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管理図で「工程が管理状態である」がわかる

管理図

「工程が管理状態であるはどんな状態なのかがわからない」、などと困っていませんか?

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

管理図で「工程が管理状態である」が理解できる
管理図から群内変動\(σ_w^2\)と群間変動\(σ_b^2\)を使って
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
と、分割できるが、
(A) \(σ_b^2\)=0となる場合は、どんな場合か?
(B) \(σ_w^2\)=0となる場合は、どんな場合か?
(C) \(σ^2\)=0となる場合は、どんな場合か?
を解説します!
  • ①管理図における群内変動と群間変動
  • ②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
  • ③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
  • ④全分散\(σ^2\)=0の場合
教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる!

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定1級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

①管理図における群内変動と群間変動

管理図では、データを
●群単位で小分けし、群間データを管理
●群内のデータを管理
の2つが必要です。

管理図から群内変動\(σ_w^2\)と群間変動\(σ_b^2\)を使って
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
と、分割できる

上の式の導出は、関連記事に詳しく解説しています。

【必読】管理図の分散σ(x)とσ(xbar)の違いがわかる(群内変動と群間変動)
管理図において、群内変動と群間変動の分散の導出方法がわかりますか? 本記事では、Xbarの分散公式とXの分散公式の違いや、公式の導出方法を平方和、実験計画法を活用して導出します。単なる公式の丸暗記に頼らず自力導出できることが重要です。

分散のポイント

①データの構造式
●\(x_{ij}-\bar{\bar{x}}\)=(\(x_{ij}-\bar{x_{i・}}\))+(\(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}}\))
と分割すると、
②平方和の分解
●\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
が成り立つ。
③分散の分解
それぞれ両辺をabで割ると、
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
が成り立つ。

\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)の式を使って考えていきます。

②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)

群間変動\(σ_b^2\)=0の場合はよく、
工程が管理状態であるとか、
統計的管理状態とか、
言います。

群間変動\(σ_b^2\)=0になるデータとは、どんなデータか?

ちょっと考えてみましょう。

●群間のずれが無いデータを考える
●\(\sum_{i} \sum_{j} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)≡\(σ_b^2\)ですから、
 2乗和=0なら、すべてのiについて\(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}}\)=0ですね。
つまり、\(\bar{x_{i・}}\)=\(\bar{\bar{x}}\)となるデータですね。

イメージ付きましたか?

群間変動\(σ_b^2\)=0になるデータ例

例えば、次のようなデータが挙げられます。

群間/群内 1 2 3 4 \(\bar{x_i}\) \(\bar{\bar{x}}\) R
1 3 2 5 4 3.5 3.5 3
2 3 5 2 4 3.5 3.5 3
3 4 4 4 2 3.5 3.5 2
4 3 2 5 4 3.5 3.5 3
5 6 2 5 1 3.5 3.5 5
6 3 2 5 4 3.5 3.5 3

縦方向が群間、横方向が群内です。
横方向はデータがばらついても、合計値はどの群でも同じ14となる場合です。

確かに、黄色枠のように
\(\bar{x_i}\)と\(\bar{\bar{x}}\)の値が3.5で一致しますが、
範囲Rは群ごとに異なる値となっています。

群間変動\(σ_b^2\)=0になる場合を管理図で確認

\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。

Xbar-R管理図

\(\bar{X}\)管理図は各群の値が一定であるが、
R管理図は各群でばらつきがある

群間変動\(σ_b^2\)=0の場合は、
工程が管理状態であるとか、
統計的管理状態とか、
言いますが、
実際、管理図で描くとイメージがわきますね。

実際は、\(\bar{X}\)管理図は各群の値が一定にはなりませんから、若干のばらつきがある程度まで、ばらつきを抑えることが管理状態であるというのでしょう。

③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合

群内変動\(σ_w^2\)=0になるデータとは、どんなデータか?

ちょっと考えてみましょう。

●群内のずれが無いデータを考える
●\(\sum_{i} \sum_{j} (x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)≡\(σ_w^2\)ですから、
 2乗和=0なら、すべてのjについて\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)=0ですね。
つまり、\(x_{ij}\)=\(\bar{x_{i・}}\)となるデータですね。

イメージ付きましたか?

群内変動\(σ_w^2\)=0になるデータ例

例えば、次のようなデータが挙げられます。

群間/群内 1 2 3 4 \(\bar{x_i}\) \(\bar{\bar{x}}\) R
1 3 3 3 3 3 3 0
2 4 4 4 4 4 3 0
3 5 5 5 5 5 2.75 0
4 2 2 2 2 2 2 0
5 3 3 3 3 3 2 0
6 1 1 1 1 1 1 0

縦方向が群間、横方向が群内です。
縦方向はデータがばらついても、横の値はすべて同じとなる場合です。

各群の範囲Rの値が0となっています。

群内変動\(σ_w^2\)=0になる場合を管理図で確認

\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。

Xbar-R管理図

\(\bar{X}\)管理図は各群で値がばらつくが、
R管理図は各群で0である

群内変動\(σ_w^2\)=0の場合は、
実際、管理図で描くとイメージがわきますね。

群内変動が無いのは理想状態ですが、考えることは大事ですね。

④全分散\(σ^2\)=0の場合

●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)=0
で各項は0以上ですから、
●\(σ^2\)=0
●\(σ_w^2\)=0
●\(σ_b^2\)=0
ですね。

全分散\(σ^2\)=0になるデータとは、どんなデータか?

群間変動\(σ_b^2\)も、群内変動\(σ_w^2\)も0の場合ですね

端的に言えば、
全部同じ値になります。

全分散\(σ^2\)=0になるデータ例

例えば、次のようなデータが挙げられます。

群間/群内 1 2 3 4 \(\bar{x_i}\) \(\bar{\bar{x}}\) R
1 3 3 3 3 3 3 0
2 3 3 3 3 3 3 0
3 3 3 3 3 3 3 0
4 3 3 3 3 3 3 0
5 3 3 3 3 3 3 0
6 3 3 3 3 3 3 0

全分散\(σ^2\)=0になる場合を管理図で確認

\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。

Xbar-R管理図

\(\bar{X}\)管理図も、R管理図は一定値である。

全分散が無いのは理想状態ですが、考えることは大事ですね。

管理状態になるとは、管理図でどうなるのかについて解説しました。

まとめ

管理図で「工程が管理状態である」状態を、実データを見ながら解説しました。

  • ①管理図における群内変動と群間変動
  • ②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
  • ③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
  • ④全分散\(σ^2\)=0の場合

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