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QCに必要なラプラス変換がわかる

統計学

「QCにラプラス変換って必要なの」と疑問に思っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

QCに必要なラプラス変換がわかる
  • ①ラプラス変換とは
  • ➁ラプラス変換をQCで使う場面
  • ➂QCで必要なラプラス変換はこれだけ
ラプラス変換は便利

①ラプラス変換とは

ラプラス変換は、3つだけ理解しておけばOKです。

  1. 定義は難しいから無視していい
  2. ラプラス変換はここだけ理解する
  3. 微分1回をs倍に変えられるから計算が楽チン
学生時代にラプラス変換の便利さにハマり、ラプラス変換ばっかりやっていましたね。フーリエ級数とは苦手だったけど

定義は難しいから無視していい

変換する理由は、そのままの計算では難しいから。

ではどうやって変換するかを見ましょう。見るだけでOKです。

ラプラス変換

変換式は難解なので無視していい。
大事なのは、変換して計算して、計算結果を変換前に戻す!

ラプラス変換はここだけ理解する

イメージは、

微分\(\displaystyle \frac{df}{dx} \)から\(f(x)\)を計算するのが難しい
だから、簡単に変換できないか? 例えば、微分1回したら s倍するだけみたいな変換なら微分方程式がsの2次、3次方程式だけに変わると計算しやすい!

つまり、

微分をs倍に変えるには、\(e^{-st}\)を元の関数と積にすれば、
\(e^{-st}\)を1回微分すると\(-se^{-st}\)とs倍できる!
\(e^{-st}\)を元の関数と積にして計算した結果を
逆に\(e^{+st}\)をかければ、変換前に戻せる!

これがラプラス変換のイメージです。

大事なのは、

微分をs倍に変えるために、\(e^{-st}\)を元の関数と積にするところだけ理解しましょう。

複雑な∫計算は不要です。変換方法は公式で暗記すれば、積分不要になります。

微分1回をs倍に変えられるから計算が楽チン

イメージは、よく物理の運動方程式を使って説明することがあります。

運動方程式は
\(m \displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} + k \displaystyle \frac{dx}{dt} +Y=0\)

これは2次の微分方程式で、解くのが大変です。

一方、ラプラス変換すると、微分1回はs倍ですら
\(m s^2+ ks +Y=0\)
と変換できるので、単純な2次方程式になります。これは解けるハズ!

sの式が出来たら、tの式に逆変換して戻せばOK! 戻し方は公式があるので暗記すればOK

ラプラス変換の注意点

1つだけ知っておきましょう。
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}\)⇒ \(sf-f(0)\)と初期条件\(f(0)\)も入れてください。ここだけ!

➁ラプラス変換をQCで使う場面

信頼性工学でラプラス変換を使いたい

QCでは、数学が必要ですが、あまり手を広げたくないのが本音です。だから本当は、ラプラス変換は使わないで行こうと思っていました。けど、信頼性工学で、ラプラス変換を使うと便利とわかりました。

信頼性工学では下の図のように、ある時間dtで状態が\(S_0\)、\(S_1\)、\(S_2\)へと状態変化する確率\(P_i(t)\)を式にする場合です。

ラプラス変換

関係式を書くと、
\(P_0 (t+dt)=P_0 (t)-μ_0 dt\)
\(P_1 (t+dt)=P_1 (t)+μ_0 dt-μ_1 dt\)

\(P_i (t+dt)=P_i (t)+μ_{i-1} dt-μ_i dt\)

\(P_n (t+dt)=P_n (t)+μ_{n-1} dt\)

と、長い連立微分方程式になります。計算を楽するためにラプラス変換を使います。これは信頼性工学の関連記事で詳細に解説していきます。

●●でラプラス変換を使いたい

現状は信頼性工学以外のQCでラプラス変換を使う場面はないですが、見つかり次第、解説します。

➂QCで必要なラプラス変換はこれだけ

2つだけ変換を使う

変換前 変換後
\(e^{at}\) \(\frac{1}{s-a}\)
\(t^n e^{at}\) \(\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\)

\(\frac{1}{s-a}\)か
たまに \(\frac{1}{(s-a)^2}\)の2乗分の1の式とかも
を使います。
で、\(a\)も結構大事なので正しく計算しましょう。

例題

具体的な例題で、理解を深めましょう。

次の連立微分方程式を求めよ。
●\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=\(-μP_0\)
●\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μP_0 – μP_1\)
●\(\displaystyle \frac{dP_2}{dt} \)=\(μP_1 – μP_2\)
初期条件 \(P_0 (0)=1, P_1 (0)=0, P_2 (0)=0\)

1次の微分方程式ですが、連立になると計算が難しいです。なので、ラプラス変換しましょう。

(i)\(P_0 (t)\)の解法

\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=\(μP_0\)をラプラス変換すると、
\(sP_0 – P_0 (0) =-μP_0 \)
\(sP_0 – 1 =-μP_0 \)
\(P_0\)を求めると
\(P_0 = \frac{1}{s+μ}\)

\(P_0\)を逆変換して戻すと、
\(P_0 (t) =e^{-μt}\)

(i)\(P_1 (t)\)の解法

\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μP_0 – μP_1\)をラプラス変換すると、
\(sP_1 – P_1 (0) =μP_0 – μP_1\)
\((s+μ)P_1– 0 =μ\frac{1}{s+μ} \)
\(P_1\)を求めると
\(P_1 = \frac{μ}{(s+μ)^2}\)

ここで、\(\frac{μ}{(s+μ)^2}\)の2乗が出て来ます。

\(P_1\)を逆変換して戻すと、
\(P_1 (t) =μt e^{-μt}\)

(i)\(P_2 (t)\)の解法

\(\displaystyle \frac{dP_2}{dt} \)=\(μP_1 – μP_2\)をラプラス変換すると、
\(sP_2 – P_2 (0) =μP_1- μP_2\)
\((s+μ)P_2– 0 =μ\frac{μ}{(s+μ)^2} \)
\(P_2\)を求めると
\(P_2 = \frac{μ^2}{(s+μ)^3}\)

ここで、\(\frac{μ}{(s+μ)^2}\)の3乗が出て来ます。

\(P_2\)を逆変換して戻すと、
\(P_2(t) =μ^2 \frac{t^2}{2} e^{-μt}\)

簡単に計算できましたね。ラプラス変換知っていると便利ですよ!

まとめ

「QCに必要なラプラス変換がわかる」を解説しました。

  • ①ラプラス変換とは
  • ➁ラプラス変換をQCで使う場面
  • ➂QCで必要なラプラス変換はこれだけ


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