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メジアンランク法がよくわかる

信頼性工学

「メジアンランク法がよくわからない」、と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

メジアンランク法がよくわかる
  • ①確率Fは順序統計量から求める
  • ➁メジアンランク法がわかる
  • ➂メジアンランク法を解く
確率紙を学ぶには、順序統計量を理解しておく必要があります。

①確率Fは順序統計量から求める

何で、小さい順にデータを並べるの?

正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね!

何で、データを大きさ順に並び替える必要があるか説明できますか?

順序統計量の性質を活用するため

答えは

データを大きさ順に並び替える理由は、順序統計量の性質を活用するため

ところが、

教科書などは、確率分布がメインで、
「確率紙はデータを大きさ順に並び替えます(順序統計量という)」
くらいの一言で、
「\(F=\frac{i-0.3}{n+0.4}\)を使う」
といきなり式が出て来ますよね!
何じゃこりゃ!
順序統計量って何?
でも試験には出題されないから、無視してワイブル確率紙を勉強しよう!となりがち

ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。

順序統計量を復習しながら確率紙を理解しましょう。

順序統計量の復習

順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる
順序統計量が説明できますか?本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

式を理解する重要なポイント

データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
(ここで、何で? とツッコんでください! 順序統計量だな!と読みましょう!)

\(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
の各母集団が下図のように分布しているとして、

メジアンランク法

\(F_i\)が\(F\)~\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、

\(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)

式が難解なので、イメージを解説すると、

順序統計量

の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。

順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる
順序統計量が説明できますか?本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。

\(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
の式が、メジアンランク法やミーンランク法の出発点です!
順序統計量はムズイからパスしたい!
試験やテストなら無視でもいいけど、
実務で活用するなら順序統計量の学びは必須です。
QC(品質管理)の数理は結構、順序統計量が出て来ます。

➁メジアンランク法がわかる

基本は、

\(g(F)dF\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)の積分値が対象とする確率(P=0.5など)を満たすための、変数\(F,n,i\)を求めることで、
積分区間を、0からメジアンとする方法が「メジアンランク法」で
0から平均値(ミーン)とする方法が「ミーンランク法」です。

今回は、「メジアンランク法」を解説します。

計算方法

基本は、

P=0.5= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF \)

(左辺)のP=0.5は確率が\(\frac{1}{2}\)で、
(右辺)の\(\tilde{F}\)はメディアンです。

0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF \)
を解いてみよう!
。。。
と言って、手で解析的に解けないんです。。。

なので、結果は教科書とかで与えらえています。

\(\tilde{F}\)=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
がよく見かけますね!

でも、

公式の鵜呑み、暗記はNG!
自分で導出できない公式は使うな!

ひょっとしたら、公式が間違っているかもしれませんよね!

部分的に、ある条件なら、手計算で解けます。

部分的な条件でもいいから、
手で計算して、
感触をつかもう!

公式の理解度も一気に上がるし、公式の導出過程においた仮定や、強み・弱みも理解できます。

➂メジアンランク法を解く

i=1,nだけは解析的に解ける

i=1のとき、

0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(1-1)!(n-1)!} F^{1-1}(1-F)^{n-1}dF \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} n (1-F)^{n-1}dF \)
=\(\left[(-1) (1-F)^{n} \right]_{0}^{\tilde{F}}\)
=1- \((1- \tilde{F})^{n}\)

つまり、
0.5=1- \((1- \tilde{F})^{n}\)
\((1- \tilde{F})^{n}\)=0.5
\(\tilde{F}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)

まとめると、

●i=1のとき、
\(\tilde{F}^{n}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)

i=nのとき、

0.5=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} \frac{n!}{(n-1)!(n-n)!} F^{n-1}(1-F)^{n-n}dF \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} n F^{n-1}dF \)
=\(\left[F^{n} \right]_{0}^{\tilde{F}}\)
=\(\tilde{F}^{n}\)

つまり、
0.5=\(\tilde{F}^{n}\)
\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)

まとめると、

●i=nのとき、
\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)

グラフを描いてみよう

●i=1のとき、\(\tilde{F}^{n}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
●i=nのとき、\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
をグラフに描いてみましょう。

メジアンランク法

i=1,n以外はミーンランク法を使って計算していますが、

iが1からnに増えるに従い、確率Pが増えていくのがわかります。iが増えると確率Pが単調増加する点が順序統計量ならでは感ですね。

式の形は妥当か?

●i=1のとき、\(\tilde{F}^{n}\)=1-\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
●i=nのとき、\(\tilde{F}\)=\((\frac{1}{2})^{1/n}\)
よく見ると、
\(\tilde{F}\)=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)
と式の形が違いますね。
メジアンランク法の\(\tilde{F}\)=\(\frac{i-0.3}{n+0.4}\)は
ミ―ンランク法\(\bar{F}\)=\(\frac{i}{n+1}\)の
式に合わせて近似式を作っているように思われます。

まとめ

「メジアンランク法がよくわかる」を解説しました。

  • ①確率Fは順序統計量から求める
  • ➁メジアンランク法がわかる
  • ➂メジアンランク法を解く


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