ミーンランク法がよくわかる
「ミーンランク法がよくわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①確率Fは順序統計量から求める
- ➁ミーンランク法がわかる
- ➂ミーンランク法を解く
- ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの？
①確率Fは順序統計量から求める
何で、小さい順にデータを並べるの？
正規確率紙やワイブル確率紙を使う場合、データを大きさ順に並び替えますよね！
順序統計量の性質を活用するため
答えは
ところが、
「確率紙はデータを大きさ順に並び替えます(順序統計量という)」
くらいの一言で、
「\(F=\frac{i-0.3}{n+0.4}\)を使う」
といきなり式が出て来ますよね！
順序統計量って何？
でも試験には出題されないから、無視してワイブル確率紙を勉強しよう！となりがち
ちゃんと勉強すると、順序統計量の壁にぶちあたります。
順序統計量の復習
順序統計量を使って、確率を算出する式を使います。この解説は関連記事にありますので、ご確認ください。
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式を理解する重要なポイント
データ\(t_1\),\(t_2\),…\(t_i\),…\(t_n\)は大きさ順に並んでいるとします。
(ここで、何で？ とツッコんでください！ 順序統計量だな！と読みましょう！)
\(t_1\) < \(t_2\) < \(t_i\) < … < \(t_n\)
の各母集団が下図のように分布しているとして、
\(F_i\)が\(F\)～\(F+dF\)の間を取る確率を\(g(F)dF\)とすると、
式が難解なので、イメージを解説すると、
の左、真ん中、右の確率を掛け算した式となります。詳細は関連記事に書いています。
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の式が、メジアンランク法やミーンランク法の出発点です！
試験やテストなら無視でもいいけど、
実務で活用するなら順序統計量の学びは必須です。
ＱＣ（品質管理）の数理は結構、順序統計量が出て来ます。
➁ミーンランク法がわかる
ミーンランク法とは
「ミーン」とは、平均値なので、平均値について計算します。
なお、0からメジアンとする方法が「メジアンランク法」です。
【重要】ミーンランク法の注意点
メジアンランク法と比較すると２点注意が必要です。
メジアンランク法は関連記事で解説しています。まず確認しましょう。
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P= \(\displaystyle \int_{0}^{\tilde{F}} g(F)dF\)
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
違いがわかりますか？
メジアンランク法とミーンランク法の違い
- 積分区間が違う(0-1か、0-x(xは1以下)
- 積分式の\(F\)を１つ多いのがミーンランク法
積分区間が異なるから、メジアンランク法とミーンランク法の2つがあるので、理解しやすいのですが、
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
と\(g(F)\)、\(Fg(F)\)の違いがある。
この理由を解説します。
ミーンランク法はメジアンランク法よりFが１つ多くして積分する理由
理由は２つあります。
- 平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるから
- メジアンランク法と同じ\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)として計算すると1になって、関数として使えないから
平均値(期待値)はE[X]= \(\displaystyle x f(x)dx\)で\(f(x)\)に\(x\)をかけるからという理由が、一番強い理由と考えています。
➂ミーンランク法を解く
手計算できる！
ミーンランク法は手計算できる！
メジアンランク法のようにプログラムは不要です。
ミーンランク法を解く！
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
ここで超重要なことを伝えます。
つまり、確率分布に関係なく、確率は１つに決まる！
支配させたい確率分布にモデル化するのが
確率紙を使う本質！
ここで、「なるほど！」と来ない人は、ワイブル確率紙などの確率紙を使う意味を理解していないということ！
では、解きます。必要な数学は、ベータ関数です。
ベータ関数の関連記事で、復習しましょう。
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ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。 |
ミーンランク法を解く！
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F・F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
ここで、
\(B(p,q)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\)
=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)
と
\( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
をにらめっこすると
\(p=i+1\)、\(q=n+1-i\)
を代入すればＯＫとわかりますね。
よって、
P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i)!(n-i)!}{(n+1)!} \)
=\(\frac{i}{n+1}\)
となります。
P=\(\frac{i}{n+1}\)
をミーンランク法から解いてＯＫとわかりますね。
メジアンランク法と同じ式でミーンランク法解くと積分値が1になる
先の、
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)
と\(g(F)\)、\(Fg(F)\)の違いがある。
と、ありましたね。
積分する関数をメジアンランク法と同じするとどうなるか？計算しましょう。
解く！
P= \(\displaystyle \int_{0}^{1} g(F)dF\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i-1}(1-F)^{n-i}dF\)
ここで、
\(B(p,q)= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\)
=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)
と
\( \displaystyle \int_{0}^{1} F^{i}(1-F)^{n-i}dF\)
をにらめっこすると
\(p=i\)、\(q=n-i\)
を代入すればＯＫとわかりますね。
よって、
P= \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{(i-1)!(n-i)!}{(n)!} \)
=1
となります。
積分した結果が、数字になると、使い道ないですね。。。
だから、ミーンランク法はP= \(\displaystyle \int_{0}^{1} Fg(F)dF\)なのでしょう。
余談したが、比較すると理解が深まりますね！
➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの？
●ミーンランク法：P=\(\frac{i}{n+1}\)
とよく似た式ですね。
結論は、
- 個数iが少ないときは、両者の値に差が出る。実測値に近い方をとる
- 変数n,iを大きくすると両者の値に差はない。どちらでもOK
となりますね。
まとめ
「ミーンランク法がよくわかる」を解説しました。
- ①確率Fは順序統計量から求める
- ➁ミーンランク法がわかる
- ➂ミーンランク法を解く
- ➃メジアンランク法とミーンランク法はどっちを使えばいいの？
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119