JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式
「計量抜取検査(標準偏差既知) (JISZ9003)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式
- ①下限合格判定値についての関係式を導出
- ②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
- ③演習問題
- ④OC曲線を描く
上限規格値については、関連記事で確認ください。
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JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限合格判定値が既知の抜取方式 JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について解説します。 サンプル数n、下限合格判定値の関係式の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。 |
①下限合格判定値についての関係式を導出
関係式を導出するためのモデル図を作成
次のような計量抜取検査を考えます。
● 下限合格判定値\(\bar{X_L}\)以上のロットは合格
● 下限合格判定値\(\bar{X_L}\)以下のロットは不合格
とする。前者はできるだけ合格させたいが、後者はできるだけ不合格にさせたいような抜取検査を考えたい。
モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。
できるだけ合格させたいp0はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp1はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。
関係式を導出
モデル図から次の式が導かれます。見たらわかりますね。
計量抜取検査の理論は、モデル図から式を導出します
①\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
②下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の関係式を作ります。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
サンプル数nの導出
式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)
よって、
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)
下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α} σ_{\bar{x}}\)
=\(μ_0\)-\(K_{α} \frac{μ_0-μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ K_{β} μ_0+ K_{α} μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
なお、サンプル数nと、合格判定値の式は
下限の場合も上限の場合も同じ式になります。
②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
下限規格値の場合
●合格判定係数k=k\((K_{α}, K_{β}, K_{p0}, K_{p1})\)
を導出
下限合格判定値の場合
●下限合格判定値\(\bar{X_L}\)=\((K_{α}, K_{β}, μ_0,μ_1 \))
を導出
サンプル数nを表現する変数が変わることと
合格判定係数kではなく、直接下限合格判定値を使うこと
の2点の違いがあります。
③演習問題
サンプル数nと下限合格判定値\(\bar{X_L}\)を使って、計量抜取検査のOC曲線が描けます。その前に演習問題を出して考えましょう。
あるスナック菓子のロットの平均値が120g以上ある場合は、できるだけ合格させたいが、118g以下の平均値をもつロットはできるだけ不合格にしたい。ただし、ロットの標準偏差は1gとわかっている。このとき、第1種の誤りであるα=0.05,第２種の誤りであるβ=0.10とした場合の抜取方式を決めよ。
うん、難しそう。。。でも１つずつ見ていきましょう。
まず、検査は抜取検査をやろうとしていますね。
次に、扱う変数は厚さという計量値を検査しようとしていますね。
最後に、下限合格判定値が決まっていますね。
サンプル数nと下限合格判定値\(\bar{X_L}\)を導出した公式から求めましょう。
まず、確率から\(K_{α}\)、\(K_{β}\)
がわかります。正規分布表を活用します。
\(K_{α}\)=1.645 (α=0.05のときのK値)
\(K_{β}\)=1.282(β=0.10のときのK値)
正規分布表に苦手意識があれば関連記事で復習しましょう。
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サンプル数nは
n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{120-118})^2 1^2\)
=3
n=3かあ、少なすぎますが、数学的は正しいので仕方がありません。
\(\bar{X_L}\)
=\(\frac{ K_{β}μ_0+ K_{α}μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)
=\(\frac{ 1.282×120+ 1.645×118}{ 1.645+ 1.282}\)
=118.88
まとめると
(n, \(\bar{X_L}\))=(3,118.88)の値で、
平均値が118.88g以上ならロット合格、未満ならロット不合格
となります。
④OC曲線を描く
上の演習問題の結果をOC曲線で描きます。
OC曲線を描くための準備
なお、OC曲線を描くために、の関係式を再度書きます。
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β} σ/\sqrt{n}\)
ここで、\(μ_1\),βを一般化して、
\(μ_1\)⇒μ
β⇒L(μ)
に変えます。慣れないとここの変化は無理矢理感がありますけど。
μ=\(\bar{X_L}\)-\(K_{ L(μ)} σ/\sqrt{n}\)
\(\frac{μ_\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)=\(K_{ L(μ)}\)
\(\frac{μ_\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)=\(K_{ L(μ)}\)
L(p)の作り方
- μを変数として値を振る。
- \(\frac{μ-\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\)を計算する。
- μとL(μ)の関係からOC曲線を描く。
では、実際にやってみましょう。表にまとめます。
| μ | μ-\(\bar{X_L}\) | \(\frac{μ-\bar{X_L}}{σ}\) | \(\frac{μ-\bar{X_L}}{σ} \sqrt{n}\) | L(μ) |
| 117 | -1.88 | -1.88 | -3.256 | 0.001 |
| 117.5 | -1.38 | -1.38 | -2.39 | 0.008 |
| 118 | -0.88 | -0.88 | -1.524 | 0.064 |
| 118.5 | -0.38 | -0.38 | -0.658 | 0.255 |
| 119 | 0.12 | 0.12 | 0.208 | 0.582 |
| 119.5 | 0.62 | 0.62 | 1.074 | 0.859 |
| 120 | 1.12 | 1.12 | 1.94 | 0.974 |
| 120.5 | 1.62 | 1.62 | 2.806 | 0.997 |
| 121 | 2.12 | 2.12 | 3.672 | 1 |
ここで、表の計算式をExcelの式を使って表現しています。
L(p)= (NORM.DIST(\(K_{L(p)}\)の値,0,1,TRUE))
OC曲線を描く
OC曲線です。計数抜取検査と似たような曲線になります。
普段、右下がりのOC曲線ですが、今回は逆の右上がりの曲線になりました。
右上がりなOC曲線もたまに見かけるので、知っておいてください。
計量抜取検査は式変形が多いですが、慣れましょう。
まとめ
JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。
- ①下限合格判定値についての関係式を導出
- ②下限合格判定値と下限規格値の導出方法の違い
- ③演習問題
- ④OC曲線を描く
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