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カテゴリー: サンプリング

QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

本記事でばっちりおさえましょう。

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①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

この式は何なの？
何でこんな難しい式なの？
覚えられない。。。

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

  1. 条件付き確率
  2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
  3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
  4. 条件付き確率の期待値・分散
  5. 全分散の公式の導出
  6. ２段サンプリングの分散の公式導出
１つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

公式暗記・代入だけでは意味不明！

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

  1. 条件付き確率
  2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
  3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
  4. 条件付き確率の期待値・分散
  5. 全分散の公式の導出
  6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁事前に読んでおくべき関連記事

●いきなり、全分散の公式を理解しようとすると、挫折します。そこで、具体事例の計算過程を一回読んでから、公式導出するとかなり身近な式になります。

関連記事でおさえておくべきポイント

  1. E(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
  2. E(E(Y|X))の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  3. E(Y2|X)に慣れておく
  4. V(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
  5. E(V(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  6. V(E(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
  7. 全分散の公式が成り立つ計算過程

全分散の公式を含めて、条件つき期待値、条件つき分散を網羅して解説しています。

離散型(数列)で解く場合（本記事も数列版で全分散の公式を導出します。）

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)
条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

連続型(積分)で解く場合

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)
条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

では、一般化して公式導出に入ります。

➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出

導出

文字式でさっと書いていきます。

E(E(Y|X=xi))
=\(\sum_{i} (E(Y|X=x_i))f_{xi}\)
=\(\sum_{i}(\sum_{j} y_j f_{Y|X}(y_i|x_i)) f_{xi}\)

ここで、\(y_j\)を前に出して、fを整理します。
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f_{Y|X}(y_i|x_i) f_{xi})\)
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)
=\(\sum_{j} y_j f_Y(y_j)\)
=E(Y)
となります。

ここで、１つわかりにくいポイントがあります。
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
になぜ変わるのか？です。

式だけではわかりにくいので、上の関連記事の事例を使って、具体的な数字を使って計算します。

実例で詳細に解説

結果的に、
(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

関連記事の例題から具体的な値で比較しましょう。
E(E(Y|X))の値は下表のようにまとめる事ができます。

x/y ①
y1		 ➁
\(f_{xi,y1}\)		 ➂
y2		 ➃
\(f_{xi,y2}\)		 ➄
y3		 ⑥
\(f_{xi,y3}\)		 ⑦
\(f_{xi}\)		 ⑧
計
x1 [1 ×\(\frac{1}{2}\) +2 ×\(\frac{1}{4}\) +3 ×\(\frac{1}{4}\)] ×\(\frac{1}{2}\) =\(\frac{7}{8}\)
x2 [1 ×\(\frac{1}{4}\) +2 ×\(\frac{1}{4}\) +3 ×\(\frac{1}{2}\)] ×\(\frac{1}{2}\) =\(\frac{7}{9}\)
– – – – – – – 計 E[Y]= 2

上の表の⑧は
⑧＝[①×➁＋➂×➃＋⑤×⑥]×⑦
で計算して、
E[E[Y|X]]=E[Y]
を計算してます。

なお、E[Y]の求め方は、下表通りです。

x/y ①
y1		 ➁
\(f_y(y1)\)		 ➂
y2		 ➃
\(f_{y}(y2)\)		 ➄
y3		 ⑥
\(f_y(y3)\)		 ⑧
計
x1 [1 ×\(\frac{3}{8}\) +2 ×\(\frac{2}{8}\) +3 ×\(\frac{3}{8}\)] =2

上の2つの表を比較すると、

x/y ➁
\(f_{xi,y1}\)		 ➃
\(f_{xi,y2}\)		 ⑥
\(f_{xi,y3}\)
x1 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\)
x2 \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
⇊ ⇊ ⇊ ⇊
x/y ➁
\(f_y(y1)\)		 ➃
\(f_{y}(y2)\)		 ⑥
\(f_y(y3)\)
x1 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\)

確かに、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

ここまで細かく解説するのは、ＱＣプラネッツだけですね。

➃全分散の導出

V(Y|X)の導出

機械的に、
V(Y)=E(Y2)-E(Y) 2
ですから、

V(Y|X) =E(Y2|X)-E(Y|X) 2
です。

E(V(Y|X),V(E(Y|X))の導出

●V(Y|X)の期待値E(V(Y|X)ですが、
E(V(Y|X)
=E(E(Y2|X)-E(Y|X) 2)
= E(E(Y2|X))-E(E(Y|X) 2)

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、
E(Y|X)⇒E(Y2|X)と見ると、

E(E(Y2|X))=E(Y2)です。あら、不思議！

よって、
E(V(Y|X)= E(Y2)- E(E(Y|X) 2) …(式1)

●次に、E(Y|X)の分散V(E(Y|X)) ですが、
V(E(Y|X))
=E(E(Y|X) 2)-(E(E(Y|X)))2

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、

よって、
V(E(Y|X))=E(E(Y|X) 2)-(E(Y))2…(式2)

全分散の導出

(式１)+(式2)より、下の色部分がキャンセルされます。
E(V(Y|X))= E(Y2)-E(E(Y|X) 2) …(式1)
V(E(Y|X))= E(E(Y|X) 2)-(E(Y))2…(式2)

よって、
E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))= E(Y2)–(E(Y))2=V(Y)
が成り立ちます。

全分散の公式
V(Y)= E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))

が導出できました。

まとめ

全分散の公式の導出をわかりやすく解説しました。

  • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
  • ➁事前に読んでおくべき関連記事
  • ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
  • ➃全分散の導出

  • 【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)

    【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型)

    「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

    QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

    条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

    本記事でばっちりおさえましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁例題と条件付き確率

    例題

    関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
    (2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
    (3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。

    期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

    条件付き確率

    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

    条件付き確率

    まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

    ●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから、例えば、
    P(Y=1|X=1)=(2/8)/(1/2)=1/4です。同様に全部計算すると、次の表になります。機械的に計算しましょう。

    P(Y|X) Y=1 Y=2 Y=3 計
    P(Y|X=1) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
    P(Y|X=2) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{2}\) \(\frac{1}{1}\)

    ➂条件付き期待値

    「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き期待値の計算

    ●E(Y|X)、E(Y2|X)を計算します。

    ●E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i)\)で計算します。yで加算しますが、個々のXの値について期待値を計算します。

    ●E(Y|X=1)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=1)\)
    =\(1×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{7}{4}\)

    ●E(Y|X=2)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=2)\)
    =\(1×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{9}{4}\)

    つぎに、E(Y2|X)ですが、
    E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i\))から
    E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=i)\)に変えて加算します。

    ●E(Y2|X=1)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=1)\)
    =\(1^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{15}{4}\)

    ●E(Y 2|X=2)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=2)\)
    =\(1^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
    =\(\frac{23}{4}\)

    条件付きの期待値の特徴

    上のE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

    E(Y|X=i)、E(Y2|X=i)と
    X=iの個々の値が出るから

    これは、実は問題ありません。
    連続系の問いでE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y2|X)そのものの値ではなく、
    関数になります。

    重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

    ●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

    ●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●E(Y)自体は非常に簡単で、
    E(Y)=1×\(\frac{3}{8}\)+2×\(\frac{2}{8}\)+3×\(\frac{3}{8}\)=2
    でした。

    では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

    E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
    E(*)=∑ (*) f(★) で計算すればよいです。

    E(E(Y|X))=\(\sum_{i=1}^{2} E(Y|X) f_Y(y_i)\)
    =\(\frac{7}{4}・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}\)
    =2
    と一致しましたね。

    ➃条件付き分散がわかる

    「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き分散の計算

    ●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

    ●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
    V[X]=E[X2]-E[X]2
    でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

    V(Y|X=i)= E[Y2|X=i]-E[Y|X=i]2
    です。X2⇒Y2|Xに注意します。
    実は、
    E[Y2|X=i]とE[Y|X=i]は計算済です。

    V(Y|X=1)= E[Y2|X=1]-E[Y|X=1]2
    =\(\frac{15}{4}-(\frac{7}{4})^2\)
    =\(\frac{11}{16}\)

    V(Y|X=2)= E[Y2|X=2]-E[Y|X=2]2
    =\(\frac{23}{4}-(\frac{9}{4})^2\)
    =\(\frac{11}{16}\)

    ●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

    ●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。Y|XはX=iごとに計算していきます。
    E(V(Y|X=i)) = \(\sum_{i} V(Y|X=i) f_X(x=i)\)
    =\(\frac{11}{16}・\frac{1}{2}+\frac{11}{16}・\frac{1}{2}\)
    =\(\frac{11}{16}\)

    ●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
    V(E(Y|X))=E(E(Y|X)2)-E(E(Y|X)) 2
    =\(\sum_{i} E(Y|X)^2 f_X(x=i)\)- \((\sum_{i} E(Y|X) f_X(x=i))^2\)
    =[\((\frac{7}{4})^2・\frac{1}{2}+(\frac{9}{4})^2・\frac{1}{2}\)]
    -\([\frac{7}{4})・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}]^2\)
    =\(\frac{1}{16}\)

    となります。随分計算が大変でした。

    全分散の公式の確認

    2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

    V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    を確認しましょう。

    関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●全分散の公式の(右辺)を合算します。
    V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    =\(\frac{11}{16}+\frac{1}{16}\)
    =\(\frac{3}{4}\)
    =V(Y)
    と一致します。

    ●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

    重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

    まとめ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

  • 【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)

    【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型)

    「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

    QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

    条件付き期待値・条件付き分散の公式導出はよく教科書にあるけど、具体的な問題は意外と解けないし、例題を使った解説書が少ない。

    本記事でばっちりおさえましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁例題と条件付き確率

    例題

    2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
    \(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
    \(f_X(x)\)=\(\frac{1}{4}(x+1)\)
    \(f_Y(y)\)=\(\frac{1}{2}(1+2y)\)
    で表されている。
    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
    (2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
    (3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。

    全盛りです。１つずつ解いていきましょう。大丈夫です。

    条件付き確率

    (1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

    条件付き確率

    まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

    ●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから
    \(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)となります。代入すると
    \(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)=\(\frac{x+2y}{x+1}\)

    なお、逆に\(f_{X|Y}(x|y)\)なら、
    \(f_{X|Y}(x|y)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)=\(\frac{x+2y}{2(1+2y)}\)
    となります。機械的に代入すればOKですね。

    ➂条件付き期待値

    「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y2|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き期待値の計算

    ●E(Y|X)、E(Y2|X)を計算します。

    ●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)で計算します。yで積分します。

    ●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)
    =\(\int_0^1 y \frac{x+2y}{x+1} dy\)
    =\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
    =\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{2}+\frac{2}{3})\)
    =\(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)

    つぎに、E(Y2|X)ですが、
    \(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)から
    \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)に変えて積分します。

    ●E(Y2|X)= \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)
    =\(\int_0^1 y^2 \frac{x+2y}{x+1} dy\)
    =\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{3} y^3 +\frac{1}{2} y^4 \right]_0^1\)
    =\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{3}+\frac{1}{2})\)
    =\(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)

    条件付きの期待値の特徴

    上のE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

    値ではなく、関数の式で出て来るから

    これは、実は問題ありません。
    離散系の問いでE(Y|X), E(Y2|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y2|X)そのものの値ではなく、
    E(Y|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
    E(Y2|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
    ことになります。連続型の場合は関数で表現することに相当します。

    重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

    ●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

    ●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ●E(Y)= \(\int_0^1 y f_Y(y)dy\)
    =\(\frac{1}{2}\int_0^1 y (1+2y) dy\)
    =\(\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
    =\(\frac{7}{12}\)
    でした。

    では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

    E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
    E(*)=∫ (*) f(★) で計算すればよいです。

    なお、E(＊) の中「＊」はE(Y|X)= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\) とxの式なので、f(★)の★はxで考えます。

    E(E(Y|X))= \(\int_0^2 E(Y|X) f_X(x)dx\)
    =\(\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4}(x+1) dx\)
    =\(\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx \)
    =\(\frac{1}{24}\left[ \frac{3}{2} x^2 + 4x \right]_0^2\)
    =\(\frac{1}{24} 14\)
    =\(\frac{7}{12}\)
    =E(Y)
    と一致しましたね。

    ➃条件付き分散がわかる

    「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

    条件付き分散の計算

    ●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

    ●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
    V[X]=E[X2]-E[X]2
    でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

    V(Y|X)= E[Y2|X]-E[Y|X]2
    です。X2⇒Y2|Xに注意します。
    実は、
    E[Y2|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)
    E[Y|X]= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)
    とすでに計算済ですから、そのまま計算できます。よって
    V[Y|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)- \((\frac{3x+4}{6(x+1)})^2\)
    =\(\frac{6(x+1)(2x+3)-(3x+4)^2}{36(x+1)^2}\)
    =\(\frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2)\)
    とxの関数として出て来ました。

    ●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

    ●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
    E(V(Y|X))= \(\int_0^2 V(Y|X) f_X(x)dx\)
    =\(\int_0^2 \frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2) \frac{1}{4}(x+1) dx\)
    =\(\frac{1}{144} \int_0^2 \frac{3x^2+6x+2}{x+1} dx \)
    =\(\frac{1}{144} \int_0^2 (3(x+1)-\frac{1}{x+1}) dx \)
    積分すると
    =\(\frac{1}{144}\left[ \frac{3}{2}(x+1)^2 -log|x+1| \right]_0^2\)
    =\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
    となります。計算が合っているか、ちょっと心配になりますね。大丈夫です。どんどん突き進みましょう。

    ●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
    V(E(Y|X))=E(E(Y|X)2)-E(E(Y|X)) 2
    =\(\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{36(x+1)^2} \frac{1}{4} (x+1)dx\)
    -\((\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4} (x+1)dx)^2\)
    =\(\frac{1}{144 }\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{x+1} dx\) -\((\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx)^2\)

    =\(\frac{1}{144}\int_0^2 (9(x+1)+6+\frac{1}{x+1}dx\) -\(\frac{1}{576}(\left[ \frac{3}{2}x^2 +4x \right]_0^2\)
    =\(\frac{1}{144}(36+12+log3 \) -\(\frac{196}{576}\)
    =\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)
    となります。随分計算が大変でした。

    全分散の公式の確認

    2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

    V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    を確認しましょう。

    ●V(Y)は関連記事ですでに計算済です。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    V(Y)=\(\frac{11}{144}\)ですね。

    ●全分散の公式の(右辺)を合算します。
    V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
    =\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)+\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
    =\(\frac{11}{144}\)
    =V(Y)
    と一致します。

    ●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

    重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

    まとめ

    条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁例題と条件付き確率
    • ➂条件付き期待値
    • ➃条件付き分散がわかる

  • 同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２　連続系の場合)

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２　連続系の場合)

    「同時確率分布の分散、共分散の導出がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合(その１で解説)
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

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    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第3弾として「同時確率分布の分散、共分散の導出」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合(その１で解説)

    ●まず、わかりやすい「離散型」の場合で、数列∑を使った計算を解説します。関連記事で確認ください。

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合)
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    本記事は、（その１）より難し目なので、まず（その１）を読んでから、本記事を読み進めてください。

    ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

    ●「連続型」の場合で、積分を使った計算を解説します。

    例題

    2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
    \(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
    で表されている。
    (1)X,Yの周辺確率密度関数\(f_X(x)\), \(f_Y(y)\)を求めよ。
    (2)期待値E[X]、E[Y]、E[X+Y]、E[XY]を求めよ。
    (3)分散V[X]、V[Y]、共分散Cov[X,Y]を求めよ。

    (1)は関連記事で解説済なので、そちらで確認しましょう。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    本記事は、(2)(3)を解説します。

    解法に必要な公式集

    連続系の場合の期待値と分散の解法に慣れるために必要な公式集をまとめます。以下の式を使って、解いていきます。なお、離散系の場合は∫を∑に変えればOKです。

    期待値の公式

    ●E[X]=\(\int_0^2 xf_X(x)dx\)
    ●E[Y]=\(\int_0^1 yf_Y(y)dy\)
    –
    ●E[X+Y]=E[X]+E[Y]
    または、
    ●E[X+Y]=\(\int_0^2 \int_0^1 (x+y)f(x,y)dydx\)
    –
    ●E[XY]=\(\int_0^2 \int_0^1 xyf(x,y)dydx\)
    (E[XY]とE[X]E[Y]が一致しない場合もあるので注意！)

    分散の公式

    ●E[X2]=\(\int_0^2 x^2 f_X(x)dx\)
    ●E[Y2]=\(\int_0^1 y^2 f_Y(y)dy\)
    –
    ●V[X]=E[X2]-E[X]2
    ●V[Y]=E[Y2]-E[Y]2
    –
    ●Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]

    解法(期待値)

    (2)期待値E[X]、E[Y]、E[X+Y]、E[XY]を求めよ。

    では、解いていきましょう。

    E[X]の解法

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 xf_X(x) dx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 x(x+1) dx \\
    &= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \right]_0^2 dx\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{7}{6}\)
    となります。

    E[Y]の解法

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^1 yf_Y(y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \int_0^1 y(1+2y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^2}{2}+\frac{2y^3}{3} \right]_0^1 dy\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{7}{12}\)
    となります。

    E[X+Y]の解法

    E[X+Y]=E[X]+E[Y]=\(\frac{7}{4}\)

    この解法でもいいですが、せっかくなので積分からでも算出しましょう。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 \int_0^1 (x+y)f(x,y)dydx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 \int_0^1 (x+y)(x+2y)dydx \\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{7}{4}\)
    となります。
    (途中経過は計算してみてください)

    積分の計算の詳細はここをご覧ください。

    E[XY]の解法

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 \int_0^1 xyf(x,y)dydx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 \int_0^1 xy(x+2y)dydx \\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{2}{3}\)
    となります。
    (途中経過は計算してみてください)

    積分の計算の詳細はここをご覧ください。

    期待値をまとめると、
    E[X]=7/6、E[Y]=7/12、E[X+Y]=7/4、E[XY]=2/3
    となります。

    また、
    E[X+Y]= E[X]+ E[Y]　は成り立ちますが、
    E[XY]= E[X] E[Y]　は成り立ちません。
    X,Yは互いに独立ではないからですね。

    解法(分散)

    (3)分散V[X]、V[Y]、共分散Cov[X,Y]を求めよ。

    V[X]の解法

    ●ここで、分散V[X]の式をおさえましょう。
    まず、E[X2]が必要です。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^2 x^2 f_X(x) dx \\
    &= \frac{1}{4} \int_0^2 x^2 (x+1) dx \\
    &= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3} \right]_0^2 dx\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{5}{3}\)
    となります。

    よって、
    V[X]=E[X2]-E[X]2
    =\(\frac{5}{3}\)-\((\frac{7}{6})^2\)
    =11/36

    V[Y]の解法

    ●ここで、分散V[Y]の式をおさえましょう。
    まず、E[Y2]が必要です。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^1 y^2 f_Y(y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \int_0^1 y^2 (1+2y) dy \\
    &= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^3}{3}+\frac{y^4}{2} \right]_0^1 dy\\
    \end{eqnarray}\)
    =\(\frac{5}{12}\)
    となります。

    よって、
    V[Y]=E[Y2]-E[Y]2
    =\(\frac{5}{12}\)-\((\frac{7}{12})^2\)
    =11/144

    共分散COV[X,Y]の解法

    ●ここで、共分散COV[X,Y]の式をおさえましょう。
    COV[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]
    =\(\frac{2}{3}\)-\(\frac{7}{6}\)・\(\frac{7}{12}\)
    =\(\frac{-1}{72}\)

    ちょっと難しいですが、解き方は１パターンなので、何度も復習しましょう。

    積分の計算の詳細はここをご覧ください。

    分散をまとめると、
    V[X]=11/36、V[Y]=11/144、Cov[X,Y]=-1/72
    となります。

    連続系は、ひたすら積分すればOKです。

    まとめ

    同時確率分布の分散、共分散の導出をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合(その１で解説)
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

  • 同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１　離散系の場合)

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１　離散系の場合)

    「同時確率分布の分散、共分散の導出がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合(その２で解説)

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    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう！

    サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    本記事のテーマ(再掲)

    第3弾として「同時確率分布の分散、共分散の導出」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

    ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合

    ●まず、わかりやすい「離散型」の場合で、数列∑を使った計算を解説します。

    例題

    ●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    (1)期待値E[X],E[Y],E[X+Y],E[XY]を求めよ。
    (2)分散V[X],V[Y],共分散COV[X,Y]を求めよ。

    期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

    解法に必要な公式集

    離散系の場合の期待値と分散の解法に慣れるために必要な公式集をまとめます。以下の式を使って、解いていきます。なお、連続系の場合は∑を∫に変えればOKです。

    期待値の公式

    ●E[X]=∑X・Pr(X)
    ●E[Y]=∑X・Pr(Y)
    ●E[X+Y]=∑(X+Y)・Pr(X+Y)
    ●E[XY]=∑XY・Pr(XY)

    分散の公式

    ●V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]
    ●V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]
    ●COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]
    ●Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]

    解法(期待値)

    (1)期待値E[X],E[Y],E[X+Y],E[XY]を求めよ。

    では、解いていきましょう。

    E[X]の解法

    表から、X=1の確率が1/2、X=2の確率が1/2ですから期待値は、
    E[X]=1×1/2+2×1/2=3/2

    簡単ですね！

    E[Y]の解法

    表から、Y=1の確率が3/8、Y=2の確率が2/8、Y=3の確率が3/8ですから期待値は、
    E[Y]=1×3/8+2×2/8+3×3/8=2

    簡単ですね！

    E[X+Y]の解法

    X+Yの場合について下表を追加しましょう。

    X/Y 1 2 3
    1 X+Y=2 X+Y=3 X+Y=4
    \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\)
    2 X+Y=3 X+Y=4 X+Y=5
    \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\)

    表から、
    X+Y=2の確率が2/8、
    X+Y=3の確率が2/8、
    X+Y=4の確率が2/8、
    X+Y=5の確率が2/8
    ですから期待値は、
    E[X+Y]=2×2/8+3×2/8+4×2/8+5×2/8=3.5

    表を追加すれば簡単ですね！

    E[XY]の解法

    同様にXYの場合について下表を追加しましょう。

    X/Y 1 2 3
    1 XY=1 XY=2 XY=3
    – \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\)
    2 XY=2 XY=4 XY=6
    – \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\)

    表から、
    XY=1の確率が2/8、
    XY=2の確率が2/8、
    XY=3の確率が1/8、
    XY=4の確率が1/8、
    XY=6の確率が2/8
    ですから期待値は、
    E[XY]=1×2/8+2×2/8+3×1/8+4×1/8+6×2/8=25/8

    表を追加すれば簡単ですね！

    期待値をまとめると、
    E[X]=3/2、E[Y]=2、E[X+Y]=3.5、E[XY]=25/8
    となります。

    また、
    E[X+Y]= E[X]+ E[Y]　は成り立ちますが、
    E[XY]= E[X] E[Y]　は成り立ちません。
    X,Yは互いに独立ではないからですね。

    解法(分散)

    (2)分散V[X],V[Y],共分散COV[X,Y]を求めよ。

    V[X]の解法

    ●ここで、分散V[X]の式をおさえましょう。
    V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]
    ですね。

    次に、Xの平均\(μ_X\)を求めましょう。
    平均\(μ_X\)はX=1,2の平均ですから3/2ですね。

    表から、X=1の確率が1/2、X=2の確率が1/2ですから分散は、

    V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]=E[\((X-1.5)^2\)]
    =\((1-1.5)^2\)×1/2+\((2-1.5)^2\)×1/2
    =1/4

    ちょっと難しいですね。

    V[Y]の解法

    ●ここで、分散V[Y]の式をおさえましょう。
    V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]
    ですね。

    次に、Yの平均\(μ_Y\)を求めましょう。
    平均\(μ_Y\)はY=1,2,3の平均ですから2ですね。

    表から、Y=1の確率が3/8、Y=2の確率が2/8、Y=3の確率が3/8ですから分散は、

    V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]=E[\((Y-2)^2\)]
    =\((1-2)^2\)×3/8+\((2-2)^2\)×2/8+\((3-2)^2\)×3/8
    =3/4

    ちょっと難しいですね。

    共分散COV[X,Y]の解法

    ●ここで、共分散COV[X,Y]の式をおさえましょう。
    COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]
    ですね。

    共分散は、
    COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]= E[\((X-1.5)(Y-2)\)]
    =(1-1.5)(1-2)×2/8+(1-1.5)(2-2)×1/8+(1-1.5)(3-2)×1/8+
    (2-1.5)(1-2)×1/8+(2-1.5)(2-2)×1/8+(2-1.5)(3-2)×2/8
    =1/8

    なお、共分散Cov[X,Y]はもう１つ公式があり、
    Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]
    1/8=25/8-3/2・3
    が成り立ちます。

    ちょっと難しいですが、解き方は１パターンなので、何度も復習しましょう。

    分散をまとめると、
    V[X]=1/4、V[Y]=3/4、Cov[X,Y]=1/8
    となります。

    離散系で使った公式一覧

    ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合

    その２の記事で解説します。

    まとめ

    同時確率分布の分散、共分散の導出をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁【何度も復習しよう！】離散型確率分布の場合
    • ➂【何度も復習しよう！】連続型確率分布の場合(その２で解説)

  • ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる

    「２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわからない」、と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる
    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）とは
    • ➂離散型確率分布の場合
    • ➃連続型確率分布の場合

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    QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

    ２変数の確率分布関数にまず、慣れましょう！
    ➃連続型確率分布の場合が最も大事なので、最後まで読んでください。
    これを理解しないと、サンプリングの分散が理解できなくなります。
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    ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

    2段サンプリングの分散の式

    「２段サンプリングの分散」の式があります。

    E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
    V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
    ・\(m\)：1次サンプルの大きさ
    ・\(n\)：2次サンプルの大きさ
    ・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
    ・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
    ・M:1次単位の総数
    ・N:1次単位の大きさ
    ・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
    となりますよね。

    でも、

    この式は何なの？
    何でこんな難しい式なの？
    覚えられない。。。

    と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

    そこで、

    せめて、「２段サンプリングの分散」の式を導出したい！

    という思いで、解説していきます。

    2段サンプリングの分散の式に必要な内容

    まとめると、以下を理解しておく必要があります。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出
    １つの式なのにこんなに勉強が必要なの？

    残念ながら、「Yes」です。

    だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入するだけの問題がよくあります。

    公式暗記・代入だけでは意味不明！

    だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

    2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

    では、１つ１つ解説します。

    ➁２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる

    第2弾として「２変数の確率分布関数」を解説します。

    1. 条件付き確率
    2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
    3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
    4. 条件付き確率の期待値・分散
    5. 全分散の公式の導出
    6. ２段サンプリングの分散の公式導出

    ２変数の確率分布関数とは

    ●簡単にいうと、2変数(x,y)が同時に起こる確率を分布関数にしたものです。
    確率分布関数は
    \(f(x,y)\)
    で表現します。

    ●これだけなので、簡単ですね。
    徐々に複雑になっていきますが、簡単に解説していきます。

    2変数が完全に独立している場合

    なお、2変数の確率分布で、頭が混乱しがちになるのは、

    2変数が互いに独立している場合と、そうでない場合の区別がつきにくい

    です。

    ●式で書くと、
    \(f(x,y)\)=\(g(x)\)×\(h(y)\)
    と表現できます。2変数x,yは互いに独立しているので、同時確率は単純に積でよいとなります。

    ●これだけなので、簡単ですね。
    徐々に複雑になっていきますが、簡単に解説していきます。

    ●以下、例題を使って、解説しますが、よく混乱するポイントなので、読んでください。全分散の公式の導出などで、よく使う式ですが、不慣れでパニックになるところです。

    例題でおさえておくポイント

    1. 離散型の例で、2変数が互いに独立している場合を理解する
    2. 連続型の例で、X,Yそれぞれの周辺確率密度関数の求め方を理解する

    この2点をあやふやにすると、応用が利きません。。。

    ➂離散型確率分布の場合

    次の３つの例題を挙げます。２変数の確率分布の特徴に慣れましょう。

    1. 例題1(2変数が互いに独立していない例)
    2. 例題2(2変数が互いに独立してそうな例)
    3. 例題3(2変数が完全に独立している例)
    違いを理解しましょう。

    例題1(2変数が互いに独立していない例)

    2変数が互いに独立していない、交互に影響する例を下表に挙げます。これは中学数学レベルなので安心してください。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    ●以下の確率を計算してみましょう。
    (1) P(X=2,Y=3)
    (2) P(X=1)
    (3) P(Y=3)
    これは簡単ですよね。ビビらないでください。

    ●答えは、表に書いていますよね。

    例題2(2変数が互いに独立してそうな例)

    例題1と同じ表ですが、値を若干変えます。

    X/Y 1 2 3 計
    1 \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{2}\)
    2 \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{1}{2}\)
    計 \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    ●ここでポイントなのは、
    どのi(i=1,2),j(j=1,2,3)に対して、
    Pr(X=i,Y=j)=Pr(X=i)×Pr(Y=j)
    が成り立ちます。

    この状態は、

    2変数が互いに独立している

    と言えます。

    例題3(2変数が完全に独立している例)

    例題2は確かに完全に独立していますが、Ｘ，Ｙに関係する表があると、独立しているかどうかをいちいち確認する必要があります。

    本来、独立しているわけですから、下表の方が、独立していることがはっきりしてわかりやすいです。

    X 1 2 計
    Pr \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\) 1

    Y 1 2 3 計
    Pr \(\frac{3}{8}\) \(\frac{2}{8}\) \(\frac{3}{8}\) 1

    別表にまとめると、独立感がありますよね。これくらいＸ，Ｙを切り離して考えましょう。

    ➃連続型確率分布の場合

    積分が複雑だけど、１つずつ見れば理解できます！

    ●離散型は簡単ですが、連続型になると難しく感じます。その理由は以下です。

    1. ∑が積分に変わる
    2. Xの確率分布関数を求めるのに、Ｙで積分が必要なのが理解しにくい
    3. 計算結果がイメージしにくい
    4. 二重積分に不慣れで難しい

    難しくなりますが、１つずつ記事を読み進めていけば理解できます。大丈夫です！

    例題

    2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
    \(f(x,y)=k(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
    で表されている。
    (1) kを求めよ。
    (2)Xの周辺確率密度関数\(f_X(x)\)を求めよ。
    (3)Yの周辺確率密度関数\(f_Y(y)\)を求めよ。

    １つずつ解説します。慣れてましょう！

    解法

    ●(1)は、早速二重積分ですが、x,yについて、２回積分すればＯＫです。

    \(\begin{eqnarray}
    \int_0^1 \int_0^2 f(x,y)dxdy
    &= \int_0^2 \left[ xy+y^2 \right]_0^1 dx\\
    &= \int_0^2 (x+1) dx
    &= \left[ \frac{1}{2}x^2+x \right]_0^2\\
    &= 4\\
    \end{eqnarray}\)

    確率密度関数の全積分は1なので、k=\(\frac{1}{4}\)となります。

    ●(2)これがわかりにくい。Xなので、xで積分したいが、そうではなく、yで積分します。

    さっきの、離散型で考えると、Pr(X=1)を計算するときは、Pr(X=1)に相当するYの確率の和を下図のように計算しますよね。離散型は「和」で、連続型は「積分」となるイメージで理解しましょう。

    確率密度関数

    よって、

    \(\begin{eqnarray}
    \frac{1}{4} \int_0^1 (x+2y) dy
    &= \frac{1}{4} \left[ xy+y^2 \right]_0^1 dx\\
    &= \frac{1}{4} (x+1)\\
    \end{eqnarray}\)

    となります。

    ●(3)同様に、Yなので、yで積分したいが、そうではなく、xで積分します。

    さっきの、離散型で考えると、Pr(Y=0)を計算するときは、Pr(Y=0)に相当するXの確率の和を下図のように計算しますよね。離散型は「和」で、連続型は「積分」となるイメージで理解しましょう。

    確率密度関数

    よって、

    \(\begin{eqnarray}
    \frac{1}{4} \int_0^2 (x+2y) dx
    &= \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}x^2+xy \right]_0^2 dx\\
    &= \frac{1}{2} (1+2y)\\
    \end{eqnarray}\)

    となります。

    ただ、困ったことに、元の確率密度関数と、X,Yの周辺確率密度関数の式を見ると、関係性がわかりません。
    ●元の確率密度関数：\(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\)
    ●Xの周辺確率密度関数：\(f_X(x)= \frac{1}{4} (x+1)\)
    ●Yの周辺確率密度関数：\(f_Y(x)= \frac{1}{2} (1+2y)\)

    これも、理解しにくい点ですが、積分で一発で出せる良さはあります。慣れましょう！

    まとめ

    ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）をわかりやすく解説しました。

    • ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
    • ➁２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）とは
    • ➂離散型確率分布の場合
    • ➃連続型確率分布の場合

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