ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる
「ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる
- ①累積ハザード法の基礎を理解する
- ➁ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
- ➂同じ問題をワイブル確率紙と累積ハザード法それぞれで解いてみる
- ➃打切りが無い場合は、両者は同等の結果になる
- ➄打切りが無い場合は、両者の結果に差が出る
累積ハザード法がわかると、
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは何か？
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違い何か？
がわからなくなるので解説します！
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは何か？
カプランマイヤー法と累積ハザード法の違い何か？
がわからなくなるので解説します！
①累積ハザード法の基礎を理解する
まずは、関連記事を読んでください。この記事をベースに本記事は解説しています。
 |
累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！ 累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？ 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
➁ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
違いは何か？
図のように同じような確率紙を使って、パラメータの値を求めます。
違いはわかりますか？
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いは打切りデータを考慮できるかどうかの違い
つまり、
打切りデータが無い場合は、ほぼ同じ結果になるが、
打切りデータが有る場合は、
ワイブル確率紙の方は、打切りしない（故障した）データとして扱い
累積ハザード法は打切りデータとして扱えるため、
ワイブル確率紙の方が厳し目の結果になってしまう。
ワイブル確率紙の方は、打切りしない（故障した）データとして扱い
累積ハザード法は打切りデータとして扱えるため、
ワイブル確率紙の方が厳し目の結果になってしまう。
という違いが出ます。
実際に例題を使って比較しましょう。
ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いをまとめた記事はＱＣプラネッツだけ！
➂同じ問題をワイブル確率紙と累積ハザード法それぞれで解いてみる
例題
関連記事にもある、例題を使ってみましょう。
| サンプル番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 時間t | 800 | 350 | 730 | 1770 | 390 |
| サンプル番号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 時間t | 110 | 100 | 160 | 940 | 320 |
| サンプル番号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 時間t | 40 | 190 | 590 | 1260 | 420 |
| サンプル番号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 時間t | 250 | 490 | 1060 | 290 | 630 |
【問】
上の表データを
(1)ワイブル確率紙
(2)累積ハザード法
それぞれの手法で、ワイブル分布にフィッティングした場合の定数を求めよ。
(注)
（ここで、ワイブル分布\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)において、
\(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)から
\(log(H(t)\)=\(m(log(t)-log(η))\)として
定数\(m\)、\(η\)を求めること
上の表データを
(1)ワイブル確率紙
(2)累積ハザード法
それぞれの手法で、ワイブル分布にフィッティングした場合の定数を求めよ。
(注)
（ここで、ワイブル分布\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)において、
\(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)から
\(log(H(t)\)=\(m(log(t)-log(η))\)として
定数\(m\)、\(η\)を求めること
手法、確率分布によらず、順序統計量に従って、データを小さい順に並べ替える
下表のようになります。これは、ワイブル確率紙、累積ハザード法両方とも同じです。
| サンプル番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 時間t | 40 | 100 | 110 | 160 | 190 |
| サンプル番号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 時間t | 250 | 290 | 320 | 350 | 390 |
| サンプル番号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 時間t | 420 | 490 | 590 | 630 | 730 |
| サンプル番号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 時間t | 800 | 940 | 1060 | 1260 | 1770 |
➃打切りが無い場合は、両者は同等の結果になる
まず、打切りが無い場合を解いてみましょう。
ワイブル確率紙
確率を順序統計量に従って、メディアンランク法から計算します。これについては、関連記事で確認ください。
 |
メジアンランク法がよくわかる メジアンランク法は説明できますか？ 本記事では順序統計量をベースにメジアンランク法をわかりやすく解説し、実際に解析しながら、公式の理解が深める事ができます。信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
確率F= \(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)という式をメディアンランク法から使いますが、公式の導出過程を関連記事で確認してください。
結果を表にまとめると、
| i | data | F=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\) | R=1-F | X(=log(data)) | Y(=ln(ln(1/R)) |
| 1 | 40 | 0.034 | 0.966 | 3.689 | -3.355 |
| 2 | 100 | 0.083 | 0.917 | 4.606 | -2.442 |
| 3 | 110 | 0.132 | 0.868 | 4.701 | -1.952 |
| 4 | 160 | 0.181 | 0.819 | 5.076 | -1.609 |
| 5 | 190 | 0.23 | 0.77 | 5.248 | -1.34 |
| 6 | 250 | 0.279 | 0.721 | 5.522 | -1.116 |
| 7 | 290 | 0.328 | 0.672 | 5.67 | -0.921 |
| 8 | 320 | 0.377 | 0.623 | 5.769 | -0.747 |
| 9 | 350 | 0.426 | 0.574 | 5.859 | -0.587 |
| 10 | 390 | 0.475 | 0.525 | 5.967 | -0.438 |
| 11 | 420 | 0.525 | 0.475 | 6.041 | -0.296 |
| 12 | 490 | 0.574 | 0.426 | 6.195 | -0.16 |
| 13 | 590 | 0.623 | 0.377 | 6.381 | -0.026 |
| 14 | 630 | 0.672 | 0.328 | 6.446 | 0.108 |
| 15 | 730 | 0.721 | 0.279 | 6.594 | 0.243 |
| 16 | 800 | 0.77 | 0.23 | 6.685 | 0.384 |
| 17 | 940 | 0.819 | 0.181 | 6.847 | 0.535 |
| 18 | 1060 | 0.868 | 0.132 | 6.967 | 0.704 |
| 19 | 1260 | 0.917 | 0.083 | 7.14 | 0.91 |
| 20 | 1770 | 0.966 | 0.034 | 7.48 | 1.216 |
ワイブル確率は、上表のX(=log(data))とY(=ln(ln(1/R))の直線グラフから定数\(m\)、\(η\)を求めます。グラフは下図になります。
結果は、
\(m\)=直線の傾きより=1.233
\(η\)=593.02
(\(η\)は y切片 \(m(log(η))\)=7.8706から算出)
となります。
累積ハザード法
|
累積ハザード法がよくわかるし、自分で作れる！ 累積ハザード法を使って、信頼度が計算できますか？ 本記事は、累積ハザード法を使ったワイブル分布のフィッティングをわかりやすく解説します。確率紙を使わずに、簡単なグラフから求めるコツを伝授します！ 信頼性工学を学ぶ人は必読です。 |
累積ハザードを計算すると、下表になります。
| 順位i (B) |
逆順位K=n-i+1 (n=20) (C) |
時間ti (D) |
打切り有無 ○⇒0 ×⇒1 |
不良率hi 1/(逆順位) ×100% (E) |
累積ハザード値Hi ∑hi (F) |
| 1 | 20 | 40 | 1 | 1/20 | 1/20=0.05 |
| 2 | 19 | 100 | 1 | 1/19 | 1/20+1/19=0.103 |
| 3 | 18 | 110 | 1 | 1/18 | 1/20+1/19+1/18 =0.158 |
| 4 | 17 | 160 | 1 | 1/17 | 0.217 |
| 5 | 16 | 190 | 1 | 1/16 | 0.28 |
| 6 | 15 | 250 | 1 | 1/15 | 0.346 |
| 7 | 14 | 290 | 1 | 1/14 | 0.418 |
| 8 | 13 | 320 | 1 | 1/13 | 0.495 |
| 9 | 12 | 350 | 1 | 1/12 | 0.578 |
| 10 | 11 | 390 | 1 | 1/11 | 0.669 |
| 11 | 10 | 420 | 1 | 1/10 | 0.769 |
| 12 | 9 | 490 | 1 | 1/9 | 0.88 |
| 13 | 8 | 590 | 1 | 1/8 | 1.005 |
| 14 | 7 | 630 | 1 | 1/7 | 1.148 |
| 15 | 6 | 730 | 1 | 1/6 | 1.314 |
| 16 | 5 | 800 | 1 | 1/5 | 1.514 |
| 17 | 4 | 940 | 1 | 1/4 | 1.764 |
| 18 | 3 | 1060 | 1 | 1/3 | 2.098 |
| 19 | 2 | 1260 | 1 | 1/2 | 2.598 |
| 20 | 1 | 1770 | 1 | 1/1 | 1/20+1/19+1/18 +…+1/2+1/1 =3.598 |
累積ハザード法を直線グラフにするために、上の表の色枠をつけた、時間log(ti)
と、累積ハザード値log(Hi)を使って、下表にまとめます。
| 順位i (B) |
t | H(t) | log(t) | log(H(t) |
| 1 | 800 | 0.05 | 3.689 | -2.996 |
| 2 | 350 | 0.103 | 4.606 | -2.277 |
| 3 | 730 | 0.158 | 4.701 | -1.844 |
| 4 | 1770 | 0.217 | 5.076 | -1.528 |
| 5 | 390 | 0.28 | 5.248 | -1.275 |
| 6 | 110 | 0.346 | 5.522 | -1.061 |
| 7 | 100 | 0.418 | 5.67 | -0.873 |
| 8 | 160 | 0.495 | 5.769 | -0.704 |
| 9 | 940 | 0.578 | 5.859 | -0.548 |
| 10 | 320 | 0.669 | 5.967 | -0.402 |
| 11 | 40 | 0.769 | 6.041 | -0.263 |
| 12 | 190 | 0.88 | 6.195 | -0.128 |
| 13 | 590 | 1.005 | 6.381 | 0.005 |
| 14 | 1260 | 1.148 | 6.446 | 0.138 |
| 15 | 420 | 1.314 | 6.594 | 0.273 |
| 16 | 250 | 1.514 | 6.685 | 0.415 |
| 17 | 490 | 1.764 | 6.847 | 0.568 |
| 18 | 1060 | 2.098 | 6.967 | 0.741 |
| 19 | 290 | 2.598 | 7.14 | 0.955 |
| 20 | 630 | 3.598 | 7.48 | 1.28 |
結果をグラフにまとめると
結果は、
\(m\)=直線の傾きより=1.173
\(η\)=580.24
(\(η\)は y切片 \(m(log(η)\))=7.4461から算出)
となります。
ワイブル確率紙と累積ハザード法を比較
結果は、
| ワイブル確率紙 | 累積ハザード法 | |
| \(m\) | 1.233 | 1.173 |
| \(η\) | 593.02 | 580.24 |
ワイブル確率紙でも累積ハザード法でもほぼ同じ結果が出ました！
グラフでも比較すると、
打切りデータが無い場合は、ほぼ同じ結果になることがわかりました。
では、次に、打切りデータが有る場合に、両者の結果に差が出るか確認しましょう。
➄打切りが無い場合は、両者の結果に差が出る
データに打切り有無を追加
関連記事にもある、例題を使ってみましょう。
未故障だったデータ、つまり打切りデータある場合は（○）
故障したデータ、つまり打切りしなかったデータは（×）と表記します。
故障したデータ、つまり打切りしなかったデータは（×）と表記します。
| サンプル番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 時間t | 800(○) | 350(×) | 730(×) | 1770(○) | 390(×) |
| サンプル番号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 時間t | 110(○) | 100(×) | 160(×) | 940(×) | 320(×) |
| サンプル番号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 時間t | 40(×) | 190(×) | 590(×) | 1260(○) | 420(×) |
| サンプル番号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 時間t | 250(×) | 490(×) | 1060(○) | 290(×) | 630(○) |
【問】
上の表データを
(1)ワイブル確率紙
(2)累積ハザード法
それぞれの手法で、ワイブル分布にフィッティングした場合の定数を求めよ。
(注)
（ここで、ワイブル分布\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)において、
\(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)から
\(log(H(t)\)=\(m(log(t)-log(η))\)として
定数\(m\)、\(η\)を求めること
上の表データを
(1)ワイブル確率紙
(2)累積ハザード法
それぞれの手法で、ワイブル分布にフィッティングした場合の定数を求めよ。
(注)
（ここで、ワイブル分布\(R(t)\)=\(exp^{-H(t)}\)において、
\(H(t)\)=\((\frac{t}{η})^m\)から
\(log(H(t)\)=\(m(log(t)-log(η))\)として
定数\(m\)、\(η\)を求めること
手法、確率分布によらず、順序統計量に従って、データを小さい順に並べ替える
これは、ワイブル確率紙、累積ハザード法両方とも同じで、打切りデータ有無に関係ありません。同じ表なので、割愛します。
< h3>ワイブル確率紙
ワイブル確率紙においては、打切りデータある場合の対処がないため、打切りデータが無い場合と同じ結果になります。
結果を表にまとめると、
ワイブル確率は、上表のX(=log(data))とY(=ln(ln(1/R))の直線グラフから定数\(m\)、\(η\)を求めます。グラフは下図になります。
結果は、
\(m\)=直線の傾きより=1.233
\(η\)=593.02
(\(η\)は y切片 \(m(log(η)\))=7.8706から算出)
となります。
累積ハザード法
累積ハザードを計算すると、下表になります。
| 順位i (B) |
逆順位K=n-i+1 (n=20) (C) |
時間ti (D) |
打切り有無 ○⇒0 ×⇒1 |
不良率hi 1/(逆順位) ×100% (E) |
累積ハザード値Hi ∑hi (F) |
| 1 | 20 | 40 | 0 | 0/20 | – |
| 2 | 19 | 100 | 1 | 1/19 | 0/20+1/19=0.053 |
| 3 | 18 | 110 | 1 | 1/18 | 0/20+1/19+1/18=0.108 |
| 4 | 17 | 160 | 0 | 0/17 | 0.108 |
| 5 | 16 | 190 | 1 | 1/16 | 0.171 |
| 6 | 15 | 250 | 0 | 0/15 | 0.171 |
| 7 | 14 | 290 | 1 | 1/14 | 0.242 |
| 8 | 13 | 320 | 1 | 1/13 | 0.319 |
| 9 | 12 | 350 | 1 | 1/12 | 0.402 |
| 10 | 11 | 390 | 1 | 1/11 | 0.493 |
| 11 | 10 | 420 | 1 | 1/10 | 0.593 |
| 12 | 9 | 490 | 1 | 1/9 | 0.704 |
| 13 | 8 | 590 | 1 | 1/8 | 0.829 |
| 14 | 7 | 630 | 0 | 0/7 | 0.829 |
| 15 | 6 | 730 | 1 | 1/6 | 0.996 |
| 16 | 5 | 800 | 1 | 1/5 | 1.196 |
| 17 | 4 | 940 | 1 | 1/4 | 1.446 |
| 18 | 3 | 1060 | 0 | 0/3 | 1.446 |
| 19 | 2 | 1260 | 1 | 1/2 | 1.946 |
| 20 | 1 | 1770 | 0 | 0/1 | 0/20+1/19+1/18+…+0/3+1/2+0/1=1.946 |
累積ハザード法を直線グラフにするために、上の表の色枠をつけた、時間log(ti)
と、累積ハザード値log(Hi)を使って、下表にまとめます。
ちなみに、打切り無しのデータを下表の右側にも参考で載せます。打切り有無でデータが変わっているのが分かりますね。
| log(t) | log(H(t) | log(H(t) (打切り無し) |
| 3.689 | – | -2.996 |
| 4.606 | -2.945 | -2.277 |
| 4.701 | -2.224 | -1.844 |
| 5.076 | -2.224 | -1.528 |
| 5.248 | -1.768 | -1.275 |
| 5.522 | -1.768 | -1.061 |
| 5.67 | -1.418 | -0.873 |
| 5.769 | -1.143 | -0.704 |
| 5.859 | -0.91 | -0.548 |
| 5.967 | -0.707 | -0.402 |
| 6.041 | -0.522 | -0.263 |
| 6.195 | -0.35 | -0.128 |
| 6.381 | -0.187 | 0.005 |
| 6.446 | -0.187 | 0.138 |
| 6.594 | -0.004 | 0.273 |
| 6.685 | 0.179 | 0.415 |
| 6.847 | 0.369 | 0.568 |
| 6.967 | 0.369 | 0.741 |
| 7.14 | 0.666 | 0.955 |
| 7.48 | 0.666 | 1.28 |
結果をグラフにまとめると
結果は、
\(m\)=直線の傾きより=0.7965
\(η\)=924.42
(\(η\)は y切片 \(m(log(η)\))=5.4401から算出)
となります。
ワイブル確率紙と累積ハザード法を比較
結果は、
| ワイブル確率紙 | 累積ハザード法 | |
| \(m\) | 1.233 | 0.7965 |
| \(η\) | 593.02 | 924.42 |
ワイブル確率紙でも累積ハザード法で、結果に差が出ました。
ｍは累積ハザード法の方が低くでました。
打切り有（未故障）データがあるので、寿命は長くなるはずだから、妥当な結果ですよね。
打切り有（未故障）データがあるので、寿命は長くなるはずだから、妥当な結果ですよね。
ηは累積ハザード法の方が長くでました。
打切り有（未故障）データがあるので、寿命は長くなるはずだから、妥当な結果ですよね。
打切り有（未故障）データがあるので、寿命は長くなるはずだから、妥当な結果ですよね。
グラフでも比較すると、
打切りデータがあると、ワイブル確率紙は寿命が短いという厳しい評価をするために、累積ハザード法を使う必要があることがよくわかりますね。
まとめ
「ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いがよくわかる」を解説しました。
- ①累積ハザード法の基礎を理解する
- ➁ワイブル確率紙と累積ハザード法の違いを理解する
- ➂同じ問題をワイブル確率紙と累積ハザード法それぞれで解いてみる
- ➃打切りが無い場合は、両者は同等の結果になる
- ➄打切りが無い場合は、両者の結果に差が出る
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119