★ 本記事のテーマ
- ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
- ➁ (導入)簡単な事例
- ③ Z=XY積の場合（事例1）
- ④ Z=XY積の場合（事例2）
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①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!
理解しないと、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係が理解できないから困っている！
ただし、公式暗記より、実演でマスターしよう！
慣れてきたら、公式を見ましょう。
2変数の確率変数の変換の求め方
1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。
変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。
A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。
計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！
では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！
➁ (導入)簡単な事例
(1) (導入)簡単な事例
確率変数(\(X,Y\))の同時確率密度関数\(f(x,y)\)が
\(f(x,y)\)=\(\frac{1}{2}xy^2\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
に対して、確率変数\(Z,W\)を
\(Z=2X+Y\)
\(W=X-2Y\)
と定義した場合の、確率変数\(Z,W\)についての同時確率密度関数\(g(z,w)\)を求めよ。
解いていきましょう。解法は、
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{1}{5}(2z+w)\)
\(y\)=\(\frac{1}{5}(z-2w)\)
連立方程式から求められます。
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビアン行列から行列式ヤコビアンを求めます。
\(det J\)=\(\frac{2}{5}・(-\frac{2}{5})\)-\(\frac{1}{5}・\frac{1}{5}\)
=\(-\frac{1}{5}\)
で計算できます。
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2} × \frac{1}{5}(2z+w) ×\frac{1}{25}(z-2w)^2 ×|-\frac{1}{5}| dzdw\)
=\(\frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 dzdw\)
よって、同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)= \frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 \)
と計算できます。
なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。
③ Z=XY積の場合（事例1）
(2) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ一様分布U(0,1)に従うとき、確率変数\(Z\)を\(Z=XY\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。
やってみましょう。
まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=1\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)=1\) (0 ≤ \(y\) ≤ 1)
解き方は、
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
ここで、変換する変数を定義します。
\(Z\)=\(XW\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。
ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{z}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{z}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。
ここまで大丈夫ですね！
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1 \frac{1}{w} dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)
結構、スッキリしますね！
2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。
なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。
ここで、注意なのが、
(0 ≤ \(x\) ≤ 1)
(0 ≤ \(y\) ≤ 1)
変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。
●\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{w} \frac{1}{w}dw \)=\(\left[log w \right]_{z}^{1}\)=\(-log z\)
●\( h(z)\)=0 (\(w\) ≥ 0) (積分区間が無い)
となります。ここが難しいですね！
もう１つ事例を挙げます。次は、積分が困難なので、途中で終わる場合です。
④ Z=XY積の場合（事例2）
(3) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ指数分布に従うとき、
\(f(x)=λe^{-λx} \)(0 ≤ \(x\))
\(g(y)=μe^{-μy} \)(0 ≤ \(y\))
確率変数\(Z\)を\(Z=XY\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。
やってみましょう。
解き方は、事例1と同じです。
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
ここで、変換する変数を定義します。
\(Z\)=\(XW\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。
ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{1}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{1}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。
ここまで大丈夫ですね！
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw\)
=(式1)
よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}\)
2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。
なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。
ここで、注意なのが、
(0 ≤ \(x\))
(0 ≤ \(y\))
変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。
●\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
実は、この
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
の積分が非常に難しいです。なぜなら、
\(e^{-\frac{1}{w}}・e^{-w}\)の積分で、特に、\(e^{-\frac{1}{w}}\)が難しいです。
一旦ここで、保留しましょう。
うまく計算ができないパターンもブログとして掲載しますね。
教科書は、うまく計算ができる例だけしかないので、あたかもどんな関数でも変換ができるように錯覚しがちです。
とは、言っても、伝えたいことは
いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=XY積の場合)」を解説しました。
- ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
- ➁ (導入)簡単な事例
- ③ Z=XY積の場合（事例1）
- ④ Z=XY積の場合（事例2）