【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる
「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する
- ➁2変数の確率変数の変換の流れを理解する
- ➂実例をご紹介
①1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する
確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!
理解しないと、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係が理解できないから困っている！
それは、
慣れてきたら、公式を見ましょう。
1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する
関連記事に１変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。
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【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ 確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。 |
１変数の確率変数の変換の求め方
- \(y=x\)の式を\(x=y\)の式に直す
- \(f(x)\)の\(x\)に\(y\)の式をそのまま代入する
- 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する
\(dx=\frac{dx}{dy}dy\)と変形(これは高校数学レベル) - 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変化するが、
\( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f(yの式) \frac{dx}{dy}dy \) - 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f(yの式) \frac{dx}{dy}dy \)
ですね。
ただし、これは、
Z=XY,Z=X/Yは使いにくい
ので、Z=XY,Z=X/Yの変換は、2変数の確率変数の変換から攻めます！
➁2変数の確率変数の変換の流れを理解する
取り上げる事例5つ
QCプラネッツでは2変数の確率変数の変換の実例を
- 簡単な関数の変換事例
- t分布の確率密度関数の導出
- F分布の確率密度関数の導出
- 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
- 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法
を取り上げます。
正規分布からχ2乗分布、ｔ分布、Ｆ分布の確率密度関数が求められる！
是非、マスターしましょう！
基本的な流れ
大事な５つを取り上げますが、
しかも、途中経過は一切端折らないから！
では、解法の流れを解説します。
2変数の確率変数の変換の解法の流れ
変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。
A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。
計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！
➂実例をご紹介
５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。
- 簡単な関数の変換事例
- t分布の確率密度関数の導出
- F分布の確率密度関数の導出
- 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
- 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法
(1) 簡単な関数の変換事例
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2変数の確率変数の変換がよくわかる(事例1) 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は２変数の簡単な関数を例に、教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。 |
(2) t分布の確率密度関数の導出
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t分布の確率密度関数の導出がよくわかる t分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にt分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。 |
(3) F分布の確率密度関数の導出
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F分布の確率密度関数の導出がよくわかる F分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にF分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。 |
(4) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
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2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は２変数の変換方法を使って、1変数Zの積Z=XYの例を、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ |
(5) 変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法
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2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は２変数の変換方法を使って、1変数Zの商Z=X/Yの例を、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ |
いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる」を解説しました。
- ①1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する
- ➁2変数の確率変数の変換の流れを理解する
- ➂実例をご紹介
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