カテゴリー: 手法

★【QC検定®１級合格】多変量解析問題集を販売します！

【QC検定®合格】「多変量解析」問題集を販売します！ 内容は、①回帰分析 単回帰分析・重回帰分析 の復習、➁ 主成分分析、➂判別分析、➃因子分析、➄数量化分析の５章全４２題を演習できる問題集です。

簡単にいうと

下右図のように相関性が高い順に並び替えると、ある一定の並び方が見えやすくするのが、数量化3類の解析目的です。

正直、数量化○○で分類するとかえって理解しにくいです。

手法を分類するとわかりやすいですが、QCプラネッツは気にしなくていいと考えます。

変数を0,1などのダミー変数を使ったり、整数値にする場合もあるし、実数を使う場合もありますが、それは解析者の自由でよいでしょうね。そうなると、数量化１類は重回帰分析でいいんですよ！

どの、教科書も同じことを書くので、
「皆が同じことを書くと正しいと思いがち」ですが、
自分に合わない、気に入らない考えがあれば、自分に合う定義で分類してもOKですよ！

では、数量化3類の解法を解説します！　次のステップで解いていきます。

よく見ると、

なので、注意したいのは、

主成分分析でも同じことを解説しています。関連記事で紹介します。

主成分分析が計算できる 主成分負荷量、主成分得点、主成分平方和、主成分の寄与率は説明・計算ができますか？ 本記事は各変数の導出方法を丁寧に解説します。ただ、主成分分析の本質は先に習得しておきましょう。多変量解析を学ぶ人は必読です。

では、実データを使いながら解説します。

あるアンケートを取ったら、下表のようになったとしましょう。これを数量化3類で分析しましょう。

解析しやすくするために、
●平均0
●分散1
とします。

★ 平均

●\(\bar{a}\)=\(\frac{2a_1+2a_2+a_3}{5}\)=0
●\(\bar{b}\)=\(\frac{2b_1+b_2+2b_3}{5}\)=0

★ 分散

●\(V_a\)=\(\sum_{i=1}^{5}\frac{(a_i-\bar{a})^2}{5}\)=\(\sum_{i=1}^{5}\frac{a_i}{5}\)
=\(\frac{1}{5}(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)\)=1
●\(V_b\)=\(\sum_{i=1}^{5}\frac{(b_i-\bar{b})^2}{5}\)=\(\sum_{i=1}^{5}\frac{b_i}{5}\)
=\(\frac{1}{5}(2b_1^2+b_2^2+2b_3^2)\)=1

まとめると、

相関係数\(r\)は
\(r\)=\(\frac{S_{ab}}{S_{a} S_{b}}\)
ですね。

分母はすでに分散のところで計算済なので、
●\(S_a\)=\((2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)\)=5
●\(S_b\)=\((2b_1^2+b_2^2+2b_3^2)\)=5

分子を計算すると、
●\(S_{ab}\)\(\sum_{i=1}^{5} \sum_{j=1}^{5}(a_i-\bar{a})(b_j-\bar{b})\)
=\(a_1 b_2+a_1 b_3 + a_2 b_1 + a_2 b_3 + a_3 b_1\)

よって、相関係数\(r\)は

\(a,b\)の制約条件は、分散の式から
●\(\frac{1}{5}(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)\)-1=0
●\(\frac{1}{5}(2b_1^2+b_2^2+2b_3^2)\)-1=0

関数Fを下式で定義します。今回変数が\(a,b\)の2種類があるので\(λ_1,λ_2\)を使います。

相関係数\(r\)が最大になる条件は、
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a_1}\)=\(\frac{1}{5}(b_2+b_3)-\frac{2λ_1}{5}a_1\)=0 …①
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a_2}\)=\(\frac{1}{5}(b_1+b_3)-\frac{2λ_1}{5}a_2\)=0 …➁
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a_3}\)=\(\frac{1}{5}(b_1)-\frac{λ_1}{5}a_3\)=0 …➂
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b_1}\)=\(\frac{1}{5}(a_2+a_3)-\frac{2λ_2}{5}b_1\)=0 …➃
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b_2}\)=\(\frac{1}{5}(a_1)-\frac{λ_2}{5}b_2\)=0 …➄
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b_3}\)=\(\frac{1}{5}(a_1+a_2)-\frac{2λ_2}{5}b_3\)=0 …⑥

①～⑥の式を整理していきます。

①×\(a_1\)+➁×\(a_2\)+➂×\(a_3\)
\(\frac{1}{5}(a_1 b_2+a_1 b_3 -2λ_1 a_1^2)\)+\(\frac{1}{5}(a_2 b_1+a_2 b_3 -2λ_1 a_2^2)\)+\(\frac{1}{5}(a_2 b_1 -λ_1 a_3^2)\)=0
\(\frac{1}{5}( a_1 b_2+a_1 b_3+ a_2 b_1+a_2 b_3+ a_2 b_1)\)-\(\frac{λ_1}{5}(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)\)=0 (式1)
ここで、
●\(r\)=\(\frac{1}{5}( a_1 b_2+a_1 b_3+ a_2 b_1+a_2 b_3+ a_2 b_1)\)
●\(\frac{λ_1}{5}(2a_1^2+2a_2^2+a_3^2)\)=1
より、(式1)は
\(r\)=\(λ_1\)
とシンプルになります。

同様に
➃×\(b_1\)+⑤×\(b_2\)+⑥×\(b_3\)
\(\frac{1}{5}( a_1 b_2+a_1 b_3+ a_2 b_1+a_2 b_3+ a_2 b_1)\)-\(\frac{λ_2}{5}(2b_1^2+b_2^2+2b_3^2)\)=0 (式1)
ここで、
●\(r\)=\(\frac{1}{5}( a_1 b_2+a_1 b_3+ a_2 b_1+a_2 b_3+ a_2 b_1)\)
●\(\frac{λ_1}{5}(2b_1^2+b_2^2+2b_3^2)\)=1
より、(式1)は
\(r\)=\(λ_2\)
とシンプルになります。

まとめると、

\(λ_1\)=\(λ_2\)=\(λ\)として、①➁➂式から
●\(a_1\)=\(\frac{b_2 +b_3}{2λ}\)　…①
●\(a_2\)=\(\frac{b_1 +b_3}{2λ}\)　…➁
●\(a_3\)=\(\frac{b_1}{λ}\)　…➂

➃➄⑥式に代入すると
●\(\frac{b_1 + b_3}{2λ}-2λb_1\)=0 …➃
●\(\frac{b_2 + b_3}{2λ}-λb_2\)=0 …➄
●\((\frac{b_2 + b_3}{2λ}+\frac{b_1 + b_3}{2λ})-2λb_3\)= …⑥

この式を行列表記すると、結果的、固有方程式ができます。

\(\left(
\begin{array}{cccc}
\frac{3}{2}-2λ^2 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2}-λ^2 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1-2λ^2
\end{array}
\right)
\)\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=
\(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\)

上の固有方程式から、下の行列式=0となる条件を解けばOKです。3次方程式になりますが、頑張って解きます！

\(\begin{vmatrix}
\frac{3}{2}-2λ^2 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2}-λ^2 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1-2λ^2
\end{vmatrix}\)=0

行列式を解くと、
\((\frac{3}{2}-2λ^2)(\frac{1}{2}-λ^2)(1-2λ^2)\)-\(\frac{1}{4}(\frac{1}{2}-λ^2)\)-\(\frac{1}{4}(\frac{3}{2}-2λ^2)\)=0

\(λ^2=t\)(\(t\) ≥ 0)とおくと、
\(16t^3-28t^2+13t-1\)=0
\((t-1)(t-\frac{3-\sqrt{5}}{8})( t-\frac{3+\sqrt{5}}{8})\)=0
\(t\)=1,0.6545,0.0955
\(λ\)=1,0.809,0.309 (\(λ\)も正についてのみ考えます。)

ここまでで、固有値解が計算できました。次は固有ベクトルを計算してデータの関係性を確認します。

固有値が３つ（\(λ\)=1,0.809,0.309）求まりましたので、それぞれの固有ベクトルを計算しましょう。

固有値\(λ\)=1のとき

固有方程式は

\(\left(
\begin{array}{cccc}
-0.5 & 0 & 0.5 \\
0 & -0.5 & 0.5 \\
0.5 & 0.5 & -1
\end{array}
\right)
\)\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=
\(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\)

計算すると
\(b_1\)=\(b_2\)=\(b_3\)
\(a_1\)=\(\frac{b_2+b_3}{2λ}\)=\(b_1\)
\(a_2\)=\(\frac{b_1+b_3}{2λ}\)=\(b_1\)
\(a_3\)=\(\frac{b_1}{λ}\)=\(b_1\)
より、
\(a_1\)=\(a_2\)=\(a_3\)=\(b_1\)=\(b_2\)=\(b_3\)
\(r\)=1

たしかに、全部値が同じなら相関係数１ですよね。
ただ、これは異例なので、相関係数1以下を調べてみましょう。

固有方程式は

\(\left(
\begin{array}{cccc}
0.191 & 0 & 0.5 \\
0 & -0.154 & 0.5 \\
0.5 & 0.5 & -0.309
\end{array}
\right)
\)\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=
\(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\)

計算すると
\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=\(
\left(
\begin{array}{c}
-2.617 \\
3.236 \\
1
\end{array}
\right)
\)
(\(b_3\)=1とします。)

\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\)は
\(a_1\)=\(\frac{b_2+b_3}{2λ}\)=2.618
\(a_2\)=\(\frac{b_1+b_3}{2λ}\)=-0.999
\(a_3\)=\(\frac{b_1}{λ}\)=-3.234
\(r\)=\(λ\)=0.809

固有方程式は

\(\left(
\begin{array}{cccc}
1.31 & 0 & 0.5 \\
0 & 0.405 & 0.5 \\
0.5 & 0.5 & 0.809
\end{array}
\right)
\)\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=
\(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\)

計算すると
\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=\(
\left(
\begin{array}{c}
-0.382\\
-1.237\\
1
\end{array}
\right)
\)
(\(b_3\)=1とします。)

\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\)は
\(a_1\)=\(\frac{b_2+b_3}{2λ}\)=-0.385
\(a_2\)=\(\frac{b_1+b_3}{2λ}\)=1.000
\(a_3\)=\(\frac{b_1}{λ}\)=-1.236
\(r\)=\(λ\)=0.309

\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\)と
\(b_1\),\(b_2\),\(b_3\)の
大きい順に並べると

●\(b_2\)=3.236, \(b_3\)=1, \(b_1\)=-2.617
●\(a_1\)=2.618, \(a_2\)=-0.999, \(a_3\)=-3.234
の順になります。これを最初の表に適用すると、相関性の高い順に並び変わります。

元の表は、

から下表に変化します。

どうでしょうか？
左上から右下への対角線上にデータが乗るように、入れ替わりましたね！
これが数量化3類で実施したいことです。

数量化3類の分析ができましたね!

「数量化3類の分析ができる」を解説しました。