きません。

    1. トップを見直す
    2. トップから改革を始める
    3. 本気で改革する姿勢を何度も見せること

    ➂経営戦略を見直す

    トップが腐っている原因もありますが、無茶な戦略や中計を立てていませんか？

    品質不正で信頼がた落ちなので、誰も期待しません。それを逆手に、
    身の丈に合った目標に見直しましょう。

    モノ言う株主やマスコミの批判もありますが、自分たちがしっかり信頼を取り戻せる計画を立て直す時期です。

    ➃組織風土を見直す

    ①➁➂はトップの改革の話をしましたが、組織内のネチネチした腐った風土を改革しないと、組織内の人達がうまく改革の効果を引き出してくれません。

    また、品質不正がバレる前からの腐った組織風土や上下関係は、改革後も継続されがちです。

    思い切って、膿を出し切りましょう。

    腐った組織風土あるあるを列挙します。

    腐った組織風土あるある

    1. 顧客より上司への叱責が恐ろしい
    2. 上司の指示・命令は絶対！
    3. 上司の機嫌取りが重要！
    4. 上の報告や横展開のために過剰な会議やすり合わせがある
    5. 失敗したら叱責で怖い
    6. 公のルールより、組織内にある暗黙のルールがたくさんある
    7. 言ったもん負け、言ったとおりやっておけ！
    8. 同調圧力
    9. 上司が可愛がる無責任な奴ほど出世する
    10. 過去からこのやり方でやってきたんだから、別にいいじゃん！
    11. 顧客が困っていないなら大丈夫
    12. 人員配置が固定で、組織が閉鎖的、周囲は嫌いな奴ばかり
    13. 業務方法が明文化せず、先輩の背中を見て真似する
    14. 自分たちは優れているから、自己ルールで何が悪い！
    15. 敵は外(顧客)ではなく、内(社内)

    どの組織にも絶対ある、腐った風土ですが、中間管理職、担当員が一丸となって、意識改革しないと、トップだけ入れ替えても、品質不正は撲滅できません。

    担当者は、自分の組織のルールで動くし、それが不正でダメ！なんて思っていませんよ。今までそれで飯を食ってきたし、周囲もやってるから、俺だけわるいのはなぜ？と思いますよね。

    上の腐ったあるあるの改善策は「⑧まとめ」にあります。

    ➄変な自信や慢心を見直す

    ●よく、「不正が30年前からあった」と驚愕する事実があります。

    何で昔から不正していたの？
    何で、今までバレずに、今バレたの?

    不思議ですよね。この理由は簡単です

    社内の試験合否条件が厳しいため、不正があっても外では問題がなかった。
    しかし、
    (i)社会の要求レベルの向上
    (ii)自社のレベルの低下
    (iii)コンプライアンス強化
    によって、バレやすく、公表しないとヤバい状況になった。

    もともとは、JISなどの規格や、顧客要求より高いレベルで社内合否判定条件を作ります。それによって、変な自信や慢心が出ます。しかし、技術力が徐々に低下している状況を見落としていながら、慢心して検査する状況が現在増えています。

    人口も下がり、多様性を許容し、産業の多角化が進んだ現代社会です。高い能力を持った技術者が過去と同じくらい手に入る時代ではありません。当然、

    過去からの当たり前が、当たり前ではなくなっている状況に陥っているが、現場は気が付かないことが多々あります。

    過去では不正していても、問題ないレベルだったのが、現在では、問題になるレベルまで落ちていることがあります。

    自社の技術力は低下していると思え！

    ⑥規定類・ルールを見直す

    あるあるを挙げます

    1. ルール化していない、暗黙のルールがたくさんある
    2. コミュ障な人が担当する業務が属人化している
    3. 使いにくいツールが多く、ミスしやすい
    4. ツールの管理方法などのすり合わせで時間がかかりまくる

    「まさに、自分の職場やん！」とツッコみたい「あるある」です。

    ルールの明確化と、使いやすいツールの運営を考えたいですよね。

    こういう管理部門の業務って、基本雑用なので、優秀なリソースが付きませんが、そのツールで利益を稼ぐライン部門が毎日不平不満を言いながら、ツールを使っているのが現実です。

    ⑦監査の目を厳しくする

    ●内外への説明責任として、監査の目を厳しくせざるを得ません。

    だからと言って、外部からの監査だけ実施しても、品質不正の撲滅はしきれません。やはり、組織風土や人の意識改革、環境整備が必須です。

    ⑧まとめ

    ①～⑦の解説をまとめて表にします。腐った組織を改革し、品質不正の温床を撲滅する方法をまとめます。参考ください。

    すぐできる策はない！
    １つずつ地道に改善していくしかない！

    改善っていうのは、すぐにはできず、日々の努力の積み重ねです。でもその苦労が、元の悪い状態に戻さなくするためにも必要なのです。

    – 不正原因 挽回策
    理念 ー ⇒ 会社が生まれ変わる姿勢を
    内外に示す
    トップ 自分が伝説になりたいから、
    ムリを課している    		 ⇒ 社会への責任を果たすべき
    形だけ、威張っている ⇒ ●隗より始めよ！
    本気で改革する姿勢
    （通知、動画等で社員に何度も説明）
    経営
    戦略    		 ●ムリな目標を押し付けている
    ●苛政は虎より猛し（顧客より上司が怖い）    		 ⇒ 目標の見直し
    (社内外への説明責任を果たす）
    組織
    風土    		 上の指示は絶対！ ⇒ Noと言える風土
    ●上の機嫌のお伺いが必須
    (上司の御機嫌取りのための過剰な会議で担当・現場の不正がわからない)    		 ⇒ ものが言える風土
    失敗は叱責のもと ⇒ 失敗を許容する風土
    公のルールより、暗黙のルール ⇒ 組織の風通し、ルールの運営強化
    ●言ったもん負け、やるだけ無駄
    ●同調圧力
    （変な提案するとお叱りを受ける）
    ●言われた通りやっておけばいいし    		 ⇒ ●提案を評価する姿勢
    ●部下が上司に相談しやすい環境
    ●無責任な奴ほど上司に
    可愛がられ出世する
    ●ゴマすり、ヨイショ、ご機嫌取り    		 ⇒ 提案を評価する姿勢
    部下が上司に相談しやすい環境
    ●基本、思考停止状態
    ●言われた通りやっておけ！    		 ●提案を評価する姿勢
    ●いつまでも勝ち続けられない危機感を持つ
    ●バレなければ大丈夫
    ●上司も周りだって過去
    同じことやってたんだから
    いいじゃん！    		 ⇒ 品質マインド醸成、教育
    ●配置が固定化して、組織が閉鎖的
    ●周囲は嫌いな人ばかりで
    会話にならない    		 ⇒ 人事異動による交流活性化
    ー ⇒ 品質不正を忘れさせない教育
    慢心 社内検査の方が厳しいから大丈夫 ⇒ 実力は年々低下していると思え！
    顧客に迷惑かけてないから
    自己流検査でOK    		 ⇒ ●正しい業務の再認識
    ●技術者レベルは低下の危機感
    自社の高い技術力だから大丈夫 ⇒ ●資格要な技術者の育成、
    試験員の育成への対応
    規定類 ●あいまいな業務指示
    ●暗黙のルール
    ●ルールは服従という思考    		 ⇒ ●ルールの明確化
    ●ルールは作るもの　
    ツール ●複雑で使いにくいツールが蔓延
    ●使い方を質問したいが、
    嫌いな奴だから聞きたくない
    ●暗黙のルール、
    自己流のルールで対応化    		 ⇒ ●使いやすいツール
    ●ツールの統合化
    ●簡単に使えるツールへ
    監査 ー ⇒ 第三者監査強化
    ●形だけの内部監査
    ●本社の御機嫌取りな監査    		 ⇒ 社内監査強化
    QMSのPDCAしか
    見ない外部審査    		 ⇒ ISO再認証

    品質不正記事は、批判と貶して終わりなものが多いですが、本来はどうやって改善して品質不正を撲滅できる組織体にするかが一番大事です。QCプラネッツはその改善策を提示し、品質不正から信頼を取り戻そうと必死に戦う皆様を心から応援しています！

    頑張っている皆は偉い！

    まとめ

    【必読】品質不正からの名誉挽回方法を解説しました。

    • ①経営理念を見直す
    • ➁トップを見直す
    • ➂経営戦略を見直す
    • ➃組織風土を見直す
    • ➄変な自信や慢心を見直す
    • ⑥規定類・ルールを見直す
    • ⑦監査の目を厳しくする
    • ⑧まとめ

  • 【必読】全分散の公式の導出がわかる

    【必読】全分散の公式の導出がわかる

    「全分散の公式の導出がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】全分散の公式の導出がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁事前に読んでおくべき関連記事
    • ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
    • ➃全分散の導出

QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

本記事でばっちりおさえましょう。

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①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

この式は何なの？
何でこんな難しい式なの？
覚えられない。。。

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

  1. 条件付き確率
  2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
  3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
  4. 条件付き確率の期待値・分散
  5. 全分散の公式の導出
  6. ２段サンプリングの分散の公式導出
１つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

公式暗記・代入だけでは意味不明！

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

  1. 条件付き確率
  2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
  3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
  4. 条件付き確率の期待値・分散
  5. 全分散の公式の導出
  6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁事前に読んでおくべき関連記事

●いきなり、全分散の公式を理解しようとすると、挫折します。そこで、具体事例の計算過程を一回読んでから、公式導出するとかなり身近な式になります。

関連記事でおさえておくべきポイント

  1. E(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
  2. E(E(Y|X))の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  3. E(Y2|X)に慣れておく
  4. V(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
  5. E(V(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  6. V(E(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  7. 全分散の公式が成り立つ計算過程

全分散の公式を含めて、条件つき期待値、条件つき分散を網羅して解説しています。

離散型(数列)で解く場合（本記事も数列版で全分散の公式を導出します。）

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)
条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

連続型(積分)で解く場合

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)
条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

では、一般化して公式導出に入ります。

➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出

導出

文字式でさっと書いていきます。

E(E(Y|X=xi))
=\(\sum_{i} (E(Y|X=x_i))f_{xi}\)
=\(\sum_{i}(\sum_{j} y_j f_{Y|X}(y_i|x_i)) f_{xi}\)

ここで、\(y_j\)を前に出して、fを整理します。
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f_{Y|X}(y_i|x_i) f_{xi})\)
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)
=\(\sum_{j} y_j f_Y(y_j)\)
=E(Y)
となります。

ここで、１つわかりにくいポイントがあります。
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
になぜ変わるのか？です。

式だけではわかりにくいので、上の関連記事の事例を使って、具体的な数字を使って計算します。

実例で詳細に解説

結果的に、
(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

関連記事の例題から具体的な値で比較しましょう。
E(E(Y|X))の値は下表のようにまとめる事ができます。

x/y ①
y1		 ➁
\(f_{xi,y1}\)		 ➂
y2		 ➃
\(f_{xi,y2}\)		 ➄
y3		 ⑥
\(f_{xi,y3}\)		 ⑦
\(f_{xi}\)		 ⑧
計
x1 [1 ×\(\frac{1}{2}\) +2 ×\(\frac{1}{4}\) +3 ×\(\frac{1}{4}\)] ×\(\frac{1}{2}\) =\(\frac{7}{8}\)
x2 [1 ×\(\frac{1}{4}\) +2 ×\(\frac{1}{4}\) +3 ×\(\frac{1}{2}\)] ×\(\frac{1}{2}\) =\(\frac{7}{9}\)
– – – – – – – 計 E[Y]= 2

上の表の⑧は
⑧＝[①×➁＋➂×➃＋⑤×⑥]×⑦
で計算して、
E[E[Y|X]]=E[Y]
を計算してます。

なお、E[Y]の求め方は、下表通りです。

x/y ①
y1		 ➁
\(f_y(y1)\)		 ➂
y2		 ➃
\(f_{y}(y2)\)		 ➄
y3		 ⑥
\(f_y(y3)\)		 ⑧
計
x1 [1 ×\(\frac{3}{8}\) +2 ×\(\frac{2}{8}\) +3 ×\(\frac{3}{8}\)] =2

上の2つの表を比較すると、

x/y ➁
\(f_{xi,y1}\)		 ➃
\(f_{xi,y2}\)		 ⑥
\(f_{xi,y3}\)
x1 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\)
x2 \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
⇊ ⇊ ⇊ ⇊
x/y ➁
\(f_y(y1)\)		 ➃
\(f_{y}(y2)\)		 ⑥
\(f_y(y3)\)
x1 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\)

確かに、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

ここまで細かく解説するのは、ＱＣプラネッツだけですね。

➃全分散の導出

V(Y|X)の導出

機械的に、
V(Y)=E(Y2)-E(Y) 2
ですから、

V(Y|X) =E(Y2|X)-E(Y|X) 2
です。

E(V(Y|X),V(E(Y|X))の導出

●V(Y|X)の期待値E(V(Y|X)ですが、
E(V(Y|X)
=E(E(Y2|X)-E(Y|X) 2)
= E(E(Y2|X))-E(E(Y|X) 2)

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、
E(Y|X)⇒E(Y2|X)と見ると、

E(E(Y2|X))=E(Y2)です。あら、不思議！

よって、
E(V(Y|X)= E(Y2)- E(E(Y|X) 2) …(式1)

●次に、E(Y|X)の分散V(E(Y|X)) ですが、
V(E(Y|X))
=E(E(Y|X) 2)-(E(E(Y|X)))2

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、

よって、
V(E(Y|X))=E(E(Y|X) 2)-(E(Y))2…(式2)

全分散の導出

(式１)+(式2)より、下の色部分がキャンセルされます。
E(V(Y|X))= E(Y2)-E(E(Y|X) 2) …(式1)
V(E(Y|X))= E(E(Y|X) 2)-(E(Y))2…(式2)

よって、
E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))= E(Y2)–(E(Y))2=V(Y)
が成り立ちます。

全分散の公式
V(Y)= E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))

が導出できました。

まとめ

全分散の公式の導出をわかりやすく解説しました。

  • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
  • ➁事前に読んでおくべき関連記事
  • ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
  • ➃全分散の導出

  • 【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)

    【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)

    「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

    QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

    条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

    本記事でばっちりおさえましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁例題と条件付き確率

    例題

    関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
    (2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
    (3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。

    期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

    条件付き確率

    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

    条件付き確率

    まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

    ●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから、例えば、
    P(Y=1|X=1)=(2/8)/(1/2)=1/4です。同様に全部計算すると、次の表になります。機械的に計算しましょう。

    P(Y|X) Y=1 Y=2 Y=3 計
    P(Y|X=1) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
    P(Y|X=2) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{2}\) \(\frac{1}{1}\)

    ➂条件付き期待値

    「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き期待値の計算

    ●E(Y|X)、E(Y2|X)を計算します。

    ●E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i)\)で計算します。yで加算しますが、個々のXの値について期待値を計算します。

    ●E(Y|X=1)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=1)\)
    =\(1×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{7}{4}\)

    ●E(Y|X=2)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=2)\)
    =\(1×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{9}{4}\)

    つぎに、E(Y2|X)ですが、
    E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i\))から
    E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=i)\)に変えて加算します。

    ●E(Y2|X=1)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=1)\)
    =\(1^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{15}{4}\)

    ●E(Y 2|X=2)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=2)\)
    =\(1^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{23}{4}\)

    条件付きの期待値の特徴

    上のE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

    E(Y|X=i)、E(Y2|X=i)と
    X=iの個々の値が出るから

    これは、実は問題ありません。
    連続系の問いでE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y2|X)そのものの値ではなく、
    関数になります。

    重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

    ●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

    ●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●E(Y)自体は非常に簡単で、
    E(Y)=1×\(\frac{3}{8}\)+2×\(\frac{2}{8}\)+3×\(\frac{3}{8}\)=2
    でした。

    では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

    E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
    E(*)=∑ (*) f(★) で計算すればよいです。

    E(E(Y|X))=\(\sum_{i=1}^{2} E(Y|X) f_Y(y_i)\)
    =\(\frac{7}{4}・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}\)
    =2
    と一致しましたね。

    ➃条件付き分散がわかる

    「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き分散の計算

    ●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

    ●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
    V[X]=E[X2]-E[X]2
    でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

    V(Y|X=i)= E[Y2|X=i]-E[Y|X=i]2
    です。X2⇒Y2|Xに注意します。
    実は、
    E[Y2|X=i]とE[Y|X=i]は計算済です。

    V(Y|X=1)= E[Y2|X=1]-E[Y|X=1]2
    =\(\frac{15}{4}-(\frac{7}{4})^2\)
    =\(\frac{11}{16}\)

    V(Y|X=2)= E[Y2|X=2]-E[Y|X=2]2
    =\(\frac{23}{4}-(\frac{9}{4})^2\)
    =\(\frac{11}{16}\)

    ●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

    ●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。Y|XはX=iごとに計算していきます。
    E(V(Y|X=i)) = \(\sum_{i} V(Y|X=i) f_X(x=i)\)
    =\(\frac{11}{16}・\frac{1}{2}+\frac{11}{16}・\frac{1}{2}\)
    =\(\frac{11}{16}\)

    ●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
    V(E(Y|X))=E(E(Y|X)2)-E(E(Y|X)) 2
    =\(\sum_{i} E(Y|X)^2 f_X(x=i)\)- \((\sum_{i} E(Y|X) f_X(x=i))^2\)
    =[\((\frac{7}{4})^2・\frac{1}{2}+(\frac{9}{4})^2・\frac{1}{2}\)]
    -\([\frac{7}{4})・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}]^2\)
    =\(\frac{1}{16}\)

    となります。随分計算が大変でした。

    全分散の公式の確認

    2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

    V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    を確認しましょう。

    関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●全分散の公式の(右辺)を合算します。
    V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    =\(\frac{11}{16}+\frac{1}{16}\)
    =\(\frac{3}{4}\)
    =V(Y)
    と一致します。

    ●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

    重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

    まとめ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

  • 【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)

    【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)

    「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

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    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

    条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

    本記事でばっちりおさえましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁例題と条件付き確率

    例題

    2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
    \(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
    \(f_X(x)\)=\(\frac{1}{4}(x+1)\)
    \(f_Y(y)\)=\(\frac{1}{2}(1+2y)\)
    で表されている。
    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
    (2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
    (3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。

    全盛りです。１つずつ解いていきましょう。大丈夫です。

    条件付き確率

    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

    条件付き確率

    まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

    ●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから
    \(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)となります。代入すると
    \(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)=\(\frac{x+2y}{x+1}\)

    なお、逆に\(f_{X|Y}(x|y)\)なら、
    \(f_{X|Y}(x|y)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)=\(\frac{x+2y}{2(1+2y)}\)
    となります。機械的に代入すればOKですね。

    ➂条件付き期待値

    「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き期待値の計算

    ●E(Y|X)、E(Y2|X)を計算します。

    ●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)で計算します。yで積分します。

    ●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)
    =\(\int_0^1 y \frac{x+2y}{x+1} dy\)
    =\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
    =\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{2}+\frac{2}{3})\)
    =\(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)

    つぎに、E(Y2|X)ですが、
    \(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)から
    \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)に変えて積分します。

    ●E(Y2|X)= \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)
    =\(\int_0^1 y^2 \frac{x+2y}{x+1} dy\)
    =\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{3} y^3 +\frac{1}{2} y^4 \right]_0^1\)
    =\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{3}+\frac{1}{2})\)
    =\(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)

    条件付きの期待値の特徴

    上のE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

    値ではなく、関数の式で出て来るから

    これは、実は問題ありません。
    離散系の問いでE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y2|X)そのものの値ではなく、
    E(Y|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
    E(Y2|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
    ことになります。連続型の場合は関数で表現することに相当します。

    重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

    ●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

    ●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●E(Y)= \(\int_0^1 y f_Y(y)dy\)
    =\(\frac{1}{2}\int_0^1 y (1+2y) dy\)
    =\(\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
    =\(\frac{7}{12}\)
    でした。

    では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

    E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
    E(*)=∫ (*) f(★) で計算すればよいです。

    なお、E(＊) の中「＊」はE(Y|X)= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\) とxの式なので、f(★)の★はxで考えます。

    E(E(Y|X))= \(\int_0^2 E(Y|X) f_X(x)dx\)
    =\(\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4}(x+1) dx\)
    =\(\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx \)
    =\(\frac{1}{24}\left[ \frac{3}{2} x^2 + 4x \right]_0^2\)
    =\(\frac{1}{24} 14\)
    =\(\frac{7}{12}\)
    =E(Y)
    と一致しましたね。

    ➃条件付き分散がわかる

    「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き分散の計算

    ●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

    ●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
    V[X]=E[X2]-E[X]2
    でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

    V(Y|X)= E[Y2|X]-E[Y|X]2
    です。X2⇒Y2|Xに注意します。
    実は、
    E[Y2|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)
    E[Y|X]= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)
    とすでに計算済ですから、そのまま計算できます。よって
    V[Y|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)- \((\frac{3x+4}{6(x+1)})^2\)
    =\(\frac{6(x+1)(2x+3)-(3x+4)^2}{36(x+1)^2}\)
    =\(\frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2)\)
    とxの関数として出て来ました。

    ●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

    ●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
    E(V(Y|X))= \(\int_0^2 V(Y|X) f_X(x)dx\)
    =\(\int_0^2 \frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2) \frac{1}{4}(x+1) dx\)
    =\(\frac{1}{144} \int_0^2 \frac{3x^2+6x+2}{x+1} dx \)
    =\(\frac{1}{144} \int_0^2 (3(x+1)-\frac{1}{x+1}) dx \)
    積分すると
    =\(\frac{1}{144}\left[ \frac{3}{2}(x+1)^2 -log|x+1| \right]_0^2\)
    =\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
    となります。計算が合っているか、ちょっと心配になりますね。大丈夫です。どんどん突き進みましょう。

    ●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
    V(E(Y|X))=E(E(Y|X)2)-E(E(Y|X)) 2
    =\(\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{36(x+1)^2} \frac{1}{4} (x+1)dx\)
    -\((\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4} (x+1)dx)^2\)
    =\(\frac{1}{144 }\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{x+1} dx\) -\((\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx)^2\)

    =\(\frac{1}{144}\int_0^2 (9(x+1)+6+\frac{1}{x+1}dx\) -\(\frac{1}{576}(\left[ \frac{3}{2}x^2 +4x \right]_0^2\)
    =\(\frac{1}{144}(36+12+log3 \) -\(\frac{196}{576}\)
    =\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)
    となります。随分計算が大変でした。

    全分散の公式の確認

    2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

    V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    を確認しましょう。

    ●V(Y)は関連記事ですでに計算済です。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    V(Y)=\(\frac{11}{144}\)ですね。

    ●全分散の公式の(右辺)を合算します。
    V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    =\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)+\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
    =\(\frac{11}{144}\)
    =V(Y)
    と一致します。

    ●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

    重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

    まとめ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

  • 【必読】ミス・トラブル・不正を堂々出せる環境を作れ！

    【必読】ミス・トラブル・不正を堂々出せる環境を作れ！

    「ミス・トラブル・不正を言うと恐ろしいくらい怒られるから、報告したくないけど、どうしようか？」と困っていませんか？。

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】ミス・トラブル・不正を堂々出せる組織環境を作れ！
    • ①あなたが所属する組織はミスを報告しやすいですか？
    • ➁本来、トラブル・ミス・不正は心理的に出したくないもの
    • ➂失敗を堂々と情報共有できる環境を作る事が大切
    品質不正に対する正しいマインドを身に着けよう！

    品質不正問題の演習問題を販売します！

    品質不正問題が後を絶ちません。正しく深くその組織の深部までとらえられるための品質不正を解く問題集を作成しました。

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    まず、関連記事にて、品質不正に対する正しいマインドを確認しましょう。

    【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】
    品質不正の報道が出たら、その相手を叩こうとしていませんか？本記事では品質不正に対する正しいマインドを解説します。厳しい競争にさらされつつ、挑戦する社会では、失敗もつきものですよ。失敗をある程度許容して、反省して成功につなげやすいマインドが 必須です。

    品質不正は隠さず！出しましょう！
    品質不正は必ずバレます。
    バレてからの方がキツイ。。。
    【必読】品質不正を隠すべきでない理由がわかる
    品質不正を隠すべきでない理由がわかりますか。本記事では品質不正を隠すとかなりヤバいことをわかりやすく解説します。隠そうとせず、きちっと明らかにして、不正を改善する姿勢が社会は強く求めている時代になっています。

    ①あなたが所属する組織はミスを報告しやすいですか？

    上司、上層部の反応

    ●リスクの無い仕事はありません。リスクは不確定要素なものや危険なものすべてですが、他社ができないから自社のあなたに仕事があるわけです。他社ができないものをやっている以上、リスクは必ず潜んでいます。

    そのリスクによって、ミス・トラブル・不正が発生します。

    上司や周囲に相談しやすい環境ですか？
    ●ありのままを報告・相談できる⇒ＯＫ！
    ●報告・相談すると怒られる⇒ヤバいですよ！

    上司、上層部の反応によって、ありのままを言える心理的環境がないと、不正・隠ぺい・改ざんが職場に絶対起きています。ヤバい！

    組織のルール・規定類の構築度

    ●上司、上層部がすぐに怒り、真実が言えない環境がある組織では、
    組織のルール・規定類が未熟だったり、成熟してても運用されていない可能性があります。

    組織運用を構築するルール・規定類・会議等が腐敗していないかも大事です。
    組織運用が適正であれば、上司、上層部が適正に報告・相談に乗る可能性が高いです。

    報告しやすい環境か？

    ●荒さがしばかりする同僚や上司ばかりか？
    ●組織運用が適正か？
    ●叱責が多い職場か？
    ●規定などのルールを守る人が多いか？　正しい仕事を先輩・上司から習いやすい環境か？

    報告しやすい環境でないと、倫理観が高い人でもその組織に入ると不正に手を出してしまいます。

    あなたの職場は大丈夫ですか？

    ➁本来、トラブル・ミス・不正は心理的に出したくないもの

    ●トラブル例の紹介、是正処置報告書、なぜなぜ分析、などが当たり前にできて、上層部へ報告して、真因を見抜いて再発・未然防止しようとする姿勢がある職場は素晴らしいです。

    でも、この当たり前に組織が機能するのは難しいです！

    なぜか、わかりますか？

    ミス等は、本来、言いにくいものですよね。
    1. 表に出してほしくないことばかり
    2. 恥ずかしいから
    3. 叱られるのは嫌だ
    4. 品質会議は有罪判決裁判
    5. 隠せるなら、無かったことにして逃げたい

    表に出してほしくないことばかり

    職場で、こんなことありませんか？

    1. ルール無視した我流のやり方でやっている
    2. うるさい上司のチェックを交わすための都合のよいまとめ方がある
    3. 正しい仕事ややり方を身に着けていない、教える先輩がいない

    組織で決まったルールや規定が未熟な場合もあるし、
    成熟したルールや規定があっても、面倒なので無視したやり方が主流となっているとかありませんか？

    あと、指摘が細かすぎる上司がいて、なかなか仕事が進まないから、事実をうまく調整して上司の承認が通りやすく変えたり等、してませんか？

    どれも、表に出しにくい暗黙のルールや空気感が職場にあると、品質不正の温床につながります。

    恥ずかしいから

    そんなこともできないの？
    そんなミスしてんのか？　ありえんぞ！
    俺が担当の時はこんなミスしたことないぞ！

    と、威圧的に叱責されたり、馬鹿にされると、心が折れますよね。

    ミス、失敗って、ネガティブだから、言いたくないですよ。

    叱られるのは嫌だ

    ●ミスしたら、上司のところに行くと、ため息がつきますよね。

    上司、上層部にきつく叱られる
    何で、そんなミスするのか？
    俺の時はそんなミスしなかったぞ！
    基本がなってない！

    と、解決手段や手助けはなく、怒られるだけ。

    はあ、やってらんない。。。会社辞めようか？と転職サイトを眺めるオチ

    ありありですよね。

    品質会議は有罪判決裁判化しやすい

    この会議嫌ですよ！　トラブル報告者は、被告人扱いで有罪判決で収監行きな心情に追い込まれますよ。

    1. 上司の説教場となりやすい
    2. みんな怒る上司側につき、誰も弁護しない
    3. ありのままを報告すると絶対炎上する

    　

    こんな会議、やってらんないよと!　やらされ感～

    品質会議ってどこの会社・組織にもありますが、実際どうですか？　怒られるだけの会議になっていませんか？　これじゃ、怒らせないように内容を改ざんして報告するに決まっていますよ。

    こんな会議で何が改善できるんだ？？　思考停止状態ですよ

    隠せるなら、無かったことにして逃げたい

    ●普通、やらかしたら、「逃げたい」し、「無かったことにしたい」となるのが人間です。

    ●やらかした時の、その後の恐怖があれば、
    ・隠す
    ・改ざんする
    ・逃げる
    になるに、決まっているじゃないですか？

    ミス・不正をありのまま出せる環境でなければ、絶対不正が起こります。ここまで読めば、不正する理由がよくわかるはず。

    ➂失敗を堂々と情報共有できる環境を作る事が大切

    失敗を報告したら褒める
    環境が絶対に必要なんです！
    1. 報告の受け手は叱ってはいけない
    2. 叱責より、トラブルの真因を考える思考・環境をつくる
    3. トラブルが起きたら、淡々と事実を書き残す仕組みをつくる
    4. 自分事として情報共有が再発・未然防止に役立つ

    報告の受け手は叱ってはいけない

    ●上司、上層部の人は必須です。

    腹が立つかもしれないが、怒っていけない！
    トップこそ、「怒らないから真実をそのまま出してくれ！」「よくぞ、出してくれた！」と褒めよう。

    報告が適格だったおかげで、会社・組織がより改善できたと褒めることが大事です。こうなれば、部下も、「言っても大丈夫なんだ」と安心して、事実を報告するようになります。

    しばらくすると、トラブル発生したら、「ヤバい！隠せ！」ではなく、「客観的事実をメモしろ！」と変わる。

    そして、真因を考える習慣が組織にできると、なぜ発生したかを考える習慣ができます。これが理想的で、品質不正の温床リスクが低い状態と言えます。

    失敗経験のない人をトップに置くな！

    これ、結構重要です！

    おれも主任時代にやったなあ。。。

    という経験があると、当事者意識も高くなるし、部下をかばう心理も生まれます。逆にすべて完璧にノーミスで評価されてあがった人がトップになると、ヤバいです。

    おれはこんなミスしなかったけど、なんでこんなにできないの？

    と徐々に怒りがたまっていくからです。

    失敗っていやだけど、失敗経験が豊富な人を上にする組織は健全な経営をしやすい

    私の会社の経営陣の人って、過去にやらかしたことを笑い話しますね。
    でも、それが大事なんですよ。

    上司として、同じ経験にハマった部下をかばうし、距離が縮まる。
    部下も上司との心理的につながり、互いに言いやすい環境ができる。

    ミスしない、エリートは、逆説的ですが、品質不正につながります。

    叱責より、トラブルの真因を考える環境を見守る

    「なぜミスった？」　
    怒りの矛先⇒真意を考える問いへ変えましょう。

    心理的安心が組織・職場で担保できれば、部下、当事者も怒られる怖さが無くなり、真実を出して真因を知ろうとなります。

    これがＰＤＣＡサイクルで回ると、トラブルの是正から再発・未然防止につながります。健全な組織運営に役立ちます。

    どんな小さなミスでも、堂々と報告できる環境を作る

    確かに、トラブルの原因にも、電圧を間違えたとか、図面を見てなかったとか、普通怒られてもおかしくない報告もありますが、「ダメじゃん」とバカにせず、「自分の業務ならどこで起こり得るか」を考える思考ができる環境になることが大事です。

    1. 叱責は不正の温床
    2. トップ自ら褒める姿勢が大事
    3. 失敗＝左遷とならない評価制度も必要
    4. 怒りの元気があるなら、その真因を考える思考に使え！
    5. どんな些細なことでも、自分事としてとらえることが再発・未然防止につながる
    6. 品質不正が発生しにくい健全な組織運営につながる

    当たり前だけど、結構難しいし、品質不正が起きる会社は、心理的安全が欠けている可能性があります。

    あなたの職場は大丈夫ですか？

    まとめ

    【必読】ミス・トラブル・不正を堂々出せる組織環境を作れ！を解説しました。

    • ①あなたが所属する組織はミスを報告しやすいですか？
    • ➁本来、トラブル・ミス・不正は心理的に出したくないもの
    • ➂失敗を堂々と情報共有できる環境を作る事が大切

  • 【必読】品質不正を隠すべきでない理由がわかる

    【必読】品質不正を隠すべきでない理由がわかる

    「品質不正がわかったらどうしたらいいの？、見なかったことにしたいけど。。。」と困っていませんか？。

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】品質不正を隠すべきでない理由がわかる
    • ①本当に倒産するから
    • ➁隠しきれないから
    • ➂巨額の賠償金による倒産リスクが増大

    品質不正問題の演習問題を販売します！

    品質不正問題が後を絶ちません。正しく深くその組織の深部までとらえられるための品質不正を解く問題集を作成しました。

    品質不正に対する正しいマインドを身に着けよう！

    まず、関連記事にて、品質不正に対する正しいマインドを確認しましょう。

    【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】
    品質不正の報道が出たら、その相手を叩こうとしていませんか？本記事では品質不正に対する正しいマインドを解説します。厳しい競争にさらされつつ、挑戦する社会では、失敗もつきものですよ。失敗をある程度許容して、反省して成功につなげやすいマインドが 必須です。

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    品質不正は隠さず！出しましょう！
    品質不正は必ずバレます。
    バレてからの方がキツイ。。。

    ①本当に倒産するから

    雪印乳業の教訓

    ●品質不正を解説するにあたり、教訓として最初に学ぶべき事件は、

    2000年に発生した雪印集団食中毒事件

    私もよく覚えています。

    1. 初動対応の遅さで、被害者が増加
    2. 事故の隠ぺい
    3. 牛乳製品の自己回収の先延ばし
    4. 社長の逆切れ発言

    その結果、

    主力の雪印乳業工場が閉鎖
    「雪印」のブランドの信用は完全失墜

    そこからの信頼回復までは相当の茨の道だったでしょう。

    ほんの20年前までは、なあなあで済んだことも多かった

    ●2020年代の今から振り返ると、すべて残念な対応ですよね。

    でも、20年前は雪印くらいの対応はちょっと下手な対応くらいで
    なあなあで済んでいた品質不正事例も当時たくさんあったはず。

    ●自分の出世に響くのが怖いから、事故・不良の隠ぺい・改ざん
    ●重大トラブル対応も遅いのが当たり前
    ●「まさか、そこまでひどくならないだろう」という慢心
    ●人のうわさも７５日。時間が解決するという他人事
    が普通だった時代ではないでしょうか？

    社会が企業・組織に対して厳しくなっている

    それが、2000年頃から社会が企業・組織に対して厳しくなってきたという時期に、雪印の不正が大きな社会問題になってしまいました。

    確かに、
    ●1994年のＰＬ法制定による製造責任の厳格化
    ●米国三菱のセクハラ訴訟による多額の賠償額事例によるハラスメント防止の風潮
    ●グローバル化、多様化社会への拡張
    など、社会が厳しく目を向ける時代になっています。

    今、雪印乳業のような対応する企業は、社会から抹殺されます。

    厳しい時代になりましたが、高いマインドを醸成して社会に貢献することが求められています。

    ➁隠しきれないから

    情報ツールが豊富にある

    ●2000年頃は、インターネットも普及しており、情報の拡散が一気に広がっていきました。雪印乳業もその影響を少なからず受けたはずです。

    ●現在はどうでしょうか？　SNSが一気に普及していますよね。いつでもどこでも、だれもが発信できるフリーすぎる時代です。

    おれ、品質不正実施、ナウ

    とか、つぶやくと、世界中に広まってしまいますよ。

    王様の耳はロバの耳と漏らす穴がいっぱいあるのが今の時代です。

    隠ぺいできない環境に変わっていますよ。

    内部通報制度も充実

    ●企業・組織の内部通報制度も充実しており、これによる不正発覚が多いですよね。

    個人で不正事実や隠ぺい事実を抱え込んでも、誰かがバラすことが簡単にできますよ。

    だったら、わかった時点で、明るみにした方がよいですよね。

    トラブル、事故、不正などは
    初動対応の良し悪しによって、その後の影響が大きく変わってきます。

    ➂巨額の賠償金による倒産リスクが増大

    米国の巨額の賠償金がこわい

    2017年に発覚した、自動車部品大手のタカタの欠陥エアバッグ問題では、米国からの巨額の賠償金などで、債権額なんと35兆円となり、経営破綻しました。

    そりゃ、30兆円も賠償金が出たら、いくら優良企業でもつぶれますよね。

    ●特に、米国のような集団訴訟化しやすい地域では、わずかな事故でも、とんでもない額に膨れ上がることが多々あります。また、初動対応のまずさ、不正、隠ぺいがバレると、そこを見て懲罰的金額になるリスクが一気に上がります。

    米国と関わりのある会社では、何度も注意するよう教育しているはずです。

    グローバル化

    ●中には、「自社は国内だけ販売しているから大丈夫」というところもあるでしょう。

    しかし、材料・調達品、エンドユーザーがグローバル化によって海外で使われることが必ずあります。

    つまり、世界のどこかで、自社の製品によるトラブルが起きてもおかしくない社会になっています。

    米国に関係有無関係なく、どこかで不正やトラブルがあると自社へ襲い掛かってくるリスクがいつでも発生しています。
    昔や上司は、うまく隠し通せた！
    でも時代が変わっています！
    堂々と、明らかにしましょう。
    むしろ不正を改善する方向が大事なのです！

    まとめ

    【必読】品質不正を隠すべきでない理由を解説しました。

    • ①本当に倒産するから
    • ➁隠しきれないから
    • ➂巨額の賠償金による倒産リスクが増大

  • 同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２　連続系の場合)

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２　連続系の場合)

    「同時確率分布の分散、共分散の導出がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合(その１で解説)
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

    QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第3弾として「同時確率分布の分散、共分散の導出」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合(その１で解説)

    ●まず、わかりやすい「離散型」の場合で、数列∑を使った計算を解説します。関連記事で確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    本記事は、（その１）より難し目なので、まず（その１）を読んでから、本記事を読み進めてください。

    ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

    ●「連続型」の場合で、積分を使った計算を解説します。

    例題

    2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
    \(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
    で表されている。
    (1)X,Yの周辺確率密度関数\(f_X(x)\), \(f_Y(y)\)を求めよ。
    (2)期待値E[X]、E[Y]、E[X+Y]、E[XY]を求めよ。
    (3)分散V[X]、V[Y]、共分散Cov[X,Y]を求めよ。

    (1)は関連記事で解説済なので、そちらで確認しましょう。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    本記事は、(2)(3)を解説します。

    解法に必要な公式集

    連続系の場合の期待値と分散の解法に慣れるために必要な公式集をまとめます。以下の式を使って、解いていきます。なお、離散系の場合は∫を∑に変えればOKです。

    期待値の公式

    ●E[X]=\(\int_0^2 xf_X(x)dx\)
    ●E[Y]=\(\int_0^1 yf_Y(y)dy\)
    –
    ●E[X+Y]=E[X]+E[Y]
    または、
    ●E[X+Y]=\(\int_0^2 \int_0^1 (x+y)f(x,y)dydx\)
    –
    ●E[XY]=\(\int_0^2 \int_0^1 xyf(x,y)dydx\)
    (E[XY]とE[X]E[Y]が一致しない場合もあるので注意！)

    分散の公式

    ●E[X2]=\(\int_0^2 x^2 f_X(x)dx\)
    ●E[Y2]=\(\int_0^1 y^2 f_Y(y)dy\)
    –
    ●V[X]=E[X2]-E[X]2
    ●V[Y]=E[Y2]-E[Y]2
    –
    ●Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]

    解法(期待値)

    (2)期待値E[X]、E[Y]、E[X+Y]、E[XY]を求めよ。

    では、解いていきましょう。

    E[X]の解法

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 xf_X(x) dx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 x(x+1) dx \\
    &= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \right]_0^2 dx\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{7}{6}\)
    となります。

    E[Y]の解法

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^1 yf_Y(y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \int_0^1 y(1+2y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^2}{2}+\frac{2y^3}{3} \right]_0^1 dy\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{7}{12}\)
    となります。

    E[X+Y]の解法

    E[X+Y]=E[X]+E[Y]=\(\frac{7}{4}\)

    この解法でもいいですが、せっかくなので積分からでも算出しましょう。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 \int_0^1 (x+y)f(x,y)dydx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 \int_0^1 (x+y)(x+2y)dydx \\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{7}{4}\)
    となります。
    (途中経過は計算してみてください)

    積分の計算の詳細はここをご覧ください。

    E[XY]の解法

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 \int_0^1 xyf(x,y)dydx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 \int_0^1 xy(x+2y)dydx \\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{2}{3}\)
    となります。
    (途中経過は計算してみてください)

    積分の計算の詳細はここをご覧ください。

    期待値をまとめると、
    E[X]=7/6、E[Y]=7/12、E[X+Y]=7/4、E[XY]=2/3
    となります。

    また、
    E[X+Y]= E[X]+ E[Y]　は成り立ちますが、
    E[XY]= E[X] E[Y]　は成り立ちません。
    X,Yは互いに独立ではないからですね。

    解法(分散)

    (3)分散V[X]、V[Y]、共分散Cov[X,Y]を求めよ。

    V[X]の解法

    ●ここで、分散V[X]の式をおさえましょう。
    まず、E[X2]が必要です。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 x^2 f_X(x) dx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 x^2 (x+1) dx \\
    &= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3} \right]_0^2 dx\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{5}{3}\)
    となります。

    よって、
    V[X]=E[X2]-E[X]2
    =\(\frac{5}{3}\)-\((\frac{7}{6})^2\)
    =11/36

    V[Y]の解法

    ●ここで、分散V[Y]の式をおさえましょう。
    まず、E[Y2]が必要です。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^1 y^2 f_Y(y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \int_0^1 y^2 (1+2y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^3}{3}+\frac{y^4}{2} \right]_0^1 dy\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{5}{12}\)
    となります。

    よって、
    V[Y]=E[Y2]-E[Y]2
    =\(\frac{5}{12}\)-\((\frac{7}{12})^2\)
    =11/144

    共分散COV[X,Y]の解法

    ●ここで、共分散COV[X,Y]の式をおさえましょう。
    COV[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]
    =\(\frac{2}{3}\)-\(\frac{7}{6}\)・\(\frac{7}{12}\)
    =\(\frac{-1}{72}\)

    ちょっと難しいですが、解き方は１パターンなので、何度も復習しましょう。

    積分の計算の詳細はここをご覧ください。

    分散をまとめると、
    V[X]=11/36、V[Y]=11/144、Cov[X,Y]=-1/72
    となります。

    連続系は、ひたすら積分すればOKです。

    まとめ

    同時確率分布の分散、共分散の導出をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合(その１で解説)
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

  • 同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１　離散系の場合)

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１　離散系の場合)

    「同時確率分布の分散、共分散の導出がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合(その２で解説)

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    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第3弾として「同時確率分布の分散、共分散の導出」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合

    ●まず、わかりやすい「離散型」の場合で、数列∑を使った計算を解説します。

    例題

    ●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    (1)期待値E[X],E[Y],E[X+Y],E[XY]を求めよ。
    (2)分散V[X],V[Y],共分散COV[X,Y]を求めよ。

    期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

    解法に必要な公式集

    離散系の場合の期待値と分散の解法に慣れるために必要な公式集をまとめます。以下の式を使って、解いていきます。なお、連続系の場合は∑を∫に変えればOKです。

    期待値の公式

    ●E[X]=∑X・Pr(X)
    ●E[Y]=∑X・Pr(Y)
    ●E[X+Y]=∑(X+Y)・Pr(X+Y)
    ●E[XY]=∑XY・Pr(XY)

    分散の公式

    ●V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]
    ●V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]
    ●COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]
    ●Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]

    解法(期待値)

    (1)期待値E[X],E[Y],E[X+Y],E[XY]を求めよ。

    では、解いていきましょう。

    E[X]の解法

    表から、X=1の確率が1/2、X=2の確率が1/2ですから期待値は、
    E[X]=1×1/2+2×1/2=3/2

    簡単ですね！

    E[Y]の解法

    表から、Y=1の確率が3/8、Y=2の確率が2/8、Y=3の確率が3/8ですから期待値は、
    E[Y]=1×3/8+2×2/8+3×3/8=2

    簡単ですね！

    E[X+Y]の解法

    X+Yの場合について下表を追加しましょう。

    X/Y 1 2 3
    1 X+Y=2 X+Y=3 X+Y=4
    \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\)
    2 X+Y=3 X+Y=4 X+Y=5
    \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\)

    表から、
    X+Y=2の確率が2/8、
    X+Y=3の確率が2/8、
    X+Y=4の確率が2/8、
    X+Y=5の確率が2/8
    ですから期待値は、
    E[X+Y]=2×2/8+3×2/8+4×2/8+5×2/8=3.5

    表を追加すれば簡単ですね！

    E[XY]の解法

    同様にXYの場合について下表を追加しましょう。

    X/Y 1 2 3
    1 XY=1 XY=2 XY=3
    – \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\)
    2 XY=2 XY=4 XY=6
    – \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\)

    表から、
    XY=1の確率が2/8、
    XY=2の確率が2/8、
    XY=3の確率が1/8、
    XY=4の確率が1/8、
    XY=6の確率が2/8
    ですから期待値は、
    E[XY]=1×2/8+2×2/8+3×1/8+4×1/8+6×2/8=25/8

    表を追加すれば簡単ですね！

    期待値をまとめると、
    E[X]=3/2、E[Y]=2、E[X+Y]=3.5、E[XY]=25/8
    となります。

    また、
    E[X+Y]= E[X]+ E[Y]　は成り立ちますが、
    E[XY]= E[X] E[Y]　は成り立ちません。
    X,Yは互いに独立ではないからですね。

    解法(分散)

    (2)分散V[X],V[Y],共分散COV[X,Y]を求めよ。

    V[X]の解法

    ●ここで、分散V[X]の式をおさえましょう。
    V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]
    ですね。

    次に、Xの平均\(μ_X\)を求めましょう。
    平均\(μ_X\)はX=1,2の平均ですから3/2ですね。

    表から、X=1の確率が1/2、X=2の確率が1/2ですから分散は、

    V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]=E[\((X-1.5)^2\)]
    =\((1-1.5)^2\)×1/2+\((2-1.5)^2\)×1/2
    =1/4

    ちょっと難しいですね。

    V[Y]の解法

    ●ここで、分散V[Y]の式をおさえましょう。
    V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]
    ですね。

    次に、Yの平均\(μ_Y\)を求めましょう。
    平均\(μ_Y\)はY=1,2,3の平均ですから2ですね。

    表から、Y=1の確率が3/8、Y=2の確率が2/8、Y=3の確率が3/8ですから分散は、

    V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]=E[\((Y-2)^2\)]
    =\((1-2)^2\)×3/8+\((2-2)^2\)×2/8+\((3-2)^2\)×3/8
    =3/4

    ちょっと難しいですね。

    共分散COV[X,Y]の解法

    ●ここで、共分散COV[X,Y]の式をおさえましょう。
    COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]
    ですね。

    共分散は、
    COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]= E[\((X-1.5)(Y-2)\)]
    =(1-1.5)(1-2)×2/8+(1-1.5)(2-2)×1/8+(1-1.5)(3-2)×1/8+
    (2-1.5)(1-2)×1/8+(2-1.5)(2-2)×1/8+(2-1.5)(3-2)×2/8
    =1/8

    なお、共分散Cov[X,Y]はもう１つ公式があり、
    Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]
    1/8=25/8-3/2・3
    が成り立ちます。

    ちょっと難しいですが、解き方は１パターンなので、何度も復習しましょう。

    分散をまとめると、
    V[X]=1/4、V[Y]=3/4、Cov[X,Y]=1/8
    となります。

    離散系で使った公式一覧

    ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

    その２の記事で解説します。

    まとめ

    同時確率分布の分散、共分散の導出をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合(その２で解説)

  • 【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】

    【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】

    「品質不正への正しいマインドがわからない、批判すればいいの？」と困っていませんか？。

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】
    • ①品質不正を打ち明けた相手を褒めて応援しよう！
    • ➁対岸の火事ではない！
    • ➂「失敗は成功のもと」につなげよう！

    品質不正問題の演習問題を販売します！

    品質不正問題が後を絶ちません。正しく深くその組織の深部までとらえられるための品質不正を解く問題集を作成しました。

    批判、貶し（けなし）、悪者扱い、排除は絶対NG！
    もうあかん！変わらないとダメだ！と覚悟を決めた相手を
    「よくぞ！言ってくれた！」と褒めましょう！

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    ①品質不正を打ち明けた企業・組織を褒めよう！

    批判して、けなしても何の価値も生まない

    ニュース、記事、You tube動画などで、専門家や専門家っぽい人が、品質不正報告書の部分を批判して、再生回数を稼ぐことをやっていますが、

    批判して、けなしても何の価値も生みません。
    悪者にして、怒りの矛先にするのは簡単ですが、悲しいだけです。
    そんな報道して、何か価値ができるんでしょうか？

    不正を打ち明けて変わろうとする決意を評価しよう！

    むしろ、自らの過ちを外に出して、膿を出し切り、変わろうとする姿勢を評価しませんか？

    叩かれる覚悟を決めて背水の陣で挑む姿を褒めるべき
    逃げも隠れもしない覚悟を褒めよう！
    「よくぞ！言ってくれた！」と褒めよう！

    くらいの、マインドが欲しい。

    いい時は一切褒めないのに、
    都合の悪いときだけ叩く社会は
    どこかおかしい。。。

    失敗や過ちをある程度許す社会でないと辛いよ！

    ●たしかに、コンプライアンス強化は大事ですが、自分の首を絞めている方向に行くのは良くありません。

    過剰品質
    無理なQCDの要求
    で自滅するリスクもあります。

    その一方で、コンプライアンスがちょっと緩い、海外の新興組の勢いでゲームチェンジされて、コンプライアンス強化した我々がビジネス敗退するケースも多々あります。

    それから、

    失敗や過ちを吐き出しやすい社会も大事!

    そうでないと自分を傷つけることになる!!

    ちょっと、しんどすぎない？

    ➁対岸の火事ではない！

    相手を叩いたり、批判するのは、不毛です。なぜなら、

    明日は我が身だから。。。

    明日は我が身でもある

    ●品質不正や会計不正などはどこでも発生しうることです。

    自分は大丈夫？　なわけがない

    防災意識向上と同じですね。

    同業他社が品質不正したなら尚更、自社も起こり得る

    っていうか、もう自社でも不正があると思っていた方がいい。まだ、品質不正と公にする程度でないだけのことですよ。きっと。

    自分のところでは、品質不正が起きないと証明できない限り、発生すると思っておく方が良い

    人の振り見て我が振り直せ

    自分事として他社・他組織の品質不正問題を考えるべき!です。

    「競合他社が落ち込んだ！、ざまーみろ！」ではありません。明日は自分に襲い掛かるよ！と思うべき。

    他社の状況や品質不正報告書を読みながら、自社と他社の類似点や相違点を客観的に理解して、自社の状況を確認に注力しましょう。

    ➂「失敗は成功のもと」につなげよう！

    改革できる絶好のチャンス！

    ●不正の真因分析をして再発・未然防止できたら、その企業・組織が大きく改革できる絶好のチャンスにつながります！

    ●その企業を取り巻く内外の過剰な圧力の撤廃
    ●組織の流動性の飛躍的な向上
    ●膿を出し切り、隠すものが何もないすっきりした状態での再出発
    がその企業・組織にもう一度生まれ変わるチャンスにつながります。

    起きてしまった失敗は仕方がない
    失敗を成功につなぐ努力とそれを応援しよう！

    数少ない企業・組織の問題点抽出や分析ができるチャンス

    ●企業や組織を改革するのは至難の技で、異常事態まで陥らないと、メスを入れる事ができません。なので、会計や品質不正などの異常事態こそ、数少ない企業・組織を一気に改革するしかありません。

    自分の組織にも品質不正が起こる条件を考えて未然防止できる

    ●批判する暇があるなら、生まれ変わろうとする他社を見て、自社にもできることはないかを考えましょう。

    人の振り見て我が振り直せ

    ●当然、自社の改革も至難の技ですよね。でも、

    ○○社が品質不正でやばくなったので、うちもそうなる前に改革しよう！と言えば、普段よりは改革が進む可能性が高まります。

    日頃から品質不正などの不祥事事例を分析しておこう

    ●品質不正はあまり出てほしくないけど、

    1. 企業・組織の構造・風土の問題点がわかる好機
    2. 他社を見て自社を振り返る好機
    3. その企業・組織がとりまくビジネス特性の問題がわかる好機

    など、他人事であれば、得られるエッセンスはたくさんあります。

    ●批判厳禁、許そう！
    ●人の振り見て我が振り直せ
    ●失敗は成功のもとを信じよう！

    ●精神論ですが、このマインドが日本社会には必要です。

    品質不正の事例を取り上げ、その原因を品質・経営・心理など多面的に分析した内容をQCプラネッツで解説しますが、その根幹となるマインドは本記事のとおりです。

    QCプラネッツは、品質不正から立ち直る仲間を応援します！
    がんばりましょう！

    まとめ

    【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】
    を解説しました。

    • ①品質不正を打ち明けた相手を褒めて応援しよう！
    • ➁対岸の火事ではない！
    • ➂「失敗は成功のもと」につなげよう！

  • ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる

    「２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）とは
    • ➂離散型確率分布の場合
    • ➃連続型確率分布の場合

    QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    ➃連続型確率分布の場合が最も大事なので、最後まで読んでください。
    これを理解しないと、サンプリングの分散が理解できなくなります。
    [themoneytizer id=”105233-2″]

    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入するだけの問題がよくあります。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    ➁２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる

    第2弾として「２変数の確率分布関数」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ２変数の確率分布関数とは

    ●簡単にいうと、2変数(x,y)が同時に起こる確率を分布関数にしたものです。
    確率分布関数は
    \(f(x,y)\)
    で表現します。

    ●これだけなので、簡単ですね。
    徐々に複雑になっていきますが、簡単に解説していきます。

    2変数が完全に独立している場合

    なお、2変数の確率分布で、頭が混乱しがちになるのは、

    2変数が互いに独立している場合と、そうでない場合の区別がつきにくい

    です。

    ●式で書くと、
    \(f(x,y)\)=\(g(x)\)×\(h(y)\)
    と表現できます。2変数x,yは互いに独立しているので、同時確率は単純に積でよいとなります。

    ●これだけなので、簡単ですね。
    徐々に複雑になっていきますが、簡単に解説していきます。

    ●以下、例題を使って、解説しますが、よく混乱するポイントなので、読んでください。全分散の公式の導出などで、よく使う式ですが、不慣れでパニックになるところです。

    例題でおさえておくポイント

    1. 離散型の例で、2変数が互いに独立している場合を理解する
    2. 連続型の例で、X,Yそれぞれの周辺確率密度関数の求め方を理解する

    この2点をあやふやにすると、応用が利きません。。。

    ➂離散型確率分布の場合

    次の３つの例題を挙げます。２変数の確率分布の特徴に慣れましょう。

    1. 例題1(2変数が互いに独立していない例)
    2. 例題2(2変数が互いに独立してそうな例)
    3. 例題3(2変数が完全に独立している例)
    違いを理解しましょう。

    例題1(2変数が互いに独立していない例)

    2変数が互いに独立していない、交互に影響する例を下表に挙げます。これは中学数学レベルなので安心してください。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    ●以下の確率を計算してみましょう。
    (1) P(X=2,Y=3)
    (2) P(X=1)
    (3) P(Y=3)
    これは簡単ですよね。ビビらないでください。

    ●答えは、表に書いていますよね。

    例題2(2変数が互いに独立してそうな例)

    例題1と同じ表ですが、値を若干変えます。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    ●ここでポイントなのは、
    どのi(i=1,2),j(j=1,2,3)に対して、
    Pr(X=i,Y=j)=Pr(X=i)×Pr(Y=j)
    が成り立ちます。

    この状態は、

    2変数が互いに独立している

    と言えます。

    例題3(2変数が完全に独立している例)

    例題2は確かに完全に独立していますが、Ｘ，Ｙに関係する表があると、独立しているかどうかをいちいち確認する必要があります。

    本来、独立しているわけですから、下表の方が、独立していることがはっきりしてわかりやすいです。

    X 1 2 計
    Pr \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\) 1

    Y 1 2 3 計
    Pr \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    別表にまとめると、独立感がありますよね。これくらいＸ，Ｙを切り離して考えましょう。

    ➃連続型確率分布の場合

    積分が複雑だけど、１つずつ見れば理解できます！

    ●離散型は簡単ですが、連続型になると難しく感じます。その理由は以下です。

    1. ∑が積分に変わる
    2. Xの確率分布関数を求めるのに、Ｙで積分が必要なのが理解しにくい
    3. 計算結果がイメージしにくい
    4. 二重積分に不慣れで難しい

    難しくなりますが、１つずつ記事を読み進めていけば理解できます。大丈夫です！

    例題

    2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
    \(f(x,y)=k(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
    で表されている。
    (1) kを求めよ。
    (2)Xの周辺確率密度関数\(f_X(x)\)を求めよ。
    (3)Yの周辺確率密度関数\(f_Y(y)\)を求めよ。

    １つずつ解説します。慣れてましょう！

    解法

    ●(1)は、早速二重積分ですが、x,yについて、２回積分すればＯＫです。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^1 \int_0^2 f(x,y)dxdy
    &= \int_0^2 \left[ xy+y^2 \right]_0^1 dx\\
    &= \int_0^2 (x+1) dx
    &= \left[ \frac{1}{2}x^2+x \right]_0^2\\
    &= 4\\
    \end{eqnarray}\)

    確率密度関数の全積分は1なので、k=\(\frac{1}{4}\)となります。

    ●(2)これがわかりにくい。Xなので、xで積分したいが、そうではなく、yで積分します。

    さっきの、離散型で考えると、Pr(X=1)を計算するときは、Pr(X=1)に相当するYの確率の和を下図のように計算しますよね。離散型は「和」で、連続型は「積分」となるイメージで理解しましょう。

    確率密度関数

    よって、

    \(\begin{eqnarray}
    \frac{1}{4} \int_0^1 (x+2y) dy
    &= \frac{1}{4} \left[ xy+y^2 \right]_0^1 dx\\
    &= \frac{1}{4} (x+1)\\
    \end{eqnarray}\)

    となります。

    ●(3)同様に、Yなので、yで積分したいが、そうではなく、xで積分します。

    さっきの、離散型で考えると、Pr(Y=0)を計算するときは、Pr(Y=0)に相当するXの確率の和を下図のように計算しますよね。離散型は「和」で、連続型は「積分」となるイメージで理解しましょう。

    確率密度関数

    よって、

    \(\begin{eqnarray}
    \frac{1}{4} \int_0^2 (x+2y) dx
    &= \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}x^2+xy \right]_0^2 dx\\
    &= \frac{1}{2} (1+2y)\\
    \end{eqnarray}\)

    となります。

    ただ、困ったことに、元の確率密度関数と、X,Yの周辺確率密度関数の式を見ると、関係性がわかりません。
    ●元の確率密度関数：\(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\)
    ●Xの周辺確率密度関数：\(f_X(x)= \frac{1}{4} (x+1)\)
    ●Yの周辺確率密度関数：\(f_Y(x)= \frac{1}{2} (1+2y)\)

    これも、理解しにくい点ですが、積分で一発で出せる良さはあります。慣れましょう！

    まとめ

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）とは
    • ➂離散型確率分布の場合
    • ➃連続型確率分布の場合

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