★ 本記事のテーマ
- ①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
- ②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
- ③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
- ⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題
「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法」がわかる!
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①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
データの構造式
3因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
★三元配置実験のデータの構造式
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(βγ) jk
+(αβγ) ijk+ eijkl
各平均値をデータの構造式で作る
α、β、γは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。
\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0
\(\sum_{j=1}^{b} β_j\)=0
\(\sum_{k=1}^{c} γ_k\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγ)_{ik}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}\)=0
この関係が、平方和の分解にて
(x+y)2=x2+ y2, xy=0
を満たします。
なお、母数因子ではない変量因子の場合は上の式が0ではない値になります。
★ 平均値の式の代表例
データの構造式
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(βγ) jk
+(αβγ) ijk+ eijkl
\(\bar{x_{i･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･･･}}\)
\(\bar{x_{･j･･}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･j･･}}\)
\(\bar{x_{･･k･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k･}}\)
\(\bar{x_{ij･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij･･}}\)
\(\bar{x_{i･k･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{i･k･}}\)
\(\bar{x_{･jk･}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{･jk･}}\)
\(\bar{x_{ijk･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{ijk･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)
②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| SA | SB | SC | SA×B | SA×C | SB×C | SA×B×C | Se | |
| \(x_{ijkl}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{i･･･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{･j･･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{･･k･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{ij･･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{i･k･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{･jk･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{ijk･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。
SC、SA×B×C,Seを例に挙げます。
\(S_C\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_{ A×B×C }\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)\(\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((x_{ijkl}-\bar{x_{ijk･}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣΣΣ( )^2で計算できます。
③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事
「確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】」
をご覧下さい。
 |
確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】 期待値と分散の導出過程を確認しましょう！ |
本記事では因子C、残差eについて導出過程を詳しく見ていきます。
●因子A,Bについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。
 |
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主効果の分散の期待値の導出
E[\(S_C\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\( (γ_k+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((γ_k )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(abd(c-1)σ_C^2\) +\((c-1)(σ_e^2\))
主効果Cの自由度は(c-1)より、分散の期待値E[VC]が求まります。
E[\(V_C\)]=\(abdσ_C^2\) +\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_C^2\)=E[\(\frac{\sum_{k=1}^{c}γ_k^2}{c-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。
交互作用の分散の期待値の導出
E[\(S_{ A×B×C }\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} \)
\((\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij‥}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)
+\(\bar{x_{i･･･}}+\bar{x_{･j･･}}+\bar{x_{･･k･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβγ)_{ijk}+(\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･}}-\bar{e_{･j‥}}-\bar{e_{･･k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβγ)_{ijk}^2)\)]
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij‥}}-\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{･jk･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･}}+\bar{e_{･j‥}}+\bar{e_{･･k･}}-\bar{\bar{e}}))^2\)]
●第1項：
=dE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αβγ)_{ijk}^2)\)
=\(d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2\)
●第2項：
結論から言うと
eの添え字を見ると
ijk-ij-ik-jk+i+j+k-1が見えるので、i⇒a,j⇒b,k⇒cに変えます。
⇒abc-ab-ac-bc+a+b+c-1になるので、因数分解して
=\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)
E[\(S_{A×B×C}\)]
=\(d(a-1)(b-1)(c-1)σ_{A×B×C}^2\)
+\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)
交互作用A×B×Cの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[VA×B×C]が求まります。
E[\(V_{A×B×C}\)]=\(dσ_{A×B×C}^2\)+\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{ A×B×C }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}^2}{(a-1)(b-1)(c-1)}\)]
残差の分散の期待値の導出
E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((x_{ijkl}-\bar{ x_{ijk･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)\((e_{ijkl}-\bar{ e_{ijk･}})^2\)]
=abc(d-1)\(σ_e^2\)
(結論を言うと同様に ijkl-ijkをabcdに直して、abcd-abcを因数分解します。)
E[\(S_e\)]= abc(d-1)\(σ_e^2\)
残差eの自由度はabc(d-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。
E[e]=\(σ_e^2\)
④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。
関連記事
「【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)」
に解説しています。
まとめると次の3つです。
 |
【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読) 実験計画法はデータの構造式ですべて解けることを解説します！ |
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
| SA | SB | SC | SA×B | SA×C | SB×C | SA×B×C | Se | |
| a | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| b | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| c | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| ab | 1 | -1 | ||||||
| ac | 1 | -1 | ||||||
| bc | 1 | -1 | ||||||
| abc | 1 | -1 | ||||||
| abcd | 1 | |||||||
| 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| A | a-1 | \(σ_e^2\)+bcd\(σ_A^2\) |
| B | b-1 | \(σ_e^2\)+acd\(σ_B^2\) |
| C | c-1 | \(σ_e^2\)+abd\(σ_C^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σ_e^2\)+cd\(σ_{A×B}^2\) |
| A×C | (a-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+bd\(σ_{A×C}^2\) |
| B×C | (b-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+ad\(σ_{B×C}^2\) |
| A×B×C | (a-1)(b-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+d\(σ_{A×B×C}^2\) |
| e | abc(d-1) | \(σ_e^2\) |
| T | abcd-1 | – |
⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
関連記事
「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」
で確認ください。
 |
【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！ |
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
★区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。
 |
サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】 サタースウェイトの等価自由度が導出できる方法をわかりやすく解説します！ |
主効果の点推定と区間推定の導出
★分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
Ve=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve
★主効果の点推定と区間推定
●点推定： \(\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{‥k･}}\)=\(\widehat{μ+γ_k}\)
=\(μ+\bar{e_{‥k･}}\)
●分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(C_k))\)
=V[μ+\(\bar{e_{‥k･}}\)]
=V[\(\bar{e_{‥k･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{abd}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
★交互作用の区間推定
●点推定： \(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)\)=\(\bar{x_{ijk･}}\)
=\(μ+α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}\)
●分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))\)
=V[μ+\(α_i+β_j＋γ_k+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{ijk･}}\)]
=V[\(\bar{e_{ijk･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{d}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題
本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。
三元配置実験(繰り返し有り)について、次のデータの構造式を考える。
xijkl=μ+αi+βj+γk
+ (αβ) ij+(αγ) ik
+(αβγ) ijk+ eijkl
((βγ) jkをeijklmにプーリングした場合を考える。)
因子A,B,Cの自由度はそれぞれa,b,cとする。
(1)主効果、交互作用,残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)主効果,交互作用の点推定と区間推定を計算せよ。
(是非、解いてみましょう！)
まとめ
以上、「三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」を解説しました。
- ①三元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
- ②三元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
- ③三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ④三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
- ⑤三元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑥三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題
