2022/10/31 (更新日: 2023/12/04)

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(完全修理系)

信頼性工学

「要素の故障が非独立な系の信頼度が計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃完全修理系を学ぶ

①独立な場合と非独立な場合の違い

独立系とは

中学生でも理解できるほど、簡単なのは、
要素間の信頼性は独立だからです。

1. 要素間の故障は独立している
2. 全体系の信頼度は要素の信頼度の積で計算できる
3. 簡単に計算できる

例題

次の信頼度はどう計算しますか？

単純に、R×R×R×…×R=Rⁿと掛け算すれば出ますよね。
この単純さは、各要素が独立して一定の信頼度(故障率)をもっていると仮定しているからです

非独立系とは

では、各要素が互いに影響し合うと、全体の信頼度はどうやって計算しますか？

イメージは、

難しそうですよね。

1. 要素間の故障は独立できない
2. 全体系の信頼度は要素間の関係式から求めないと算出できない
3. 計算が一気に難しくなる

要素の故障も故障の状態や時間によって、信頼度が変化するので、微分方程式を立てて、全体の信頼度を
計算する必要があります。

➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン

本記事では、その3の「完全修理系」を解説します。最もシンプルな系です。

ＱＣプラネッツでは次の３つの非独立系の信頼度を解説します。

1. 非修理系
2. 不完全修理系
3. 完全修理系

➂解法パターン

どのパターンも次の3つの流れで解いていきます。同じ解法なので、安心して理解できます！

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

では、「完全修理系」を解説します！

➃完全修理系を学ぶ

例題

どうですか？　一気に難しくなりましたね。

解法

3つの流れで解きます。

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

1.シャノン線図を描く

シャノン線図といいますが、別に何でもよく、
各要素の関係性がわかる図であればＯＫです。

上図のとおりですね。

2. 微分方程式を作る

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、各要素の故障率\(Pi(t)\)はどう変化するか、図を見ながら関係式を作ります。

各要素の故障率は、故障と修復の関係を式に書けばＯＫです。
●\(P_0(t+dt)\)=\(P_0(t)\)-(\(λP_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
●\(P_1(t+dt)\)=\(P_1(t)\)-(\(λP_1 dt\)-\(μP_2 dt\))+(\(λP_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
…
●\(P_i(t+dt)\)=\(P_i(t)\)-(\(λP_i dt\)-\(μP_{i+1} dt\))+(\(λP_{i-1} dt\)-\(μP_i dt\))
…
●\(P_n(t+dt)\)=\(P_n(t)\) +(\(λP_{n-1} dt\)-\(μP_n dt\))

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=-(\(λP_0\)-\(μP_1\)
\(\displaystyle \frac{dP_2}{dt} \)=-(\(λP_1\)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
\(\displaystyle \frac{dP_i}{dt} \)=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
\(\displaystyle \frac{dP_n}{dt} \)=(\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))

微分方程式になりましたね！

なお、初期条件は
\(P_0(0)\)=1
\(P_i(0)\)=0 (\(i=2,…n\))
\(P_0(t)\)+ \(P_1(t)\)+…+\(P_n(t)\)=1

連立微分方程式ができました。

3. ラプラス変換して計算

ラプラス変換については関連記事で解説しています。

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

実際にラプラス変換すると、
●\(sP_0-P_0(0)\)=-(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
●\(sP_1\)=(\(λP_1 \)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
●\(sP_i\)=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
●\(sP_n\)= (\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))

ここで１つ困ったことがありまして、

●\(sP_0-P_0(0)\)=-(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
●\(sP_1\)=(\(λP_1 \)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
●\(sP_i\)=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
●\(sP_n\)= (\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))
を全部足すと
\(s(P_1+P_2+…+P_n)\)=\(P_0(0)\)=1
までは解けますが、そこから先は難しいです。

平衡状態って？

つまり、
0=-(\(λP_0\)-\(μP_1\)
0=-(\(λP_1\)-\(μP_2 \))+(\(λP_0 \)-\(μP_1 \))
…
0=-(\(λP_i \)-\(μP_{i+1} \))+(\(λP_{i-1} \)-\(μP_i \))
…
0= (\(λP_{n-1} \)-\(μP_n \))

これを解くと、
\(P_1\)=\(\frac{λ}{μ}P_0\)
\(P_2\)=\(\frac{λ}{μ}P_1\)=\((\frac{λ}{μ})^2 P_0\)
…
\(P_n\)=\(\frac{λ}{μ}P_{n-1}\)=\((\frac{λ}{μ})^{n-1} P_0\)
となります。

まとめると
\(P_1\)+\(P_2\)+…+\(P_n\)=(\(\frac{λ}{μ}\)+\((\frac{λ}{μ})^2\)+…+\((\frac{λ}{μ})^{n-1} \))P_0=1
となるので、等比数列の和の公式から

\(P_0\)=\(\frac{1-\frac{μ}{λ}}{(\frac{λ}{μ})^n -1}\)
\(P_n\)=\(\frac{1-\frac{μ}{λ}}{(\frac{λ}{μ})^n -1} (\frac{λ}{μ})^{n-1}\)
となります。

各要素の故障率\(P_n(t)\)が求まりました。

) \(λ_i\)と\(μ_i\)はどちらが大きくないといけないか？

計算してわかったことは、

そのためには、λ　> μ　でないといけませんね。

完全修理系における平衡状態の故障率が計算できました。

まとめ

「要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(完全修理系)」を解説しました。

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃完全修理系を学ぶ

信頼性工学

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