2022/11/01 (更新日: 2023/12/04)

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(不完全修理系)

信頼性工学

「要素の故障が非独立な系の信頼度が計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃不完全修理系を学ぶ

①独立な場合と非独立な場合の違い

独立系とは

中学生でも理解できるほど、簡単なのは、
要素間の信頼性は独立だからです。

1. 要素間の故障は独立している
2. 全体系の信頼度は要素の信頼度の積で計算できる
3. 簡単に計算できる

例題

次の信頼度はどう計算しますか？

単純に、R×R×R×…×R=Rⁿと掛け算すれば出ますよね。
この単純さは、各要素が独立して一定の信頼度(故障率)をもっていると仮定しているからです

非独立系とは

では、各要素が互いに影響し合うと、全体の信頼度はどうやって計算しますか？

イメージは、

難しそうですよね。

1. 要素間の故障は独立できない
2. 全体系の信頼度は要素間の関係式から求めないと算出できない
3. 計算が一気に難しくなる

要素の故障も故障の状態や時間によって、信頼度が変化するので、微分方程式を立てて、全体の信頼度を
計算する必要があります。

➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン

本記事では、その3の「完全修理系」を解説します。最もシンプルな系です。

ＱＣプラネッツでは次の３つの非独立系の信頼度を解説します。

1. 非修理系
2. 不完全修理系
3. 完全修理系

➂解法パターン

どのパターンも次の3つの流れで解いていきます。同じ解法なので、安心して理解できます！

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

では、「不完全修理系」を解説します！

➃不完全修理系を学ぶ

例題

不完全系は式がややこしいので、状態は0,1,2だけとします。

どうですか？　一気に難しくなりましたね。

解法

3つの流れで解きます。

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

1.シャノン線図を描く

シャノン線図といいますが、別に何でもよく、
各要素の関係性がわかる図であればＯＫです。

上図のとおりですね。

2. 微分方程式を作る

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、各要素の故障率\(Pi(t)\)はどう変化するか、図を見ながら関係式を作ります。

各要素の故障率は、故障と修復の関係を式に書けばＯＫです。
●\(P_0(t+dt)\)=\(P_0(t)\)-(\(λ_1 P_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
●\(P_1(t+dt)\)=\(P_1(t)\)-(\(λ_2 P_1 dt\))+(\(λ_1 P_0 dt\)-\(μP_1 dt\))
●\(P_2(t+dt)\)=\(P_2(t)\) +(\(λ_2 P_1 dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=-\(λ_1 P_0\)+\(μP_1\)
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(λ_1 P_0\)-(\(λ_2 P_1 \)+\(μP_1 \))
\(\displaystyle \frac{dP_2}{dt} \)=\(λ_2 P_1 \)

微分方程式になりましたね！

なお、初期条件は
\(P_0(0)\)=1
\(P_i(0)\)=0 (\(i=1,2\))
\(P_0(t)\)+ \(P_1(t)\)+…+\(P_2(t)\)=1

連立微分方程式ができました。

3. ラプラス変換して計算

ラプラス変換については関連記事で解説しています。

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

実際にラプラス変換すると、
●\(sP_0-P_0(0)\)=-\(λ_1 P_0 \)+\(μP_1 \)
●\(sP_1\)=\(λ_1 P_0 \)-(\(λ_2 P_1 \)+\(μP_1 \))
●\(sP_2\)= \(λ_2 P_1 \)

まとめると、
●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)

綺麗まとまりましたが、
ここで１つ困ったことがありまして、

\(\frac{1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)が綺麗に
\(\frac{1}{(s+a)}- \frac{1}{(s+b)}\)と定数\(a,b\)が整数になりません。

2次方程式
\((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ\)=0
の\(s\)の解が\(\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)の√が入ったままで計算しないといけません。

なので、文字でおいて解を求める事にします。

文字でおいて解を求める

まとめると、
●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)
から、

●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{A}{s+α}\)-\(\frac{B}{s+β}\)
と、定数\(A,B,α,β\)を置きます。

●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{C}{s+α}\)-\(\frac{D}{s+β}\)
と、定数\(C,D,α,β\)を置きます。

●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)
の分母は\(s\)の３次式なので、
=\(\frac{E}{s+γ}\)-\(\frac{F}{s+δ}\)-\(\frac{G}{s+ε}\)
と、定数\(E,F,G,γ,δ,ε\)を置きます。

逆ラプラス変換すると

●\(P_0\)=\(\frac{s+λ_2+μ}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{A}{s+α}\)-\(\frac{B}{s+β}\)
より、
\(P_0(t)\)=\(A e^{-αt}\)-\(B e^{-βt}\)
となります。

●\(P_1\)=\(\frac{λ_1}{(s+λ_1)(s+λ_2)+sμ}\)
=\(\frac{C}{s+α}\)-\(\frac{D}{s+β}\)
より、
\(P_1(t)\)=\(C e^{-αt}\)-\(D e^{-βt}\)
となります。

●\(P_2\)=\(\frac{λ_1 λ_2}{s((s+λ_1)(s+λ_2)+sμ)}\)
=\(\frac{E}{s+γ}\)-\(\frac{F}{s+δ}\)-\(\frac{G}{s+ε}\)
より、
\(P_2(t)\)=\(E e^{-γt}\)-\(F e^{-δt}\)-\(G e^{-εt}\)
となります。

まとめ

「要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(不完全修理系)」を解説しました。

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃不完全修理系を学ぶ

信頼性工学

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