品質工学、動特性、誤差因子2つの場合がわかる
「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①誤差因子１つで繰返し有りから始める
- ➁データの構造式
- ➂２乗和の分解(数式)
- ➃２乗和の分解(事例)
- ➄よく使う公式の導出
- ⑥SN比
ロバストパラメータ設計
タグチメソッド
手法に溺れるな！
数式と理論で理解しよう！
品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない！
⇒ＱＣプラネッツが解決！
品質工学の動特性＝回帰分析
なのに、わざわざ違うものとして扱っている
品質工学の独自性を出したいんでしょうけど、むしろ品質工学を理解しにくくしている！
品質工学の動特性は回帰分析と同じですよ！ 回帰分析の公式をそのまま使えばいいんですよ。
①誤差因子１つで繰返し有りから始める
品質工学も基本、データの構造式から始める
いろいろなモデルケースを品質工学で扱いますが、実験計画法や回帰分析と同様に
- データの構造式を立てる
- 2乗和の分解を確認
- 分散分析からF検定
必ずデータの構造式を立てて、
２乗和の分解（中間積和がすべて0）を確認して
変動成分を分散分析する
の流れで行きますし、
QCプラネッツの記事は全部、この１つの流れで解いています！
誤差因子１つで繰返し有りから始める
- 誤差因子１つで繰返し無しの場合
- 誤差因子１つで繰返し有りの場合
- 誤差因子2つで繰返し無しの場合
- ・・・
と１つずつ応用していきます。
データの構造式がどう変わっていくか？ 変動の分解ができて分散分析ができるかどうかを確かめていきます。
まずは関連記事で基礎を確認してください。
誤差因子が１つで繰返し有りの場合を理解した上で、
誤差因子が２つの場合である本記事を解説します。
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品質工学、動特性、誤差因子１つで繰返し有りの場合がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が１つで繰返しデータがある場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出しています。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。誤差因子が２つの場合を考える大事な記事です。 |
品質工学、動特性、誤差因子２つのある場合
誤差因子が１つある動特性のデータで繰り返し有りと
誤差因子が2つある動特性のデータの場合との違いを下表と下図にイメージを載せます。
| 繰返し | \(N_i\) | – | \(x_1\) | \(x_2\) | … | \(x_k\) |
| 有 | \(N_1\) | – | \(y_{111}\) | \(y_{121}\) | … | \(y_{1k1}\) |
| – | … | … | … | … | ||
| – | \(y_{11q}\) | \(y_{12q}\) | … | \(y_{1kq}\) | ||
| … | … | … | … | … | … | |
| \(N_n\) | – | \(y_{n11}\) | \(y_{n21}\) | … | \(y_{nk1}\) | |
| – | … | … | … | … | ||
| – | \(y_{n1q}\) | \(y_{n2q}\) | … | \(y_{nkq}\) | ||
| 繰返し | \(N_i\) | \(O_l\) | \(x_1\) | \(x_2\) | … | \(x_k\) |
| 無 | \(N_1\) | \(O_1\) | \(y_{111}\) | \(y_{121}\) | … | \(y_{1k1}\) |
| … | … | … | … | … | ||
| \(O_q\) | \(y_{11q}\) | \(y_{12q}\) | … | \(y_{1kq}\) | ||
| … | … | … | … | … | … | |
| \(N_n\) | \(O_1\) | \(y_{n11}\) | \(y_{n21}\) | … | \(y_{nk1}\) | |
| … | … | … | … | … | ||
| \(O_q\) | \(y_{n1q}\) | \(y_{n2q}\) | … | \(y_{nkq}\) |
➁データの構造式
動特性で繰り返し有りの場合
でしたね。これは関連記事にもすでに解説しています。
動特性で誤差因子２個の場合
では、誤差因子２個の場合のデータの構造式を書いてみます。誤差因子１個で繰り返し有りの場合からの変化を図で見てみましょう。
動特性で誤差因子２個の場合のデータの構造式は
となります。ちょこっと変化した感じですね。
➂２乗和の分解(数式)
2乗和の分解を解説
誤差因子2つの動特性のデータの構造式は
\(y_{ijl}\)=\(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)+\((\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})\)+\(( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)
ですから、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})^2\)
となりますが、実際に証明してみましょう。
なんでもそうですが、
- モデル式(データの構造式)を立てる
- 2乗和の分解、直交性を実際解いて確かめる
- 分散分析に持ち込む
がQCの基本です。
2乗和の分解を証明
実際に導出してみましょう。機械的に２乗して展開します。
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})\)=0
と6項とも０になることを証明します。
さすがに、数式の証明をブログで書くのは大変なので、関連記事で、具体事例を計算して、２乗以外の中間積和項がすべて0になることを解説します。
関連記事1
数式で証明するには、回帰から２つの制約条件を使います。
- \(β\)=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} β_i\)
- 回帰直線は必ず平均を通るので、
回帰直線上のｙ座標の値の合計は
測定データy座標の合計と等しい。
よって、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})^2\)
となりますし、誤差因子が２つの場合のデータの構造式も正しいことがわかります。
➃２乗和の分解(事例)
上の２乗和を証明しましたが、関連記事にて、実データを使って、２乗和の分解ができることを確認しています。ここやれば大丈夫！ 是非確認ください。
関連記事1
➄よく使う公式の導出
有効除数、線形式、傾きの導出
すでに回帰分析手法から導出していますが、動特性でよく使う公式を上げておきます。全部回帰分析から導出できるので、一緒に理解しておくと、混乱しないし、効率よく覚えられますよね。
- 有効除数\(r_i\)=\(r\)(共通)=\(S_{xx0}\)=\(\sum_{j=1}^{k}x_j^2\)
- 線形式\(L_{il}\)=\(S_{xyil}\)=\(\sum_{j=1}^{k} x_j y_{ijl}\)
- 傾き\(β\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} x_j y_{ijl}}{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} x_j^2}\)
- 傾き\(β_{il}\)=\(\frac{L_{il}}{r}\)
誤差因子が２つの場合になると、公式を暗記が大変なので、
データの構造式を立てて、
変動を計算し、
回帰直線を求める
流れで考えておけばOKですね。
実験計画法・回帰分析と比較しながら
解法の流れを理解しよう！
変動
先の２乗和の分解式を再掲すると、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})^2\)
となります。
この式の各項を
\(S\)=\(S_β\)+\(S_{N×β}\)+\(S_{O×β}\)+\(S_e\)
と変動を分解することができます。
つまり、
●\(S\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
●\(S_β\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
●\(S_{N×β}\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
●\(S_{O×β}\)\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})^2\)
●\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})^2\)
また自由度を入れて分散分析表を入れると下表になります。実験計画法と自由度が若干異なる点に注意しましょう。
| 変動 | 自由度 | |
| 比例項 | \(S_β\) | 1 |
| 誤差因子N | \(S_{N×β}\) | \(n-1\) |
| 誤差因子O | \(S_{O×β}\) | \(q-1\) |
| 誤差変動 | \(S_e\) | \(nkq-n-q+1\) |
| 総変動 | \(S\) | \(nkq\) |
自由度の簡単な求め方
各変動の式になる添え字に注目します。
●\(S_β\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
⇒ \(\hat{y_○}\)の\(j\)を1に変えて、1
●\(S_{N×β}\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
⇒ \(\hat{y_○}\)の\(i\)を¥(n¥)に、\(j\)を1に変えて、 \(n-1\)
●\(S_{O×β}\)\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{lj}}-\hat{y_j})^2\)
⇒ \(\hat{y_○}\)の\(l\)を¥(q¥)に、\(j\)を1に変えて、 \(q-1\)
●\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{lj}}+\hat{y_j})^2\)
⇒\(\hat{y_○}\)の\(i\)を¥(n¥)に、\(l\)を¥(q¥)に、\(j\)を1に変えて、
\(nkq-n-q+1\)
●\(S\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
⇒\(\hat{y_○}\)が無いので、そのまま\(nkq\)
というルールで見ると自由度が簡単に求められます。
誤差因子１つ繰返し有りの場合と比べると、全変動\(S\)と自由度\(nkq\)は不変ですが、
誤差因子O、\(S_{O×β}\)の有無の違いがあることがわかりますね。
⑥SN比
SN比は定義式通り当てはめるよりは、
●有効成分
●有害成分
がそれぞれどの変動に該当するかを吟味して比をとればOKです。
例えば
●SN比 η=\(\frac{S_β}{S_e}\)
とか、logをつけるとかいろいろ使いやすい値にカスタマイズしてください。
まとめ
「品質工学、動特性、誤差因子2つの場合がわかる」を解説しました。
- ①誤差因子１つで繰返し有りから始める
- ➁データの構造式
- ➂２乗和の分解(数式)
- ➃２乗和の分解(事例)
- ➄よく使う公式の導出
- ⑥SN比
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119