カテゴリー: サンプリング

★ 本記事のテーマ

★QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

なので、１つ１つ解説します。

今回は第5弾として「全分散の公式の導出」を解説します。

●いきなり、全分散の公式を理解しようとすると、挫折します。そこで、具体事例の計算過程を一回読んでから、公式導出するとかなり身近な式になります。

全分散の公式を含めて、条件つき期待値、条件つき分散を網羅して解説しています。

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型) 本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型) 本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。

では、一般化して公式導出に入ります。

文字式でさっと書いていきます。

E(E(Y|X=x_i))
=\(\sum_{i} (E(Y|X=x_i))f_{xi}\)
=\(\sum_{i}(\sum_{j} y_j f_{Y|X}(y_i|x_i)) f_{xi}\)

ここで、\(y_j\)を前に出して、fを整理します。
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f_{Y|X}(y_i|x_i) f_{xi})\)
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)
=\(\sum_{j} y_j f_Y(y_j)\)
=E(Y)
となります。

ここで、１つわかりにくいポイントがあります。
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
になぜ変わるのか？です。

式だけではわかりにくいので、上の関連記事の事例を使って、具体的な数字を使って計算します。

結果的に、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

関連記事の例題から具体的な値で比較しましょう。
E(E(Y|X))の値は下表のようにまとめる事ができます。

上の表の⑧は
⑧＝[①×➁＋➂×➃＋⑤×⑥]×⑦
で計算して、
E[E[Y|X]]=E[Y]
を計算してます。

なお、E[Y]の求め方は、下表通りです。

上の2つの表を比較すると、

確かに、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

ここまで細かく解説するのは、ＱＣプラネッツだけですね。

機械的に、
V(Y)=E(Y²)-E(Y) ²
ですから、

V(Y|X) =E(Y²|X)-E(Y|X) ²
です。

●V(Y|X)の期待値E(V(Y|X)ですが、
E(V(Y|X)
=E(E(Y²|X)-E(Y|X) ²)
= E(E(Y²|X))-E(E(Y|X) ²)

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、
E(Y|X)⇒E(Y²|X)と見ると、

E(E(Y²|X))=E(Y²)です。あら、不思議！

よって、
E(V(Y|X)= E(Y²)- E(E(Y|X) ²) …(式1)

●次に、E(Y|X)の分散V(E(Y|X)) ですが、
V(E(Y|X))
=E(E(Y|X) ²)-(E(E(Y|X)))²

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、

よって、
V(E(Y|X))=E(E(Y|X) ²)-(E(Y))²…(式2)

(式１)+(式2)より、下の色部分がキャンセルされます。
E(V(Y|X))= E(Y²)-E(E(Y|X) ²) …(式1)
V(E(Y|X))= E(E(Y|X) ²)-(E(Y))²…(式2)

よって、
E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))= E(Y²)–(E(Y))²=V(Y)
が成り立ちます。

が導出できました。

全分散の公式の導出をわかりやすく解説しました。

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QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

なので、１つ１つ解説します。

今回は第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

本記事では、2変数の確率分布関数（離散系&連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。

●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

★(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから、例えば、
P(Y=1|X=1)=(2/8)/(1/2)=1/4です。同様に全部計算すると、次の表になります。機械的に計算しましょう。

「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y²|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

●E(Y|X)、E(Y²|X)を計算します。

●E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i)\)で計算します。yで加算しますが、個々のXの値について期待値を計算します。

●E(Y|X=1)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=1)\)
=\(1×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{7}{4}\)

●E(Y|X=2)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=2)\)
=\(1×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{9}{4}\)

つぎに、E(Y²|X)ですが、
E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i\))から
E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=i)\)に変えて加算します。

●E(Y²|X=1)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=1)\)
=\(1^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{15}{4}\)

●E(Y ²|X=2)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=2)\)
=\(1^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{23}{4}\)

上のE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

これは、実は問題ありません。
連続系の問いでE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y²|X)そのものの値ではなく、
関数になります。

●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

本記事では、2変数の確率分布関数（離散系&連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。

●E(Y)自体は非常に簡単で、
E(Y)=1×\(\frac{3}{8}\)+2×\(\frac{2}{8}\)+3×\(\frac{3}{8}\)=2
でした。

では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
E(*)=∑ (*) f(★) で計算すればよいです。

E(E(Y|X))=\(\sum_{i=1}^{2} E(Y|X) f_Y(y_i)\)
=\(\frac{7}{4}・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}\)
=2
と一致しましたね。

「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
V[X]=E[X²]-E[X]²
でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

V(Y|X=i)= E[Y²|X=i]-E[Y|X=i]²
です。X²⇒Y²|Xに注意します。
実は、
E[Y²|X=i]とE[Y|X=i]は計算済です。

V(Y|X=1)= E[Y²|X=1]-E[Y|X=1]²
=\(\frac{15}{4}-(\frac{7}{4})^2\)
=\(\frac{11}{16}\)

V(Y|X=2)= E[Y²|X=2]-E[Y|X=2]²
=\(\frac{23}{4}-(\frac{9}{4})^2\)
=\(\frac{11}{16}\)

●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。Y|XはX=iごとに計算していきます。
E(V(Y|X=i)) = \(\sum_{i} V(Y|X=i) f_X(x=i)\)
=\(\frac{11}{16}・\frac{1}{2}+\frac{11}{16}・\frac{1}{2}\)
=\(\frac{11}{16}\)

●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
V(E(Y|X))=E(E(Y|X)²)-E(E(Y|X)) ²
=\(\sum_{i} E(Y|X)^2 f_X(x=i)\)- \((\sum_{i} E(Y|X) f_X(x=i))^2\)
=[\((\frac{7}{4})^2・\frac{1}{2}+(\frac{9}{4})^2・\frac{1}{2}\)]
-\([\frac{7}{4})・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}]^2\)
=\(\frac{1}{16}\)

となります。随分計算が大変でした。

2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
を確認しましょう。

●全分散の公式の(右辺)を合算します。
V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
=\(\frac{11}{16}+\frac{1}{16}\)
=\(\frac{3}{4}\)
=V(Y)
と一致します。

●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)をわかりやすく解説しました。

★ 本記事のテーマ

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QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

本記事でばっちりおさえましょう。

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

なので、１つ１つ解説します。

今回は第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

全盛りです。１つずつ解いていきましょう。大丈夫です。

★ 条件付き確率

まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから
\(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)となります。代入すると
\(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)=\(\frac{x+2y}{x+1}\)

なお、逆に\(f_{X|Y}(x|y)\)なら、
\(f_{X|Y}(x|y)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)=\(\frac{x+2y}{2(1+2y)}\)
となります。機械的に代入すればOKですね。

➂条件付き期待値

●E(Y|X)、E(Y²|X)を計算します。

●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)で計算します。yで積分します。

●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)
=\(\int_0^1 y \frac{x+2y}{x+1} dy\)
=\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
=\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{2}+\frac{2}{3})\)
=\(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)

つぎに、E(Y²|X)ですが、
\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)から
\(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)に変えて積分します。

●E(Y²|X)= \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)
=\(\int_0^1 y^2 \frac{x+2y}{x+1} dy\)
=\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{3} y^3 +\frac{1}{2} y^4 \right]_0^1\)
=\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{3}+\frac{1}{2})\)
=\(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)

上のE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

これは、実は問題ありません。
離散系の問いでE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y²|X)そのものの値ではなく、
E(Y|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
E(Y²|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
ことになります。連続型の場合は関数で表現することに相当します。

●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

本記事では、2変数の確率分布関数（離散系&連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。

●E(Y)= \(\int_0^1 y f_Y(y)dy\)
=\(\frac{1}{2}\int_0^1 y (1+2y) dy\)
=\(\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
=\(\frac{7}{12}\)
でした。

では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
E(*)=∫ (*) f(★) で計算すればよいです。

なお、E(＊) の中「＊」はE(Y|X)= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\) とxの式なので、f(★)の★はxで考えます。

E(E(Y|X))= \(\int_0^2 E(Y|X) f_X(x)dx\)
=\(\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4}(x+1) dx\)
=\(\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx \)
=\(\frac{1}{24}\left[ \frac{3}{2} x^2 + 4x \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{24} 14\)
=\(\frac{7}{12}\)
=E(Y)
と一致しましたね。

「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
V[X]=E[X²]-E[X]²
でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

V(Y|X)= E[Y²|X]-E[Y|X]²
です。X²⇒Y²|Xに注意します。
実は、
E[Y²|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)
E[Y|X]= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)
とすでに計算済ですから、そのまま計算できます。よって
V[Y|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)- \((\frac{3x+4}{6(x+1)})^2\)
=\(\frac{6(x+1)(2x+3)-(3x+4)^2}{36(x+1)^2}\)
=\(\frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2)\)
とxの関数として出て来ました。

●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
E(V(Y|X))= \(\int_0^2 V(Y|X) f_X(x)dx\)
=\(\int_0^2 \frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2) \frac{1}{4}(x+1) dx\)
=\(\frac{1}{144} \int_0^2 \frac{3x^2+6x+2}{x+1} dx \)
=\(\frac{1}{144} \int_0^2 (3(x+1)-\frac{1}{x+1}) dx \)
積分すると
=\(\frac{1}{144}\left[ \frac{3}{2}(x+1)^2 -log|x+1| \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
となります。計算が合っているか、ちょっと心配になりますね。大丈夫です。どんどん突き進みましょう。

●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
V(E(Y|X))=E(E(Y|X)²)-E(E(Y|X)) ²
=\(\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{36(x+1)^2} \frac{1}{4} (x+1)dx\)
-\((\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4} (x+1)dx)^2\)
=\(\frac{1}{144 }\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{x+1} dx\) -\((\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx)^2\)

=\(\frac{1}{144}\int_0^2 (9(x+1)+6+\frac{1}{x+1}dx\) -\(\frac{1}{576}(\left[ \frac{3}{2}x^2 +4x \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{144}(36+12+log3 \) -\(\frac{196}{576}\)
=\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)
となります。随分計算が大変でした。

2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
を確認しましょう。

●V(Y)は関連記事ですでに計算済です。

本記事では、2変数の確率分布関数（離散系&連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。

V(Y)=\(\frac{11}{144}\)ですね。

●全分散の公式の(右辺)を合算します。
V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
=\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)+\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
=\(\frac{11}{144}\)
=V(Y)
と一致します。

●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)をわかりやすく解説しました。

★ 本記事のテーマ

★QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

なので、１つ１つ解説します。

今回は第3弾として「同時確率分布の分散、共分散の導出」を解説します。

●まず、わかりやすい「離散型」の場合で、数列∑を使った計算を解説します。

●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

離散系の場合の期待値と分散の解法に慣れるために必要な公式集をまとめます。以下の式を使って、解いていきます。なお、連続系の場合は∑を∫に変えればOKです。

★期待値の公式

★分散の公式

では、解いていきましょう。

★ E[X]の解法

表から、X=1の確率が1/2、X=2の確率が1/2ですから期待値は、
E[X]=1×1/2+2×1/2=3/2

簡単ですね！

★ E[Y]の解法

表から、Y=1の確率が3/8、Y=2の確率が2/8、Y=3の確率が3/8ですから期待値は、
E[Y]=1×3/8+2×2/8+3×3/8=2

簡単ですね！

★ E[X+Y]の解法

X+Yの場合について下表を追加しましょう。

表から、
X+Y=2の確率が2/8、
X+Y=3の確率が2/8、
X+Y=4の確率が2/8、
X+Y=5の確率が2/8
ですから期待値は、
E[X+Y]=2×2/8+3×2/8+4×2/8+5×2/8=3.5

表を追加すれば簡単ですね！

★ E[XY]の解法

同様にXYの場合について下表を追加しましょう。

表から、
XY=1の確率が2/8、
XY=2の確率が2/8、
XY=3の確率が1/8、
XY=4の確率が1/8、
XY=6の確率が2/8
ですから期待値は、
E[XY]=1×2/8+2×2/8+3×1/8+4×1/8+6×2/8=25/8

表を追加すれば簡単ですね！

期待値をまとめると、
E[X]=3/2、E[Y]=2、E[X+Y]=3.5、E[XY]=25/8
となります。

また、
E[X+Y]= E[X]+ E[Y]　は成り立ちますが、
E[XY]= E[X] E[Y]　は成り立ちません。
X,Yは互いに独立ではないからですね。

★ V[X]の解法

●ここで、分散V[X]の式をおさえましょう。
V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]
ですね。

次に、Xの平均\(μ_X\)を求めましょう。
平均\(μ_X\)はX=1,2の平均ですから3/2ですね。

表から、X=1の確率が1/2、X=2の確率が1/2ですから分散は、

V[X]=E[\((X-μ_X)^2\)]=E[\((X-1.5)^2\)]
=\((1-1.5)^2\)×1/2+\((2-1.5)^2\)×1/2
=1/4

ちょっと難しいですね。

★ V[Y]の解法

●ここで、分散V[Y]の式をおさえましょう。
V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]
ですね。

次に、Yの平均\(μ_Y\)を求めましょう。
平均\(μ_Y\)はY=1,2,3の平均ですから2ですね。

表から、Y=1の確率が3/8、Y=2の確率が2/8、Y=3の確率が3/8ですから分散は、

V[Y]=E[\((Y-μ_Y)^2\)]=E[\((Y-2)^2\)]
=\((1-2)^2\)×3/8+\((2-2)^2\)×2/8+\((3-2)^2\)×3/8
=3/4

ちょっと難しいですね。

★共分散COV[X,Y]の解法

●ここで、共分散COV[X,Y]の式をおさえましょう。
COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]
ですね。

共分散は、
COV[X,Y]=E[\((X-μ_X)(Y-μ_Y)\)]= E[\((X-1.5)(Y-2)\)]
=(1-1.5)(1-2)×2/8+(1-1.5)(2-2)×1/8+(1-1.5)(3-2)×1/8+
(2-1.5)(1-2)×1/8+(2-1.5)(2-2)×1/8+(2-1.5)(3-2)×2/8
=1/8

なお、共分散Cov[X,Y]はもう１つ公式があり、
Cov[X,Y]= E[XY]- E[X]E[Y]
1/8=25/8-3/2・3
が成り立ちます。

ちょっと難しいですが、解き方は１パターンなので、何度も復習しましょう。

分散をまとめると、
V[X]=1/4、V[Y]=3/4、Cov[X,Y]=1/8
となります。

●「連続型」の場合で、積分を使った計算を解説します。

本記事は、(2)(3)を解説します。

連続系の場合の期待値と分散の解法に慣れるために必要な公式集をまとめます。以下の式を使って、解いていきます。なお、離散系の場合は∫を∑に変えればOKです。

★期待値の公式

★分散の公式

では、解いていきましょう。

★ E[X]の解法

\(\begin{eqnarray}
\int_0^2 xf_X(x) dx \\
&= \frac{1}{4} \int_0^2 x(x+1) dx \\
&= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \right]_0^2 dx\\
\end{eqnarray}\)
=\(\frac{7}{6}\)
となります。

★ E[Y]の解法

\(\begin{eqnarray}
\int_0^1 yf_Y(y) dy \\
&= \frac{1}{2} \int_0^1 y(1+2y) dy \\
&= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^2}{2}+\frac{2y^3}{3} \right]_0^1 dy\\
\end{eqnarray}\)
=\(\frac{7}{12}\)
となります。

★ E[X+Y]の解法

E[X+Y]=E[X]+E[Y]=\(\frac{7}{4}\)

この解法でもいいですが、せっかくなので積分からでも算出しましょう。

\(\begin{eqnarray}
\int_0^2 \int_0^1 (x+y)f(x,y)dydx \\
&= \frac{1}{4} \int_0^2 \int_0^1 (x+y)(x+2y)dydx \\
\end{eqnarray}\)
=\(\frac{7}{4}\)
となります。
(途中経過は計算してみてください)

積分の計算の詳細はここをご覧ください。

【リンク】計算メモ(PDF)

★ E[XY]の解法

\(\begin{eqnarray}
\int_0^2 \int_0^1 xyf(x,y)dydx \\
&= \frac{1}{4} \int_0^2 \int_0^1 xy(x+2y)dydx \\
\end{eqnarray}\)
=\(\frac{2}{3}\)
となります。
(途中経過は計算してみてください)

積分の計算の詳細はここをご覧ください。

【リンク】計算メモ(PDF)

期待値をまとめると、
E[X]=7/6、E[Y]=7/12、E[X+Y]=7/4、E[XY]=2/3
となります。

また、
E[X+Y]= E[X]+ E[Y]　は成り立ちますが、
E[XY]= E[X] E[Y]　は成り立ちません。
X,Yは互いに独立ではないからですね。

★ V[X]の解法

●ここで、分散V[X]の式をおさえましょう。
まず、E[X²]が必要です。

\(\begin{eqnarray}
\int_0^2 x^2 f_X(x) dx \\
&= \frac{1}{4} \int_0^2 x^2 (x+1) dx \\
&= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3} \right]_0^2 dx\\
\end{eqnarray}\)
=\(\frac{5}{3}\)
となります。

よって、
V[X]=E[X²]-E[X]²
=\(\frac{5}{3}\)-\((\frac{7}{6})^2\)
=11/36

★ V[Y]の解法

●ここで、分散V[Y]の式をおさえましょう。
まず、E[Y²]が必要です。

\(\begin{eqnarray}
\int_0^1 y^2 f_Y(y) dy \\
&= \frac{1}{2} \int_0^1 y^2 (1+2y) dy \\
&= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^3}{3}+\frac{y^4}{2} \right]_0^1 dy\\
\end{eqnarray}\)
=\(\frac{5}{12}\)
となります。

よって、
V[Y]=E[Y²]-E[Y]²
=\(\frac{5}{12}\)-\((\frac{7}{12})^2\)
=11/144

★ 共分散COV[X,Y]の解法

●ここで、共分散COV[X,Y]の式をおさえましょう。
COV[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]
=\(\frac{2}{3}\)-\(\frac{7}{6}\)・\(\frac{7}{12}\)
=\(\frac{-1}{72}\)

ちょっと難しいですが、解き方は１パターンなので、何度も復習しましょう。

積分の計算の詳細はここをご覧ください。

【リンク】計算メモ(PDF)

分散をまとめると、
V[X]=11/36、V[Y]=11/144、Cov[X,Y]=-1/72
となります。

同時確率分布の分散、共分散の導出をわかりやすく解説しました。

★ 本記事のテーマ

★QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

下図のように、データ数N、平均μ、分散\(σ^2\)の有限母集団から、ｎ個のデータをランダムサンプリングします。

n個のデータの平均ではない、標本平均の期待値E[\(\bar{x}\)]と、
分散ではない、標本分散の期待値V(\(\bar{x}\))を導出します。

導出します。

E[\(\bar{x}\)]=E[\(\frac{1}{n}\)\(\sum_{i=1}^{n}x_i\)]
=\(\frac{1}{n}\)E[\(\sum_{i=1}^{n}x_i\)]
=\(\frac{1}{n}\){E[\(x_1+x_2+…+x_n\)]}
=\(\frac{1}{n}\){E[\(x_1\)]+ E[\(x_2\)]+…+ E[\(x_n\)]}
=\(\frac{1}{n}\){μ+μ+…+μ}
=\(\frac{nμ}{n}\)
=μ

なお、すべてのiについて、
E[\(x_i\)]=μ
を使いました。

次に標本分散V(\(\bar{x}\))を導出しますが、導出過程に必要な式があります。先に紹介して導出しておきましょう。

「なんじゃこりゃ！」という式ですが、展開すれば成立します。あとで導出しますね。

実際に展開しましょう。

\((\sum_{i=1}^{n}x_i)^2\)
=\((x_1+x_2+…+x_n)^2\)
=(あ)

和の2乗の展開は、
自身の2乗と、互いの積の和ですね。これは高校１年数学レベルです。

(あ)式は
(あ)=(\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\) (2乗和)
+\(x_1( なし+x_2+x_3+…+x_{n-1}+x_n)\) (互いの積)
+\(x_2(x_1+なし+x_3+…+x_{n-1}+x_n)\) (互いの積)
…
+\(x_{n-1}(x_1+x_2+x_3+…+x_{n-2}+なし+x_n)\) (互いの積)
+\(x_n (x_1+x_2+x_3+…+x_{n-2}+x_{n-1}+なし)\) (互いの積)
=(い)

(あ)式の「互いの積」項にある「なし」は2乗和の項に入れたため、ありません。「ない」ことを明確にするために「なし」と入れました。

(い)式をまとめましょう。

2乗和は簡単で
(\(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2\)=\(\sum_{i=1}^{n} x_i^2\)
ですね。

互いの積は、それぞれの組み合わせの積だけど、自分自身同士の積はないので、
\(x_1( なし+x_2+x_3+…+x_{n-1}+x_n)\) (互いの積)
+\(x_2(x_1+なし+x_3+…+x_{n-1}+x_n)\) (互いの積)
…
+\(x_{n-1}(x_1+x_2+x_3+…+x_{n-2}+なし+x_n)\) (互いの積)
+\(x_n (x_1+x_2+x_3+…+x_{n-2}+x_{n-1}+なし)\) (互いの積)
=\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}x_i x_j\)
とまとめることができます。

できましたね。

期待値Eを使って、ズルく導出します。数式よりは論理で両辺を等号に持ち込みます。

もともとデータ\( X_i \)も\( x_i \)も同じ集合におり、平均、分散も同じですね。だとしたら、
期待値E[\( X_i \)]= E[\( x_i \)]と
期待値E[\( X_i^2 \)]= E[\( x_i^2 \)]と
してもよいですね。期待値だから、似たデータなら期待値は同じ。ちょっと強引ですか？

あとは、個数の平均を考えればOK。よって、

数学的には正しいけど、ちょっと強引ですね。

同様に、

以上、下ごしらえは終わりです。では、標本分散を導出しましょう。

分散の公式は、

E[\(\bar{x}\)]はすでに、E[\(\bar{x}\)]=μとわかっています。

E[\(\bar{x^2}\)]を導出します。分散はいつもE[\(x^2\)]の導出が難しいですよね。

E[\(\bar{x^2}\)]=E[\((\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)^2\)]
=\(\frac{1}{n^2}\)E[\((\sum_{i=1}^{n}x_i)^2\)]
=(ア)

(ア)の式で、\((\sum_{i=1}^{n}x_i)^2\)は、【数式その１】そのものですね。使いましょう。

(ア)= \(\frac{1}{n^2}\)E[\(\sum_{i=1}^{n}x_i ^2\)+\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}x_i x_j\)]
=\(\frac{1}{n^2}\)E[\(\sum_{i=1}^{n}x_i ^2\)]+\(\frac{1}{n^2}\)E[\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}x_i x_j\)]
=(イ)

次に、【数式その2】を使って\(x_i\)から\(X_i\)の式に変換します。
E[\(\sum_{i=1}^{n}x_i ^2\)]=\(\frac{n}{N}\)E[\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)]
E[\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}x_i x_j\)]= \(\frac{_{n}C_2}{_{N}C_2}\)E[\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)]

(イ)
=\(\frac{1}{n^2}\)E[\(\sum_{i=1}^{n}x_i ^2\)]+\(\frac{1}{n^2}\)E[\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}x_i x_j\)]
=\(\frac{1}{n^2}\)\(\frac{n}{N}\)E[\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)]+\(\frac{1}{n^2}\)\(\frac{_{n}C_2}{_{N}C_2}\)E[\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)]
=(ウ)

整理すると、
(ウ)
=\(\frac{1}{nN}\)E[\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)]+\(\frac{1}{n^2}\)\(\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\)E[\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)]
=(エ)

ここで、\(X_i\)は母集団のデータなので、期待値Ｅが外せます。つまり、
E[\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)]=\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)
E[\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)]=\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)
です。なお、サンプリングした方の\(x_i\)は期待値Ｅが外せません。

(エ)
=\(\frac{1}{nN}\)\(\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)+\(\frac{1}{n^2}\)\(\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\)\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)
=(オ)

次に、よくわからない式、\(\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)を別の式に書き換えましょう。

ここで、よく考えると、
\(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i\)=μより、
●\(\sum_{i=1}^{N}X_i\)=Nμ
●\((\sum_{i=1}^{N}X_i)^2\)=\((Nμ)^2\)
が成り立ちますね。

【数式その１】を見ると、

つまり、
\((\sum_{i=1}^{N}X_i)^2\)=\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)+\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{N}X_i X_j\)=\((Nμ)^2\)
が成り立ちます。式変形すると、
\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{N}X_i X_j\)=\((Nμ)^2\)-\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)
=(カ)
が成り立ちます。

ちょっと前の(オ)式に(カ)式を代入します。

(オ)
=\(\frac{1}{nN}\)\(\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)+\(\frac{1}{n^2}\)\(\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\)\(\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1(i≠j)}^{n}X_i X_j\)
=\(\frac{1}{nN}\)\(\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)+\(\frac{1}{n^2}\)\(\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\)[\((Nμ)^2\)-\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)]
=(キ)

(キ)式はμと\(\sum_{i=1}^{N}X_i ^2\)について式変形しましょう。その結果は

(キ)
=E[\(\bar{x^2}\)]
=\(\frac{1}{nN}\)\(\frac{N-n}{N-1}\)\(\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)+\(\frac{N(n-1)}{n(N-1)}\)\(μ^2\)
となります。長かったですね。もうちょっとで完成です。

標本分散V(\(\bar{x}\))の式は

代入しましょう。
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{1}{nN}\)\(\frac{N-n}{N-1}\)\(\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)+\(\frac{N(n-1)}{n(N-1)}\)\(μ^2\)-\(μ^2\)
=(ク)

(ク)式をまとめると
(ク)=\(\frac{N-n}{N-1}\)[\(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)-\(μ^2\)]\(\frac{1}{n}\)
=(ケ)

(ケ)式の中の、[\(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)-\(μ^2\)]はよく見ると、
[\(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i^2\)-\(μ^2\)]=E[x²]-E[x]²
=\(σ^2\)
ですから、まとめると、

(ケ)つまり、標本分散V(\(\bar{x}\))は
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{N-n}{N-1}\)\(\frac{σ^2}{n}\)

無限母集団の標本分散は\(\frac{σ^2}{n}\)ですから、修正項は、

できましたね。お疲れさまでした。

有限母集団の修正項の導出をわかりやすく解説しました。