順序統計量の幅の分布がわかる
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量の幅の分布の確率密度関数がわかる
- ➂順序統計量の幅の分布の例題
①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。
➁順序統計量の幅の分布の確率密度関数がわかる
R管理図の係数導出に必須
順序統計量をブログに投稿している最大の理由が、「R管理図の係数導出」です。順序統計量からR管理図の係数を求めますが、その導出過程が難しいから解明したい！です。
同時確率密度関数からスタート
基本は同時確率密度関数からスタートします。基本的な内容は関連記事で解説していますのでご確認ください。
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順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。 |
この記事では、同時確率密度関数の式からスタートします。
順序統計量の幅の分布の確率密度関数
同時確率分布の確率密度関数において、
\(W\)=\(X_{(n)}\)- \(X_{(1)}\)
と定義して、幅\(W\)の分布を考えます。
まず、
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
へ、\(i\)=1、\(j\)=\(n\)を代入します。
\(f_{(1),(n)}(x_{(1)},x_{(n)})\)=\(C_{1,n}\)\((F(x_n)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_n)\)
まとめると、\(x_n=x_1 +w\)に注意して
\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\((F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)
=(式1)
となります。この式を使います。
順序統計量の幅の分布の確率密度関数を積分
\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\((F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)はまだ、変数\(x_1\)がいて、変数\(w\)だけの式ではないので、変数\(x_1\)で積分します。
\(W\)についての確率密度関数は
\(f_W (w)\)= \(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)dx_1\)
=(式2)
となります。
さらに(式2)を積分すると、変数\(W\)についての確率も導出できます。
Pr(\(W\))=\(n\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-1}\)\(f(x_1)\)dx_1\)
=(式3)
となります。
(式2)⇒(式3)においては、
\( f(x_1 +w)\)= \(\displaystyle \frac{d(F(x_1+w)-F(x_1))}{dx} \)として、
\((n-1) (F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2} f(x_1 +w)\)を
\((n-1) (F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\displaystyle \frac{d(F(x_1+w)-F(x_1))}{dx}\)として、
\((F(x_1+w)-F(x_1))\)を\((n-2)\)乗から\((n-1)\)乗に１つ指数を上げる計算をしています。
後で使う式なのでまとめると、
\(f_W (w)\)=\(n(n-1)\)\((F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)
●(式2)：順序統計量の幅の分布の確率密度関数
\(f_W (w)\)= \(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)dx_1\)
●(式3)：順序統計量の幅の分布の確率
Pr(\(W\))=\(n\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-1}\)\(f(x_1)\)dx_1\)
➂順序統計量の幅の分布の例題
実際に例題を見ながら計算してみましょう。
順序統計量の幅の分布の例題
●\(f(x)=1\) (0 < \(x\) < 1)
●\(F(x)=x\) (0 < \(x\) < 1)
である一様分布に従うとする。この時の、
(i)\(W\)=\(X_{(n)}\)- \(X_{(1)}\)と定義する変数\(W\)の確率密度関数\(f_W (w)\)を求めよ。
(ii) \(W\)=\(X_{(j)}\)- \(X_{(i)}\)と定義する変数\(W\)同時確率密度関数\(f_W(i,j) (w) \)
をそれぞれ求めよ。
公式から実際に解いて、イメージをつけましょう。
(i)確率密度関数\(f_W (w)\)の解法
(式2)に\(F(x)\)=\(x\),\(f(x)\)=1を代入します。
(式2)
=\(f_W (w)\)= \(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}(F(x_1+w)-F(x_1))^{n-2}\)\(f(x_1)f(x_1 +w)\)dx_1\)
=\(n(n-1)\)\( \displaystyle \int_{0}^{1-w}((x_1+w)-x_1)^{n-2} dx_1\)
=\(n(n-1)w^{n-2} (1-w)\) (0 < w < 1)
\(w\)の式ですが、\(x_1\)で積分する点に注意しましょう。
また、\(x_n=x_1+w\) < 1より \(x_1\) < 1-\(w\)で積分します。
(ii)同時確率密度関数\(f_W(i,j) (w) \)の解法
同時確率密度関数は
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
より、\(f(x)=1\)、\(F(x)=x\)を代入すると、
\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
\(x_j=x_i+w\)と置くと、
\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_i +w)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_i +w))^{n-j}f(x_i)f(x_i +w)\)
さらに、\(F(x)=x\),\(f(x)=1\)を代入すると、
\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j}x_i^{i-1}\)\((w)^{j-i-1}\)\((1- x_i -w))^{n-j}\)
この式を\(dx_i\)で積分すると、
\(x_n=x_1+w\) < 1より \(x_1\) < 1-\(w\)で積分する点に注意して、
\(f_{W(i,j)}(w)\)=\(C_{i,j} \displaystyle \int_{0}^{1-w} x_i^{i-1}\)\((w)^{j-i-1}\)\((1- x_i -w))^{n-j} dx_i\)
=\(C_{i,j} w^{j-i-1} (1-w)^{n-j+i}\)
となります。
幅の分布で具体的な関数になっても、いまいちピンと来ませんが、計算はできますね。
まとめ
「順序統計量の幅の分布がわかる」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量の幅の分布の確率密度関数がわかる
- ➂順序統計量の幅の分布の例題
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119