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【やっぱり難しい】2段サンプリングの分散が導出できる

サンプリング

「2段サンプリングの分散がわからない」、と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【やっぱり難しい】2段サンプリングの分散が導出できる
  • ①2段サンプリングの分散公式とは
  • ➁2段サンプリング
  • ➂2段サンプリングの分散を導出
  • ➃層別、集落サンプリングの分散を導出
2変数の確率分布関数にまず、慣れましょう!
期待値、分散の導出から数列・積分も慣れましょう!

①2段サンプリングの分散公式とは

「2段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\):1次サンプルの大きさ
・\(n\):2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\):1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\):1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\):有限修正項
となりますよね。

でも、

この式は何なの?
何でこんな難しい式なの?
覚えられない。。。

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

「2段サンプリングの分散」の式を導出します
やっぱり難しいけど!

ちょっとだけ、文字を変えて、
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)
を導出します。

➁2段サンプリング

2段サンプリングは下図のように、2回サンプリングします。

  1. 1回目はM個の集落からm個をサンプリング
    集落内の\(\bar{N}\)個はすべて抜取
  2. 2回目はm個の集落すべてに対して
    \(\bar{N}\)個から\(\bar{n}\)は抜取

●1回目抜取

2段サンプリングの分散

●2回目抜取

2段サンプリングの分散

➂2段サンプリングの分散を導出

では、
V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)
を導出します。

期待値Eの2段階表現方法

ここで、普段あまり見かけませんが、トリッキーな表現方法を使って変形していきます。こういうところが難しいですね。

2段サンプリングで得られた、標本平均\(\bar{x}\)の期待値E[\(\bar{x}\)]を考えます。

もちろん標本平均\(\bar{x}\)は単純に、
\(\bar{x}\)=\(\frac{1}{m \bar{n}} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij} \)
ですね。

よく見ると、\(\bar{x}\)は
●\(i\)について
●\(j\)について
2回平均値を求めていますね。つまり、平均値である期待値Eを計算しているわけなので、

E[\(\bar{x}\)]=\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}\)]
という普段使わない表現で置き換えます。

2段サンプリングの分散V(\(\bar{x}\))を導出

分散の公式どおり、
V(\(\bar{x}\))= E[\(\bar{x}^2\)]- E[\(\bar{x}\)]2
=(式1)
となり、これを先ほどの2段階の期待値表記に変えます。

(式1)
=\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}^2\)]-{\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}\)]}2
=(式2)

(式2)に対して、 \(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}2を追加します。
(式2)
=\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}^2\)]-\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}2
+\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}2
-{\(E_i E_j^i \)[\(\bar{x}\)]}2
=\(E_i\)[\(E_j^i\)[\(\bar{x}^2\)]-{\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}2]
+[\(E_i\){\(E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}2-{\(E_i E_j^i\)[\(\bar{x}\)]}2]
=\(E_i\){\(V_j^i(\bar{x})\)}+\(V_i\){(\(E_j^i (\bar{x})\))
=(式3)
と強引ですが、まとめることができます。

ここで、\(V_j^i\)は第\(i\)集落内での分散とします。

2段サンプリングの分散は
やっぱり難しい!

2段サンプリングの分散V(\(\bar{x}\))第1項をまとめる

(式3)の第1項をまとめていきます。

\(E_i\){\(V_j^i(\bar{x}\))}
=\(E_i\){\(V_j^i (\frac{1}{m \bar{n}} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij} )\)}
として、\(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} \)を分散Vの外に出します。
=\(E_i\){\(\frac{1}{m^2} \)\(\sum_{i=1}^{m} V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij} )\)}
さらに、\(\frac{1}{m^2}\)を\(\frac{1}{m}\)・\(\frac{1}{m}\)に分けます。
=\(\frac{1}{m}E_i\){\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij} )\)}
=(式4)

ここで、見ずらいですが、
●\(V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij} )\)の
\(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij}\)=\(\bar{x}\)なので、
\(V_j^i(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}}x_{ij} )\)= \(V_j^i(\bar{x})\)
を代入します。

すると、
\(V_j^i(\bar{x})\)=\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_i^2}{\bar{n}}\)
と有限母集団の時の係数\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\)が付きますね。

有限母集団については関連記事があります。ご確認ください。丁寧に導出していますが、それでも難しい内容です!

【必読】有限母集団の修正項の導出ができる
有限母集団の修正項(N-n)/(N-1)を導出できますか?本記事では修正項の導出を丁寧にわかりやすく解説しました。式の機械的な変形以外はすべて省かずに解説しました。

(式4)を計算すると、
(式4)
=\(\frac{1}{m}E_i\){\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_i^2}{\bar{n}}\)}
=(式5)

そして、
●\(E_i\)[\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\)]
を、期待値の性質を使って
●\(\frac{1}{m}・\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\)
変えると(式5)は、
=\(\frac{1}{m} \frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_w^2}{\bar{n}}\)
となり、
\(n\)=\(m \bar{n}\)から、
=\( \frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1} \frac{σ_w^2}{n}\)
となり、2段サンプリングの分散の第1項ができます。

なお、
●\(σ_i^2\)=\(\frac{1}{\bar{N}}\sum_{j=1}^{\bar{N}}(x_{ij}-μ_i)^2\)
●\(σ_w^2\)=\(\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} σ_i^2\)
とします。

2段サンプリングの分散は
やっぱり難しい!

2段サンプリングの分散V(\(\bar{x}\))第2項をまとめる

(式3)の第2項をまとめていきます。

(式3)第2項
=\(V_i (E_j^i (\bar{x}))\)
=\(V_i (E_j^i (\frac{1}{m \bar{n}} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij}))\)
=\(V_i (\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} E_j^i (\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij}))\)

ここで、\( E_j^i \)[\(\frac{1}{\bar{n}} \sum_{j=1}^{\bar{n}} x_{ij}\)]=\(μ_i\)から
=\(V_i (\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} μ_i )\)
有限母集団の分散を意識して、
=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)
となります。

よって、第1項と第2項を入れ換えて、まとめると

V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)

が導出できました。

➃層別、集落サンプリングの分散を導出

2段サンプリングの分散の式

再掲すると、

V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)

層別サンプリングの分散を導出

第2項の式のだけになりますので、2段サンプリングの分散の式がわかればOKですね。

V(\(\bar{x}\))=\(\frac{\bar{N}-\bar{n}}{\bar{N}-1}\frac{σ_w^2}{n}\)

集落サンプリングの分散を導出

第1項の式のだけになりますので、2段サンプリングの分散の式がわかればOKですね。

V(\(\bar{x}\))=\(\frac{M-m}{M-1} \frac{σ_b^2}{m}\)

まとめ

「【やっぱり難しい】2段サンプリングの分散が導出できる」をわかりやすく解説しました。

  • ①2段サンプリングの分散公式とは
  • ➁2段サンプリング
  • ➂2段サンプリングの分散を導出
  • ➃層別、集落サンプリングの分散を導出


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