「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=XY積の場合)
- ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
- ➁ Z=XY積の場合（事例1）
- ➂ Z=XY積の場合（事例2）
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①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!
確率変数の変換は難しいけど、
理解しないと、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係が理解できないから困っている！
確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
１つ条件があります！
それは、
公式暗記より、実演でマスターした方が速い！
１つ解法で解ける解法で、たくさんの例題を見る方がマスターは速い！
慣れてきたら、公式を見ましょう。
2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。
同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。
2変数の確率変数の変換の求め方
1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。
変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
- 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。
A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。
計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！
では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！
➁ Z=XY積の場合（事例1）
QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。
- 簡単な関数の変換事例
- t分布の確率密度関数の導出
- F分布の確率密度関数の導出>
- 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
- 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法
今回は、その4「1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法」です。
1変数の変換については、関連記事でまとめていますが、主にZ=X+Y,Z=X-Yの加減についてでした。
ただし、乗商については書いていません。なぜなら、
1変数の乗商の変換は2変数の変換の解法の方が解きやすいから
では、解説していきます。2例解説します。
(3) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
【例題】
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ一様分布U(0,1)に従うとき、確率変数\(Z\)を\(Z=XY\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。
やってみましょう。
まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=1\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)=1\) (0 ≤ \(y\) ≤ 1)
解き方は、
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
- 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
ここで、変換する変数を定義します。
\(Z\)=\(XY\)、\(W\)=\(Y\)とおく、つまり
\(Z\)=\(XW\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。
ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{z}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{z}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。
ここまで大丈夫ですね！
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1 \frac{1}{w} dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)
結構、スッキリしますね！
2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。
なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。
ここで、注意なのが、
変数の範囲が限定されているため、積分区間は場合分けが必要
(0 ≤ \(x\) ≤ 1)
(0 ≤ \(y\) ≤ 1)
変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。
●\( h(z)\)=0 (\(w\) ≤ 0) (積分区間が無い)
●\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{w} \frac{1}{w}dw \)=\(\left[log w \right]_{z}^{1}\)=\(-log z\)
●\( h(z)\)=0 (\(w\) ≥ 0) (積分区間が無い)
となります。ここが難しいですね！
1変数の積の変換は2変数の変換から計算できますね！
もう１つ事例を挙げます。次は、積分が困難なので、途中で終わる場合です。
➂ Z=XY積の場合（事例2）
(4) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
【例題】
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ指数分布に従うとき、
\(f(x)=λe^{-λx} \)(0 ≤ \(x\))
\(g(y)=μe^{-μy} \)(0 ≤ \(y\))
確率変数\(Z\)を\(Z=XY\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。
やってみましょう。
解き方は、事例1と同じです。
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
- 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
ここで、変換する変数を定義します。
\(Z\)=\(XY\)、\(W\)=\(Y\)とおく、つまり
\(Z\)=\(XW\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。
ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{1}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{1}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。
ここまで大丈夫ですね！
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw\)
=(式1)
よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}\)
2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。
なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。
ここで、注意なのが、
変数の範囲が限定されているため、積分区間は場合分けが必要
(0 ≤ \(x\))
(0 ≤ \(y\))
変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。
●\( h(z)\)=0 (\(w\) ≤ 0) (積分区間が無い)
●\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
実は、この
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
の積分が非常に難しいです。なぜなら、
\(e^{-\frac{1}{w}}・e^{-w}\)の積分で、特に、\(e^{-\frac{1}{w}}\)が難しいです。
一旦ここで、保留しましょう。
指数関数の指数が分数で、分母に積分したい変数が入ると計算が一気に難しくなるので、あまりZ=XYのパターンは出ないと思ってよいでしょう。
うまく計算ができないパターンもブログとして掲載しますね。
教科書は、うまく計算ができる例だけしかないので、あたかもどんな関数でも変換ができるように錯覚しがちです。
とは、言っても、伝えたいことは
1変数の積の変換は2変数の変換から計算できますね！
いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=XY積の場合)」を解説しました。
- ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
- ➁ Z=XY積の場合（事例1）
- ➂ Z=XY積の場合（事例2）
統計学
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