条件付き確率がわかる(2段サンプリングの分散式導出）
「条件付き確率がわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
- ➁条件付き確率とは
- ➂条件付き確率の例題
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①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
2段サンプリングの分散の式
「２段サンプリングの分散」の式があります。
E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。
でも、
と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。
そこで、
という思いで、解説していきます。
2段サンプリングの分散の式に必要な内容
まとめると、以下を理解しておく必要があります。
- 条件付き確率
- ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
- 同時確率分布の分散、共分散の導出
- 条件付き確率の期待値・分散
- 全分散の公式の導出
- ２段サンプリングの分散の公式導出
残念ながら、「Yes」です。
だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記だけして代入して終わることが多いです。
だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!
2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ
「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。
では、１つ１つ解説します。
➁条件付き確率とは
まず、第１弾として「条件付き確率」を解説します。条件付き確率は高校数学でも習う、「ちょっと変わった確率」です。
- 条件付き確率
- ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
- 同時確率分布の分散、共分散の導出
- 条件付き確率の期待値・分散
- 全分散の公式の導出
- ２段サンプリングの分散の公式導出
条件付き確率とは
●２つの事象、変数が前提です。ある事象Bが起こった条件のもとで、事象Aが起こる確率を考えるのが、「条件付き確率」ですね。
事象Aも事象Bも同時に起こる確率は
P(A∩B)=P(A)×P(B)
で計算しますね。
このANDの条件に対して、分母を
全体１ではなく、事象Bが起こる確率と変える点が、
「条件付き確率」の特徴です。
条件付き確率の公式
公式で書くと、
P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)
と書ける。
条件付き確率の独立性とは？
上に書いたとおり、
P(A∩B)=P(A)×P(B)
が成り立つ場合は
P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)
=\(\frac{ P(A)×P(B)}{P(B)}\)
=P(A)
なります。
「ある事象Bが起こった条件のもとで、事象Aが起こる確率は、
単に事象Aが起こる確率と同じ」です。
って、これって、事象Aと事象Bの関わりがまったく無いじゃん！ということで、
事象Aと事象Ｂは独立である
って言います。
論理的には、条件付き確率の独立性は有りですけど、実際は、
AとBが互いに影響し合う場合に考える確率問題が「条件付き確率」です。
2段サンプリングも１段目と２段目が互いに影響するので、条件付き確率の考えが必要です。
➂条件付き確率の例題
実際に例題を解いてみましょう。
ハートの1～4の1枚ずつ計4枚
スペードの１～8の１枚ずつ計8枚
袋の中から1枚取り出すとき、
(1)カードの数が3以下である確率を求めよ。
(2)カードがスペードとわかっている時、カードの数が3以下である確率を求めよ。
(3)カードの数が3以下であるとわかっているとき、カードがハートである確率を求めよ。
解いてみましょう。
●(1)は、全12枚中、3以下のカードは6枚あるので、確率P=1/2
これは簡単！
(2)(3)は条件付き確率ですね。
●(2)は
・事象A：「カードの数が3以下」
・事象B：「スペードとわかっている時」
・事象A∩B：「カードがスペードで数が3以下」
ですから、
P(B)=8/12
P(A∩B)=3/12
より
P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)= (3/12)/(8/12)=3/8
です。ちょっとわかりにくいですね。条件付き確率は。
検算方法としては、
・事象B：「スペードとわかっている時」⇒8枚
・事象A∩B：「カードがスペードで数が3以下」⇒3枚
から3/8としてもOKですね。こっちの方が分かりやすいですね！
●(3)は
・事象A：「カードがハート」
・事象B：「カードの数が3以下である」
・事象A∩B：「カードの数が3以下で、ハート」
ですから、
P(B)=4/12
P(A∩B)=3/12
より
P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)= (3/12)/(4/12)=3/4
です。ちょっとわかりにくいですね。条件付き確率は。
検算方法としては、
・事象B：「カードの数が3以下である」⇒4枚
・事象A∩B：「カードの数が3以下で、ハート」⇒3枚
から3/4としてもOKですね。こっちの方が分かりやすいですね！
P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)
の式、ガンガン使っていくので、慣れましょうね！
まとめ
条件付き確率をわかりやすく解説しました。
- ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
- ➁条件付き確率とは
- ➂条件付き確率の例題
