OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布をマスターする
「OC曲線を作る確率分布がわからない」、「超幾何分布、二項分布、ポアソン分布の違いがわからない」など確率分布への苦手意識がありませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
抜取検査はすべてOC曲線をベースに考える
ポアソン分布を使ったOC曲線はあまり試験等に出ませんが、QCプラネッツではどんどん紹介します。
- ➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる
- ②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く
- ③OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布
➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる
超幾何分布と二項分布を理解する
高校数学の確率がわかればOK！
二項分布と似ていますが、次の点で区別します。
超幾何分布：母集団のデータ数Nが有限、計算式が複雑
超幾何分布は、二項分布より手間がかかり、面倒ですが、母集団のデータ数を考慮したい場合使います。
超幾何分布と二項分布
確率の問題を使って超幾何分布と二項分布を比較します。
超幾何分布： \(\frac{ {}_{Np} C_{r}\ {}_{N-Np} C_{n-r}}{ {}_N C_n}\)
二項分布： \( _n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
全体N個、不良総数はNp個なので、n個を抜き取る場合、
●良品は、全体(N-Np)個から(n-r)個抜き取られ、
●不良品は、全体Np個からr個抜き取られます。
これを確率の式に入れればOKです。高校数学のレベルです。
超幾何分布はN,p,n,rの変数で確率を表現しましたが、
二項分布はp,n,rです。Nはありません。
Nが十分大きい場合、超幾何分布と二項分布は同じとみなせます。
ポアソン分布と二項分布を理解する
ポアソン分布は式が難解すぎる
ポアソン分布は二項分布と似ていますが、次の点で区別します。
ポアソン分布：不良個数のような個数や数で表現したい場合
ポアソン分布は難しいので、関連記事にわかりやすく解説しています。
●ポアソン分布の式の覚え方
●ポアソン分布の式の導出
●ポアソン分布と二項分布の関係
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【簡単】わかりやすくできるポアソン分布【初心者向け】 ポアソン分布の式がわからない・覚えられない、どんな場合に活用するかわからない、と苦手意識はありませんか？本記事では、ポアソン分布の関数の導出、正規分布近似、活用方法をわかりやすく解説します。ポアソン分布が全く理解できない方は必見です。 |
本記事では、二項分布とポアソン分布はnが大だと同じになるので、OC曲線が両方の分布で描けることを解説します。
②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く
OC曲線を描く準備をします。１つ確率の問題を出します。
式を作ります。
●超幾何分布：\(\sum_{r=0}^{2} \frac{ {}_{Np} C_{r}\ {}_{N-Np} C_{n-r}}{ {}_N C_n}\)=
\(\sum_{r=0}^{2} \frac{ {}_{10} C_{r}\ {}_{90} C_{10-r}}{ {}_{100} C_{10}}\)
●二項分布：\(\sum_{r=0}^{2} {}_{10} C_r 0.1^r 0.9^{10-r}\)
●ポアソン分布：\(\sum_{r=0}^{2} exp(-np) \frac{(np)^r}{r!}\)=\(\sum_{r=0}^{2} exp(-1) \frac{(1)^r}{r!}\)
ポアソン分布の式にnp=10×10%=1となるtがところが難しいですね。
計算すると、
●超幾何分布: 0.9399
●二項分布：0.9281
●ポアソン分布 0.9197
とほぼ等しい結果になります。
数値が等しくなるので、OC曲線を作ることができます。
OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布
先の例題は不良率p=10%の１点についてだけ計算しました。pとロット合格確率L(p)の関係を調べましょう。
一般化して式を作ります。
●超幾何分布：L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} \frac{ {}_{Np} C_{r}\ {}_{N-Np} C_{n-r}}{ {}_N C_n}\)
●二項分布：L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} {}_{n} C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
●ポアソン分布：L(p)=\(\sum_{r=0}^{c} exp(-np) \frac{(np)^r}{r!}\)
OC曲線を描きます。
抜取個数、許容不良数が同じの場合は、超幾何分布、二項分布、ポアソン分布
からできるOC曲線はほぼ同一です。
多くの教科書は、代表して二項分布から作るOC曲線を取り上げますが、
QCプラネッツは二項分布、ポアソン分布から作るOC曲線を取り上げます。
ポアソン分布：不良個数のような個数や数で表現したい場合
不良率、不良個数が検査合否規準に重要なパラメータであるからです。
超幾何分布は名前も、数式も難しいですが、二項分布にほぼ近似してよいでしょう。OC曲線からも明らかです。
まとめ
OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布について解説しました。OC曲線を構成する式の導出、式の意味を理解することが重要です。
- ➀超幾何分布、二項分布、ポアソン分布がわかる
- ②超幾何分布、二項分布、ポアソン分布で確率問題を解く
- ③OC曲線を作る超幾何分布、二項分布、ポアソン分布
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