順序統計量の演習問題(その1)
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題
- ➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題
- ➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)(その２で解説)
- ➄(iV)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ) (その２で解説)
①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。
➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題
演習問題
\(Y_1\) < \(Y_2\) < \(Y_3\)
が成り立ち、互いに独立で、一様分布[0,1]に従うとする。この場合、
\(Z\)=\(Y3\)-\(Y1\)
の確率密度関数を求めよ。
難しそうな問ですが、１つ１つ解いていきましょう。
解法のポイント
ポイントは、２つあり、
- 確率変数の変換(2変数)
- 順序統計量の同時確率密度関数
を使います。
関連記事も紹介しますので、不安な場合は関連記事の解説を読んでください。
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解法
一様分布から\(Y_i\)の確率密度関数\(f_i(y)\)と分布関数\(F_i(y)\)は
●\(f_i(y)\)=1 (0 < \(y\) < 1)
●\(F_i(y)\)=\(y\) (0 < \(y\) < 1)
です。
次に\(y_1\)と\(y_3\)の同時確率密度関数は公式
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
から
\(f_{(1),(3)}(y_{(1)},y_{(3)})\)=\(C_{1,3}F(y_1)^{1-1}\)\((F(y_3)-F(y_1))^{3-1-1}\)\((1-F(x_3))^{3-3}f(x_1)f(x_3)\)
\(f_{(1),(3)}(y_{(1)},y_{(3)})\)=6\((F(y_3)-F(y_1))\)
=\(6(y_3-y_1)\)
そして、\(z=y_3-y_1\)より、２変数の変換をします。
●\(z=y_3-y_1\)
●\(w\)=\(y1\)
とおいて、変換すると、
\(f_{z,w}(z,w)\)= \(f(y_1(z,w),y_3(z,w))|detJ|\)で
=\(6(y_3-y_1)・1\)
=\(6z\) (ただし、0 < \(z\) < \(w\) < 1)
ここでヤコビアン行列から
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial y_1}{ \partial z} & \frac{\partial y_3}{\partial w} \\
\frac{\partial y_1}{\partial z} & \frac{\partial y_3}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
ヤコビアン行列を実際に代入すると
J=\(\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\)
から行列式は-1で、その絶対値は1です。
最後に、\(z\)の周辺確率密度関数を計算します。
\(f_{z,w}(z,w)\)=\(6z\) (ただし、0 < \(z\) < \(w\) < 1)
は変数\(z,w\)の式なので、無関係な\(w\)について積分します。
積分区間は、\(z\) < \(w\) < 1に注意します。
\(f(z)\)=\( \displaystyle \int_{z}^{1} 6z dz\)
=\(6z(1-z)\)
(答え)
できましたね！
➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題
演習問題
\(x_1\) < \(x_2\) < \(x_3\)
が成り立ち、互いに独立で、以下の確率密度関数\(f_i(x)\)
●\(f_i(x)=2x\) (0 < \(x\) < 1)
に従う。
(1) \(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)それぞれの確率密度関数を導出せよ。
(2) \(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)それぞれの期待値E[\(x_i\)]を計算し、
E[\(x_1\)] < E[\(x_2\)] < E[\(x_3\)]を確認せよ。
解法のポイント
１変数の順序統計量の確率密度関数と期待値の計算ですね。関連記事でも解説しています。
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順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。 |
解法
まず、分布関数\(F_i(x)\)は確率密度関数\(f_i(x)\)を積分して、
●\(f_i(x)=2x\) (0 < \(x\) < 1)
●\(F_i(x)=x^2\) (0 < \(x\) < 1)
ですね。
確率密度関数\(f_i(x)\)を計算
確率密度関数\(f_i(x)\)を計算します。
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
より、
●\(i\)=1のとき、
\(f_1(x)\)=\(\frac{3!}{(1-1)!1!(3-1)!} F_1(x)^{1-1}[1-F_1(x)]^{3-1}f_1(x)\)
=\(\frac{3!}{2!} [1-F_1(x)]^2 f_1(x)\)
=\(3(1-x^2)^2 ・2x\)
=\(6x(1-x^2)^2\)
●\(i\)=2のとき、
\(f_2(x)\)=\(\frac{3!}{(2-1)!1!(3-2)!} F_2(x)^{2-1}[1-F_2(x)]^{3-2}f_2(x)\)
=\(3! F_2(x) [1-F_2(x)] f_2(x)\)
=\(6 x^2 (1-x^2) ・2x\)
=\(12x^3 (1-x^2)\)
●\(i\)=3のとき、
\(f_3(x)\)=\(\frac{3!}{(3-1)!1!(3-3)!} F_3(x)^{3-1}[1-F_3(x)]^{3-3}f_3(x)\)
=\(\frac{3!}{2!} F_3(x)^2 f_3(x)\)
=\(3(x^2)^2 ・2x\)
=\(6x^5\)
3つの関数をまとめると
●\(f_1(x)\)= \(6x(1-x^2)^2\)
●\(f_2(x)\)= \(12x^3 (1-x^2)\)
●\(f_3(x)\)= \(6x^5\)
図で描くと、E[\(x_1\)] < E[\(x_2\)] < E[\(x_3\)]に見えますよね。
期待値E[\(x_i\)]を計算
E[\(x_1\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_1(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} 6x^2(1-x^2)^2 dx\)
=\(\frac{16}{35}\)
E[\(x_2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_2(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} 12x^4 (1-x^2) dx\)
=\(\frac{24}{35}\)
E[\(x_3\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_3(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} 6x^6 dx\)
=\(\frac{30}{35}\)
\(\frac{16}{35}\) < \(\frac{24}{35}\) < \(\frac{30}{35}\) より
E[\(x_1\)] < E[\(x_2\)] < E[\(x_3\)]が確認できた。
➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)
➄(iV)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ)
順序統計量の演習問題（その2）で解説しますね。範囲R(\(x_n – x_1\)の確率密度関数を解く重要な問題なので、是非読んでください。
まとめ
「順序統計量の演習問題(その1)」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題
- ➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題
- ➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)(その２で解説)
- ➄(iV)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ) (その２で解説)
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