【簡単】わかりやすく理解できるポアソン分布

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さっそく見ていきましょう。

●You tube動画もご覧下さい

$$ f(x)= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!} $$

見た瞬間、「何じゃこりゃ？」ですね。
\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)とややこしい項ばかりですね。
式見てもグラフのイメージがつきません。
どうやってこの式ができたのか？イメージつきません
あなただけではありません。みんなイメージできません。

この式は何回使っても忘れます。忘れにくい方法があります

★ (A)\( e^{-λ}\)と\(λ^x \)と\( x!\)の書く順番を決める

\( e^{-λ}\)→\(λ^x \)→\( x!\)としましょう。入れ替わると私も式がわからなくなります。

★(B)変数が変わったときに要注意

本記事では、λ、xとしています。教科書によってはλ→m,x→kに変えていることがあります。要注意です。

★(C)覚え方

下図のように、λ,xの変数を一箇所に集めれば、間違いなく公式暗記できます。

ポアソン分布の導出は、基本わかりにくいです。
2つ導出方法があります。概要を解説します。詳細はここを参照ください。

(A)はいろいろな教科書やwebサイトでも紹介されています。
メリットは、計算過程がわかりやすいことです。
デメリットは、二項分布の極限がポアソン分布となり、分布の極限って何？と疑問に残ることです。

●二項分布からポアソン分布を導出します。
二項分布
P(X=k)=\( {}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\)
ここで、p=\(\frac{λ}{n}\)を代入します。
=\( {}_nC_k(\frac{λ}{n})^k(1-\frac{λ}{n})^{n-k}\)
=\( \frac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!} (\frac{λ}{n})^k (1-\frac{λ}{n})^n (1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
=\(\frac{λ^k}{k!}\)\(\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{n･n…n}\)\((1-\frac{λ}{n})^{\frac{n}{λ}}\)\((1-\frac{λ}{n})^{-k}\)
n→∞に持っていくと
→ \(\frac{λ^k}{k!}･1･e^{-λ}\)=\(e^{-λ}\frac{λ^k}{k!}\)
となり、ポアソン分布型に変形できました。
でも、難しいですね。よく二項分布の極限値がポアソン分布だと気がつきますよね。

一方、(B)はレアです。
メリットは、モデルから方程式を立てて導出するので納得感がある。
デメリットは、計算過程が難しいことです。

本記事では(B)のレア版を解説します。詳細解説を見る前に概要を理解しましょう。何をやっているのかを先に理解してください。

式の各項を説明しましたが、一読では「何を言っているのかわからない」と思います。数回読むと慣れてきます。この方程式がポアソン分布のモデル式です。

Pn(t+Δ)= Pn-1(t)(λΔ)+ Pn(t)(1-λΔ)
を解けばPn(t)の関数形が得られます。

変形すると
(Pn(t+Δ)-Pn(t))/Δ=λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
Δ→0にすると微分になりますから
\( \frac{d}{dt} Pn(t)\)= λ(-Pn(t)+Pn-1(t))
これを満たすPn(t)は
Pn(t)= \(e^{-λt}\frac{{λt}^n}{n!}\)
となり、ポアソン分布の関数になります。

(A)の二項分布の極限よりは、(B)のモデル式から導出する方が納得感はあります。ポアソン分布は難しいため、わかりやすく解説しても、この難しさです。

具体例を見てみましょう。なお、期待値、分散の導出も重要ですが、詳細解説で説明するとして、ここでは、ポアソン分布を具体的な値を使って慣れる練習をしましょう。

二項分布とポアソン分布は別物ですが、
割合の場合は二項分布、
個数の場合はポアソン分布、
を扱うだけで、上の問いはどちらの分布でも計算ができます。

●二項分布の場合
\( P_x={}_nC_x p^r (1-p)^{n-x}\)
=\(_{10}C_x (\frac{1}{20})^x (1-\frac{1}{20})^{10-x}\)

●ポアソン分布の場合
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
=\( e^{-\frac{1}{20}}\)\(\frac{(\frac{1}{20})^x}{x!}\)

エクセルで計算した結果と、両者の結果を比較します。xが小さいとほぼ値は等しいですが、徐々に値がずれていくのがわかります。

不良個数と来たら、ポアソン分布の公式を書きましょう。
\(P_x= e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\)
λが必要になります。
λは不良数×抜取数÷全数とします。
λ：➀1②2③4④5⑤10となります。グラフは次のようになります。

ポアソン分布は、λが高くなるにつれて正規分布に近似できます。
二項分布もポアソン分布も最初から正規分布で計算してもそれほど結果は変わらないということになりますが、試験では各々の分布に関する問題が出ますので勉強しましょう。実務は正規分布で良いでしょうね。

①②③と解説しました。再度重要なポイントを確認しましょう。

\(e^{-λ} \frac{λ^x}{x!}\)という変な式を実際に変形するなどして、触ってみましょう。習うより慣れよ！です。１つ例題を出します。

どうでしょうか？一見難しそうですが、 式を難しくしている\(\sum_{x=0}^{∞} \frac{λ^x}{x!}\)が意外な値になります。テイラー展開を思い出すと

この式を問題文の式に代入すると
\(\sum_{x=0}^{∞} f(x)\)
=\( e^{-λ} \sum_{x=0}^{∞} \frac{λ^x}{x!}\)
=\( e^{-λ} e^λ \)
=1

となりますね。扱いにくい\(\frac{λ^x}{x!}\)が少し身近に感じていただける例題で確認しました。

ポアソン分布の期待値Ｅ、分散Ｖも共にλになります。式が複雑なわりに期待値と分散は分布関数の中で最もシンプルになるので、不思議です。

(1)を解きます。

期待値E[X]≡xf(x)という意識で式を作ります。
E[X]= \(\sum_{k=0}^{∞}\)\(k\) ×\(\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
と式を書いて、変形していきます。

E[X]= \(\sum_{k=0}^{∞} k\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
(k=0の場合、\( 0　\frac{λ^0}{0!} e^{-λ}\)=0より、)
= \(\sum_{k=1}^{∞} k\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
= \( λe^{-λ} \sum_{k=1}^{∞} \frac{λ^{k-1}}{(k-1)!} \)
(\(\frac{λ^{k-1}}{(k-1)!} e^{-λ}\)をセットで考えると)
= \( λe^{-λ} e^{-λ}\)
=λ
となります。

(2)を解きます。ここで、テクニックですが、
E[X²]ではなく、E[X(X-1)]を求めます。

期待値E[X(X-1)]≡x(x-1)f(x)という意識で式を作ります。
E[X(X-1)]= \(\sum_{k=0}^{∞}\)\(k(k-1)\) ×\(\frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
と式を書いて、変形していきます。

E[X(X-1)]= \(\sum_{k=0}^{∞} k(k-1) \frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
(k=0,1の場合、\( k(k-1) \frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)=0より)
= \(\sum_{k=2}^{∞} k(k-1) \frac{λ^k}{k!} e^{-λ}\)
=\( e^{-λ} λ^2 \sum_{k=2}^{∞} \frac{λ^{k-2}}{(k-2)!} \)
=\( e^{-λ} λ^2 e^λ \)
(\(\frac{λ^{k-2}}{(k-2)!} e^{-λ}\)をセットで考えると)
=\(λ^2\)

ここで、
V[X]=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]²
=\(λ^2\)+\(λ\)-\(λ^2\)
=\(λ\)
となります。

少しずつでいいので、ポアソン分布に慣れましょう。

苦手意識が強い、ポアソン分布についてわかりやすく解説しました。