管理図で「工程が管理状態である」がわかる
「工程が管理状態であるはどんな状態なのかがわからない」、などと困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
と、分割できるが、
(A) \(σ_b^2\)=0となる場合は、どんな場合か？
(B) \(σ_w^2\)=0となる場合は、どんな場合か？
(C) \(σ^2\)=0となる場合は、どんな場合か？
を解説します！
- ①管理図における群内変動と群間変動
- ②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
- ③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
- ④全分散\(σ^2\)=0の場合
記事の信頼性
記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。
●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。
①管理図における群内変動と群間変動
管理図では、データを
●群単位で小分けし、群間データを管理
●群内のデータを管理
の２つが必要です。
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
と、分割できる
上の式の導出は、関連記事に詳しく解説しています。
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【必読】管理図の分散σ(x)とσ(xbar)の違いがわかる(群内変動と群間変動) 管理図において、群内変動と群間変動の分散の導出方法がわかりますか？ 本記事では、Xbarの分散公式とXの分散公式の違いや、公式の導出方法を平方和、実験計画法を活用して導出します。単なる公式の丸暗記に頼らず自力導出できることが重要です。 |
分散のポイント
①データの構造式
●\(x_{ij}-\bar{\bar{x}}\)=(\(x_{ij}-\bar{x_{i・}}\))+(\(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}}\))
と分割すると、
②平方和の分解
●\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
が成り立つ。
③分散の分解
それぞれ両辺をabで割ると、
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)
が成り立つ。
②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
工程が管理状態であるとか、
統計的管理状態とか、
言います。
群間変動\(σ_b^2\)=0になるデータとは、どんなデータか？
ちょっと考えてみましょう。
●群間のずれが無いデータを考える
●\(\sum_{i} \sum_{j} (\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}})^2\)≡\(σ_b^2\)ですから、
2乗和=0なら、すべてのiについて\(\bar{x_{i・}}-\bar{\bar{x}}\)=0ですね。
つまり、\(\bar{x_{i・}}\)=\(\bar{\bar{x}}\)となるデータですね。
イメージ付きましたか？
群間変動\(σ_b^2\)=0になるデータ例
例えば、次のようなデータが挙げられます。
| 群間/群内 | 1 | 2 | 3 | 4 | \(\bar{x_i}\) | \(\bar{\bar{x}}\) | R |
| 1 | 3 | 2 | 5 | 4 | 3.5 | 3.5 | 3 |
| 2 | 3 | 5 | 2 | 4 | 3.5 | 3.5 | 3 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 2 | 3.5 | 3.5 | 2 |
| 4 | 3 | 2 | 5 | 4 | 3.5 | 3.5 | 3 |
| 5 | 6 | 2 | 5 | 1 | 3.5 | 3.5 | 5 |
| 6 | 3 | 2 | 5 | 4 | 3.5 | 3.5 | 3 |
縦方向が群間、横方向が群内です。
横方向はデータがばらついても、合計値はどの群でも同じ14となる場合です。
確かに、黄色枠のように
\(\bar{x_i}\)と\(\bar{\bar{x}}\)の値が3.5で一致しますが、
範囲Rは群ごとに異なる値となっています。
群間変動\(σ_b^2\)=0になる場合を管理図で確認
\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。
\(\bar{X}\)管理図は各群の値が一定であるが、
R管理図は各群でばらつきがある
工程が管理状態であるとか、
統計的管理状態とか、
言いますが、
実際、管理図で描くとイメージがわきますね。
実際は、\(\bar{X}\)管理図は各群の値が一定にはなりませんから、若干のばらつきがある程度まで、ばらつきを抑えることが管理状態であるというのでしょう。
③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
群内変動\(σ_w^2\)=0になるデータとは、どんなデータか？
ちょっと考えてみましょう。
●群内のずれが無いデータを考える
●\(\sum_{i} \sum_{j} (x_{ij}-\bar{x_{i・}})^2\)≡\(σ_w^2\)ですから、
2乗和=0なら、すべてのjについて\((x_{ij}-\bar{x_{i・}})\)=0ですね。
つまり、\(x_{ij}\)=\(\bar{x_{i・}}\)となるデータですね。
イメージ付きましたか？
群内変動\(σ_w^2\)=0になるデータ例
例えば、次のようなデータが挙げられます。
| 群間/群内 | 1 | 2 | 3 | 4 | \(\bar{x_i}\) | \(\bar{\bar{x}}\) | R |
| 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 2 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 0 |
| 3 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 2.75 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
縦方向が群間、横方向が群内です。
縦方向はデータがばらついても、横の値はすべて同じとなる場合です。
各群の範囲Rの値が0となっています。
群内変動\(σ_w^2\)=0になる場合を管理図で確認
\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。
\(\bar{X}\)管理図は各群で値がばらつくが、
R管理図は各群で０である
実際、管理図で描くとイメージがわきますね。
群内変動が無いのは理想状態ですが、考えることは大事ですね。
④全分散\(σ^2\)=0の場合
●\(σ^2\)=\(σ_w^2\)+\(σ_b^2\)=0
で各項は0以上ですから、
●\(σ^2\)=0
●\(σ_w^2\)=0
●\(σ_b^2\)=0
ですね。
全分散\(σ^2\)=0になるデータとは、どんなデータか？
端的に言えば、
全部同じ値になります。
全分散\(σ^2\)=0になるデータ例
例えば、次のようなデータが挙げられます。
| 群間/群内 | 1 | 2 | 3 | 4 | \(\bar{x_i}\) | \(\bar{\bar{x}}\) | R |
| 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 5 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 6 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
全分散\(σ^2\)=0になる場合を管理図で確認
\(\bar{X}\)管理図とR管理図を描きます。
\(\bar{X}\)管理図も、R管理図は一定値である。
全分散が無いのは理想状態ですが、考えることは大事ですね。
管理状態になるとは、管理図でどうなるのかについて解説しました。
まとめ
管理図で「工程が管理状態である」状態を、実データを見ながら解説しました。
- ①管理図における群内変動と群間変動
- ②群間変動\(σ_b^2\)=0の場合(工程が管理状態)
- ③群内変動\(σ_w^2\)=0の場合
- ④全分散\(σ^2\)=0の場合
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119