回帰母数の検定と推定がよくわかる
「回帰母数の検定と推定がわからない」など、疑問に思いませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①回帰母数の検定・推定に必要な公式
- ➁回帰の検定が理解できる例題
- ➂回帰直線の傾きについての検定と推定
- ➃回帰直線の\(y\)切片についての検定と推定
①回帰母数の検定・推定に必要な公式
基本は、回帰直線の推定区間の導出から得られる公式を使って解いていきます。
理論は関連記事で確認ください。
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回帰直線の区間推定が導出できる(その1) 回帰直線の区間推定が暗記せず、公式が導出できますか？本記事では２回に分けて導出過程をわかりやすく解説します。公式暗記に頼らず式を理解することがとても大事です。回帰分析を勉強する人は必読です。 |
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回帰直線の区間推定が導出できる(その2) 回帰直線の区間推定が暗記せず、公式が導出できますか？本記事では２回に分けて導出過程をわかりやすく解説します。公式暗記に頼らず式を理解することがとても大事です。回帰分析を勉強する人は必読です。 |
傾き\(a\)について
関連記事からは、傾き\(a\)の期待値E[\(a\)]と分散V[\(a\)]は以下の式です。
●V[\(a\)]= \(\frac{σ^2}{S_{xx}}\)
なので、これが正規分布に従うとしたら、
傾き\(a\)は、N[\(a\)、\(\frac{σ^2}{S_{xx}}\)]
に従うと書けますね。
標準化して、正規分布を使った検定統計量を式にすると
は正規分布N(0,\(1^2\))に従います。
ただし、実際は\(σ^2\)を推定しないといけないので、よくt分布の直して検定と推定を行いますね。個人的には、別に正規分布のままで検定と推定してもよいと思いますけど。
\(σ^2\)→Veに直して、 残差の自由度\(n-2\)を使って、t分布に従う検定統計量を書き直します。
は自由度\(n-2\)のt分布に従い、
●区間推定は \(a\)± \(t(n-2,α)\)\(\sqrt{\frac{Ve}{S_{xx}}}\)
から計算します。
\(y\)切片\(b\)について
関連記事からは、傾きy切片\(b\)の期待値E[\(b\)]と分散V[\(b\)]は以下の式です。
●V[\(b\)]=\(σ^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})\)
なので、これが正規分布に従うとしたら、
傾き\(y\)切片\(b\)は、N[\(b\)、\(σ^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})\)]
に従うと書けますね。
標準化して、正規分布を使った検定統計量を式にすると
は正規分布N(0,\(1^2\))に従います。
ただし、実際は\(σ^2\)を推定しないといけないので、よくt分布の直して検定と推定を行いますね。個人的には、別に正規分布のままで検定と推定してもよいと思いますけど。
\(σ^2\)→Veに直して、 残差の自由度\(n-2\)を使って、t分布に従う検定統計量を書き直します。
は自由度\(n-2\)のt分布に従い、
●区間推定は \(b\)± \(t(n-2,α)\)\(\sqrt{Ve(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}})}\)
から計算します。
ＯＫですね。では、実例を使って計算してみましょう。
➁回帰の検定が理解できる例題
例題をあげましょう。
元のデータにおいては、
●傾き\(a_0\)=1.2
●\(y\)切片\(b_0\)=-8
だった。
(1) 傾き\(a\)において、元の傾きから変化したかどうかを検定せよ。
(2) 傾き\(a\)における信頼率95%の信頼区間を計算せよ。
(3) \(y\)切片\(b\)において、元の\(y\)切片から変化したかどうかを検定せよ。
(4) \(y\)切片\(b\)における信頼率95%の信頼区間を計算せよ。
| No | ｘ | ｙ |
| 1 | 1.3 | 2.4 |
| 2 | 3.4 | 4.5 |
| 3 | 5.6 | 3.6 |
| 4 | 7.5 | 6.7 |
| 5 | 9.1 | 8.9 |
| 6 | 11.2 | 6.6 |
| 7 | 13.4 | 14.3 |
| 8 | 13.7 | 24.5 |
| 9 | 14.2 | 20.8 |
| 10 | 16.2 | 30.5 |
| 合計 | 95.6 | 122.8 |
| – | 平方和 | 分散分析 | S | Φ | V | データ | – |
| Sxx | 226.50 | R | 659.52 | 1 | 659.52 | 傾き\(a\) | 1.7 |
| Syy | 866.28 | e | 206.76 | 8 | 25.84 | \(y\)切片\(b\) | -4.03 |
| Sxy | 386.50 | T | 866.28 | 9 | ー | R | 0.76 |
では解いてみましょう。
➂回帰直線の傾きについての検定と推定
傾きについての検定
検定統計量を使って計算します。
●\(t\)=\(\frac{1.70-1.2}{\sqrt{25.84/226.50}}\)
=1.50 < \(t(10-2,0.05)\)=2.306
より、傾きが変化したとはいえないという結果になります。
傾きについての推定
●区間推定=1.70± 2.306×\(\sqrt{\frac{25.84}{226.50}}\)
=0.93～2.49
となります。
基本をしっかりおさえていれば、あとは公式代入で解けます。もちろん、理論が一番大事ですよ！
➃回帰直線の\(y\)切片についての検定と推定
●\(t\)=\(\frac{-4.03-(-8)}{\sqrt{25.84(\frac{1}{10}+\frac{\bar{9.56^2}}{226.50})}}\)
=1.10 < \(t(10-2,0.05)\)=2.306
より、\(y\)切片が変化したとはいえないという結果になります。
傾きについての推定
●区間推定=-4.03±2.306×\(\sqrt{25.84(\frac{1}{10}+\frac{\bar{9.56^2}}{226.50})}\)
=-12.35～4.29
となります。
結構幅が広いことがわかりますね。
難しい計算問題でしたが、ちゃんとできましたね！
公式は導出できてから使いましょう。
まとめ
「回帰母数の検定と推定がよくわかる」を解説しました。
- ①回帰母数の検定・推定に必要な公式
- ➁回帰の検定が理解できる例題
- ➂回帰直線の傾きについての検定と推定
- ➃回帰直線の\(y\)切片についての検定と推定
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