ガンマ関数がよくわかる(その1_高校数学復習編)
「ガンマ関数がわからない！」、「ガンマ関数の導出方法や性質を数式で解けない！」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①ガンマ関数とは
- ➁ガンマ関数を攻略するための必要な高校数学スキル
- ➂ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その1
- ➃ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その2
- ➄ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その3
大人の数学ガンマ関数に挑もう！
●数十年前に受験生だった人も復習しましょう！
①ガンマ関数とは
ガンマ関数の式だけ紹介
こんな式ですね。ビビる必要はありません！
なんじゃこりゃ！ですが、大丈夫です！
高校数学の準備をしましょう！
➁ガンマ関数を攻略するための必要な高校数学スキル
必ず、復習しておさえておきたいのが、3つ
- 数学的帰納法
- \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0\)
- 部分積分から漸化式を作る流れ
個別の内容は高校数学の教科書で確認ください。
これから一緒に復習する
➂ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その1
➃ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その2
➄ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その3
で何度も使います。
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0\)の証明
よく、証明せずに使ってもよいと大学入試の設問では書いていますが、ちゃんと証明できますか？
実は大学に行くと、テイラー展開やマクローリン展開で
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+…\)
と展開できるのを習うので、この式を使えば0に収束すると証明できます。
高校数学の場合は、テイラー展開とか習わないので、こんな問いで誘導していきます。
問1 \(e^x\) ≥ \(1+x+\frac{x^2}{2!}\)を示せ。
問2 \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0\)を示せ。
どれも、典型的な問いで、
問1は \(f(x)\)=(左辺)-(右辺)として、この関数を調べればOK！
\(f(x)=e^x-(1+x+\frac{x^2}{2}\))
\(f’(x)=e^x-(1+x)\)
\(f’’(x)=e^x-1\) ≥0
から
\(f’(x)=e^x-(1+x)\)は単調増加で \(f’(x) \) ≥ \(f’(0)=0\)
よって、\(f(x)=e^x-(1+x+\frac{x^2}{2}\))も単調増加で、
\(f(x) \) ≥ \(f(0)=0\)が成り立つ。
問2は問1を使って、挟み込みすればOK
\(x\)と\(e^{-x}\)はともに正の数なので、
0 <\(\frac{x}{e^x}\) < \(\frac{x}{1+x+\frac{x^2}{2}}\)となり、
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x+\frac{x^2}{2}}= 0\)より、
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0\)
さらっと、行けましたでしょうか？
では、良問な大学数学入試問題を解きながら、ガンマ関数に慣れていきましょう。
➂ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その1
問い
(1) 関数\(f(x)\) = \(x^{n+1}e^{-x}\)の\(x\) ≥0 における最大値を求めよ。
(2) 極限\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} \)を求めよ。
(3) すべての自然数\(n\)に対して\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle \int_{0}^{x} t^n e^{-t}dt \)=\(n!\)を示せ。
(2015 弘前大)
ガンマ関数を大学受験に出すとこうなります。
典型的であるが、絶対おさえておきたい良問です。
ムズイ？
解法
(1)の解法
関数\(f(x)\) = \(x^{n+1}e^{-x}\)
微分すると、
\(f’(x)\) = \((n+1)x^n e^{-x}- x^{n+1}e^{-x}\)
=\(x^n e^{-x}((n+1)-x)\)
増減表は、
| \(x\) | 0 | ・・・ | \(n+1\) | ・・・ |
| \(f'(x)\) | + | 0 | – | |
| \(f(x)\) | ↗ | max | ↘ |
より\(f(x)\)は\(x=n+1\)の時が最大値になります。
関数\(f(n+1)\) = \((n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}\) (答え)
(2)の解法
(1)の結果を使います。\(f(x)\)は
0 ≤ \(x^{n+1}e^{-x}\) ≤ \((n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}\)
の制約条件が成り立ちます。
一方、\(x^n e^{-x} \)を
\(x^n e^{-x} \)=\(\frac{x^{n+1} e^{-x}}{x} \)と変形すると、上の不等式から
0 ≤ \(x^n e^{-x} \)=\(\frac{x^{n+1} e^{-x}}{x} \) ≤ \(\frac{(n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}}{x}\)
となります。
\(x⇒∞\)にすると、
\(\frac{(n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}}{x}\) ⇒0 (分母の\(x\)が∞になるので)
となるので、結果、
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} \)=0 (答え)
(3)の解法
(i)\(n=1\)のとき、\(\displaystyle \int_{0}^{x} t e^{-t}dt \)
=\(\left[-(t+1)e^{-t} \right]_{0}^{x}\)
=1=(1!)
より成立。
部分積分大丈夫ですか？ ⇒を微分する方向として
\(-t e^{-t}\)⇒\(t e^{^t}- e^{-t}\)
\(-e^{-t}\)⇒\(+ e^{-t}\)
から
\(-t e^{-t}–e^{-t}\)⇒\(t e^{^t}\)
と計算できます。
(ii)次に、\(n=k\)のとき、\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle \int_{0}^{x} t^k e^{-t}dt \)=\(k!\)と仮定すると、
(iii)\(n=k+1\)のとき、
部分積分すると、⇒を微分する方向として
\(-t^{k+1} e^{-t}\)⇒\(t^{k+1} e^{^t}- (k+1)t^k e^{-t}\)
ここで止めると、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left[-t^{k+1} e^{-t}\right]_{0}^{x}\)=\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} t^{k+1} e^{^t}dt \) -\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} (k+1)t^k e^{-t}dt \)
計算すると、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} -x^{k+1} e^{-x}\)=\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} t^{k+1} e^{^t}dt \)-\((k+1)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} t^k e^{-t}dt \)
(左辺)=0で、(右辺)第1項は求めたい\(n=k+1\)の式で、第２項の積分は仮定した\(n=k\)のとき\(k!\)になるので、
(つまり、\((k+1)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} t^k e^{-t}dt \)=\(k!\))
代入すると、
0=\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} t^{k+1} e^{^t}dt \)-\((k+1)k!\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{x} t^{k+1} e^{^t}dt \)=\((k+1)!\)
となるので、\(n=k+1\)のときも成り立つ。
よって、すべての自然数\(n\)に対して\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle \int_{0}^{x} t^n e^{-t}dt \)=\(n!\)となる。(答え)
すべての自然数\(n\)に対して\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle \int_{0}^{x} t^n e^{-t}dt \)=\(n!\)
(ガンマ関数の入り口)
いい勉強になります！
どんどん行きます！
➃ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その2
問い
問2 極限\(I_m\)=\(\displaystyle \lim_{t \to \infty}\displaystyle \int_{0}^{t} x^m e^{-x}dx\) \(m=0,1,2,…)\)を求めよ。
(2001 東北大)
ガンマ関数を大学受験に出すとこうなります。
典型的であるが、絶対おさえておきたい良問です。
東北大だけど、ムズイ？
解法
(1)の解法
(i)\(n\)=1のとき、 \(f(t)=e^t -t\)として、
\(f’(t)=e^t \) >0 より
\(f(t)\) > \(f(0)\)=0 より証明が成り立つ
(ii)\(n=k\)のとき、\(e^t\) > \(\frac{t^k}{k!}\)と仮定して、
(iii)\(n=k+1\)のとき、\(f(t)=e^t -\frac{t^{k+1}}{(k+1)!}\)として、
\(f’(t)=e^t – \frac{(k+1) t^k}{(k+1)!}\)=\( e^t – \frac{t^k}{k!}\) > 0
より、\(f(t)\) > \(f(0)\)=0 より証明が成り立つ
よって、\(t\) ≥ 0 のとき、不等式\(e^t\) > \(\frac{t^n}{n!}\)が成り立つ。
(2)の解法
これがガンマ関数の入り口の問題です。
部分積分すると、⇒を微分する方向として
\(-x^m e^{-t}\)⇒\(x^m e^{-x}\)-\(mt^{m-1} e^{-t}\)
つまり、まとめると、
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty}\left[-x^m e^{-t}\right]_{0}^{t} \)=\(I_m\)-\(mI_{m-1}\)
(左辺)は
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty}(-t^m e^{-t}) \)で(1)の証明から
0 ≤ \( t^m e^{-t}\) ≤ \( (m+1)!\frac{t^m}{t^{m+1}}\)として、挟み込みから0になります。
(\(e^t\) > \(\frac{t^{m+1}}{(m+1)!}\)として代入)
つまり、
\(I_m\)=\(mI_{m-1}\)
\(I_1\)は計算して1より、
\(I_m\)=\(m!\)となる。 (答え)
すべての自然数\(n\)に対して\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \displaystyle \int_{0}^{x} t^n e^{-t}dt \)=\(n!\)
(ガンマ関数の入り口)
いい勉強になります！
もう１つ行きます！
➄ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その3
問い
\(I_n(t)\)= \(\displaystyle \int_{0}^{t} x^n e^{-ax}dx\)と定める。(2008 大阪府大 改)
(1) \(e^{ax}\)=\(\sum_{k=0}^{∞} \frac{a^k}{k!} x^k \)と近似できることを用いて、
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} t^n e^{-at}\)=0を示せ。
(2) \(I_1(t)\)を求めよ。
(3) \(I_{n+1}(t)\)と\(I_n(t)\)の関係式を求めよ。
(4) \(J_n\)=\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} I_n (t) \)とするとき、\(J_n\)を求めよ。
解法
3回目の問いなので、略解でいきます。
(1)は挟みこみで0に持って行きたいので、\(x^n e^{-ax}\)より大きい値でt⇒∞にするとその値が明らかに0になるものを入れたい。
QCプラネッツなら、
\(e^{ax}\)=\(\sum_{k=0}{∞} \frac{a^k}{k!} x^k \) > \(\frac{a^(n+1)}{(n+1)!} x^{n+1}\)を使います。
(2) \(I_1(t)\)=\(-\frac{t}{ae^{at}}-\frac{1}{a^2 e^{at}}+ 1\)
文字式が多すぎて、センスがいまいちな結果。こういうところも府大らしい。。。
(3) \(I_{n+1}\)=\(\frac{n+1}{a}I_n(t)+\frac{1}{a}t^{n+1}e^{-at}\)
(4)先に∞に飛ばして、\(\frac{1}{a}t^{n+1}e^{-at}\)=0として無視して計算しましょう。
\(J_n\)=\(\frac{n!}{a^{n-1}}J_1\)
\(J_1\)は\(I_1(t)\)のt⇒∞なので、\(J_1\)=1
よって、
\(J_n\)=\(\frac{n!}{a^{n-1}} \)
ガンマ関数の本質よりは、単なる計算力を求めているだけの問いになっているのが、ちょっと残念！な問題ですね。出題者のセンスが良くないんでしょうね。
以上、ガンマ関数を身に着けるための重要な高校数学の演習問題です。是非解いてみてください。
次は、ガンマの関数を大学の数学や統計学を使って解説します。けど、高校数学ができれば大丈夫！
本記事の内容は、高校数学で解けましたね！
まとめ
「ガンマ関数がよくわかる(その1_高校数学復習編)」を解説しました。
- ①ガンマ関数とは
- ➁ガンマ関数を攻略するための必要な高校数学スキル
- ➂ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その1
- ➃ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その2
- ➄ガンマ関数を習う前に復習すべき大学入試問題その3
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