【初心者必見！】分散の加法性を使った問題が解ける
「二項分布の期待値と分散が解けない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①分散の加法性でおさえるべきポイント
- ➁分散の加法性の演習問題
分散の加法性の解き方を伝授！
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
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①分散の加法性でおさえるべきポイント
分散の加法性は展開できること
まず、
は自力で導出できますか？
QC検定®１級なら、V(X+Y)=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)
と区別して暗記してませんか？
簡単なので、導出しましょう。自分で意味を理解することが大事です。
自力で導出
\(V(X+Y)\)=\(E((X_i-\bar{X})+(Y_i-\bar{Y}))^2\)は、分散の定義どおりですね。これを展開すると
\(E((X_i-\bar{X})+(Y_i-\bar{Y}))^2\)=\(E((X_i-\bar{X})^2\)+2\(E((X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}))\)+\(E((Y_i-\bar{Y}))^2\)
=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)
ここで、
●V(X)= \(E((X_i-\bar{X})^2\)
●Cov(X,Y)= \(E((X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}))\)
●V(Y)= \(E((Y_i-\bar{Y}))^2\)
ちゃんと練習しておきましょう。
X,Yが独立なら、Covは無視(QC検定®２級レベル)
ＱＣ検定®２級では、よく、
と書いていますが、これは、「共分散Covは考えなくていいというサイン」です。
大事なポイント
変数XにYを増減する場合の期待値と分散の±の動きに注目です。
●分散V(X±Y)=V(X)+V(Y)
と、
●分散V(X±Y)=V(X)+V(Y)
と増えます。
理由はわかりますか？ 理由が分かる方が、正しく計算できるより大事です。
±の２乗はすべて+になる！
ですね。
その理由をしっかり理解しましょう！
自力で導出できれば公式暗記は不要になりますよね！
X,Yに相関性あれば、Covも使う(QC検定®1級レベル)
ＱＣ検定®1級レベルになると、共分散が出て来ますね。
V(X+Y)=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)
は理解できたとしても、１つ疑問が出ます。
ですね。
これはほとんどの場合、相関係数ρからCovを計算する流れになります。
から計算します。
相関係数ρを問題文に与えれば、V(X),V(Y)がわかれば共分散は計算できますね。
ですが、自力で導出できますか？
是非やってみてください。
➁分散の加法性の演習問題
問題
では①で解説したポイントを踏まえて問題を解きましょう。
部品A(厚みxが母平均20.0mm,母標準偏差0.40mmの正規分布に従う)と部品B(厚みyが母平均30.0mm,母標準偏差0.60mmの正規分布に従う)がある。1個の部品Aを2個の部品Bで挟んで接着して作成させる組合せ部品Cを作る。部品Cは厚みにおいて、下限規格値78.0mm,上限規格値82.0mmの規定がある。
(1) 部品Cの厚さの母平均と母標準偏差を求めよ。
(2) 部品Cの厚みの母不適合品率を求めよ。
(3) 部品Bを２つ選ぶときに、一方の部品Bの厚さが厚いときに、他方の部品Bの厚さは薄いものを選ぶようにする。２つの部品Bのそれぞれの厚みには負の相関(-0.2)があるようにする。
①２つの部品Bのそれぞれの厚みの共分散を求めよ。
②部品Cの厚みの母平均と母標準偏差を求めよ。
(1)(2)は共分散Covの無い場合、(3)は共分散Covを考える場合ですね。
解説
問(1)
●母平均：80.0(=20.0+30.0×2)
●母標準偏差：0.934(=√(〖0.4〗^2+〖0.6〗^2+〖0.6〗^2 ))
これは分散の加法性の基本ですね。
問(2)
答え：0.0332
●上限：u=(82-80)/0.934=2.14 Kp=2.14の時の確率P=0.0162
●下限：u=(80-78)/0.934=2.14 Kp=2.14の時の確率P=0.0162
より、 0.0162×2=0.0332
ここまではQC検定®２級レベルですね。
問3①
●Cov(y1,y2)=ρ(y1,y2)×√(V_y1 V_y2 )=-0.2×0.36=-0.072
公式どおり代入しましょう。
問3➁
●母平均：80.0
●母標準偏差：0.858
V(y1+y2)=V(y1)+V(y2)+2Cov(y1,y2)=0.62+0.62+2･1･1･(-0.072)=0.576
V(z+y1+y2)=0.16+0.576=0.736 s=√V(z+y1+y2)=0.858
共分散も考慮した計算結果になっていますね。
問３➂
答え：0.0198
u=(82-80)/0.858=2.33 Kp=2.33の確率P=0.0099 0.0099×2=0.198
となります。
いかがでしょうか。分散の加法性の解き方を解説しました！ 苦手な所があれば何度も読み返してマスターしましょう！QCの初心者を悩ます内容ですが、この計算をモノにしましょう！
いろいろな問題が出ますが、エッセンスは本記事の内容です。ここを抑えれば大丈夫！
まとめ
「【初心者必見！】分散の加法性を使った問題が解ける」を解説しました。
- ①分散の加法性でおさえるべきポイント
- ➁分散の加法性の演習問題
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