選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量がわかる
「平均検査量って何？」、「平均検査量の最小化と不良率との関係がよくわからない」と選別型抜取検査の平均検査量がわからず、困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量がわかる
- ➀平均検査量を導出
- ②平均検査量の最小値(二項分布)を導出
- ③平均検査量の最小値(ポアソン分布)を導出
➀平均検査量を導出
平均検査量を定義
選別型抜取検査では、抜取回数が変わるため、平均検査量を評価する必要があります。
平均検査量I=(抜取個数)×(ロットの合格率)+ (全体個数)×(ロットの不合格率)
で定義します。
n=(抜取個数) (n
L(p)= (ロットの合格率)
N=(全体個数)
1-L(p)= (ロットの不合格率)
とすると、
I= nL(p) + N(1-L(p))
となります。
また、
I=n-n+ nL(p) + N(1-L(p))
と変形すると、
I=n-n(1-L(p))+N(1-L(p))
I=n+(N-n)(1-L(p))
と変形ができます。
よく教科書に出る式ですね。
規準型抜取検査で平均検査量を導出
なお、規準型抜取検査で平均検査量を導出してみます。
平均検査量I=(抜取個数)×(ロットの合格率)+ (全体個数)×(ロットの不合格率)
I= nL(p) + n(1-L(p))
I=n
となります。
規準型抜取検査は全数個数抜き取らないので、個数は抜取数nとします。
規準型抜取検査はn個検査しますので、I=nになるのは当然です。
選別抜取検査の平均検査量は規準型抜取検査の検査量より多い
平均検査量Iについては、関連記事で解説しています。
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2回抜取検査の第1サンプルの合格判定数acが導出できる JISZ9015 AQL指標型抜取検査方式の2回抜取検査の第1サンプルのac,reを決める方法を知っていますか？単に抜取表の使い方だけしか知らないままでしょうか？本記事では、OC曲線や平均検査量を使って、合格判定数の決め方を解説しています。多回抜取検査について知りたい方は必見です。 |
平均検査量Ｉを比較すると
●選別型抜取検査I1= n+(N-n)(1-L(p))
●規準型抜取検査I2= n
より
I1– I2
=(N-n)(1-L(p)) >0
より、
選別抜取検査の平均検査量は規準型抜取検査の検査量より多くなります。
平均検査量Ｉが規準型抜取検査より多くなるデメリットがある分、
途中で全数検査に切り替えることによる検査後にすり抜ける不良率を低減するメリットがあります。
どんな手法も必ず、一長一短があるので、手法どうしを比較しながら理解していきましょう。
②平均検査量の最小値(二項分布)を導出
平均検査量Iを最小にする不良率p
平均検査量Iを最小にする不良率pを考えます。
\(\frac{dI}{dp}\)
=\(\frac{d}{dp} (nL(p)+N(1-L(p))) \)
= (n-N)\(\frac{d}{dp} L(p) \)
=(*)
L(p)= \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)を代入します。
(*)=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (rp^{r-1} (1-p)^{n-r}+ p^r (n-r)(-1)(1-p)^{n-r-1})\)
=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^{r-1} (1-p)^{n-r-1} (r-pn)\)
\(\frac{dI}{dp}\)=0の条件は、
r-pn=0
つまり、p=r/n
のときです。
よって、
p=r/n
の場合が、平均検査量Iが最小になります。
平均検査量Iが最小になる意味
p=r/n のとき、\(\frac{dI}{dp}\)=0となり、
平均検査量Iは最小になります。
これはどういう意味か？を考えます。
rは変数で0から合格判定個数ac2まで変わる整数値です。
0 ≤ r ≤ ac2
サンプル数nと合格判定個数ac2との比が不良率pになるように調整すると、
平均検査量をおさえることができるとわかります。
ac2=4個,n=100個とすると
p =r/n ≤ ac2/n=4/100=4%
くらいで見ておくと、平均検査量Iを小さくできます。
③平均検査量の最小値(ポアソン分布)を導出
平均検査量Iを最小にする不良率p
平均検査量Iを最小にする不良率pを考えます。
\(\frac{dI}{dp}\)
=\(\frac{d}{dp} (nL(p)+N(1-L(p))) \)
= (n-N)\(\frac{d}{dp} L(p) \)
=(*)
L(p)= \( \sum_{r=0}^{c} e^{(-np)}\frac{(np)^r}{r!}\)を代入します。
(*)=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} ((-n)e^{-(np)}\frac{(np)^r}{r!}\)
+\(e^{-(np)}\frac{r n^r p^{r-1}}{r!}\))
=(n-N) \( \sum_{r=0}^{c} e^{-(np)} \frac{n^rp^{r-1}}{r!} (r-pn)\)
\(\frac{dI}{dp}\)=0の条件は、
r-pn=0
つまり、p=r/n
のときです。
よって、
p=r/n
の場合が、平均検査量Iが最小になります。
二項分布の場合と同じ結果になりました。
平均検査量Iが最小になる意味
二項分布の場合と同じですが、再掲します。
p=r/n のとき、\(\frac{dI}{dp}\)=0となり、
平均検査量Iは最小になります。
これはどういう意味か？を考えます。
rは変数で0から合格判定個数ac2まで変わる整数値です。
0 ≤ r ≤ ac2
サンプル数nと合格判定個数ac2との比が不良率pになるように調整すると、
平均検査量をおさえることができるとわかります。
ac2=4個,n=100個とすると
p =r/n ≤ ac2/n=4/100=4%
くらいで見ておくと、平均検査量Iを小さくできます。
まとめ
選別型抜取検査（JISZ9015）の平均検査量について解説しました。
- ➀平均検査量を導出
- ②平均検査量の最小値(二項分布)を導出
- ③平均検査量の最小値(ポアソン分布)を導出
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